РАЗДЕЛ 2
ТЕНЗОРНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КАНАЛОВ И СИГНАЛОВ СВЯЗИ
В данном разделе продемонстрировано применение тензорных методов в таких телекоммуникационных задачах, как приведение нелинейного сигнала к линейному виду в римановом пространстве с помощью ковариантного дифференцирования, при решении задач пространственно-временной обработки сигналов, в адаптивных антенных решетках, при построении математической модели канала связи с рассеянием при помощи тензора рассеяния, при восстановлении дискретизированных полей.
2.1. Методология математического моделирования сигналов на выходе нелинейных элементов
При построении, анализе и синтезе линейных моделей каналов и сигналов связи, как правило, не возникает таких трудностей, какие встречаются при нелинейном моделировании. В тех случаях, когда не удается свести решение задач связи к линейному виду, возникает необходимость использования нелинейных моделей сигналов или проведение соответствующих нелинейных преобразований над этими сигналами, приводящими к тем или иным видам нелинейностей. Если имеется априорная информация о типе нелинейности, то параметры этих нелинейностей могут быть идентифицированы, для чего используются различные методы аппроксимации, упрощения, линеаризации функции в некоторой окрестности. Если тип нелинейности не известен, то задача несколько усложняется, хотя считается, что наиболее уместной является аппроксимация в виде полиномов, в частности с помощью сплайн-функций. Вместе с тем, во всех случаях при решении нелинейных задач необходимо хотя бы предположение о специфике типа нелинейности, что позволит упростить и произвести задачу идентификации.
Для определенности представим вариант аппроксимации нелинейной функции полиномом третьего порядка двумерного динамического процесса :
(2.1)
где i=1,2, k - шаг итерации, , , - коэффициенты при соответствующих степенях переменных, u - управляющее воздействие или помеха. Возможность такой аппроксимации подтверждается теоремой Вейерштрасса о непрерывных линейных функциях.
Известен метод квазилинеаризации Беллмана - Калаба [20], который представляет собой преобразование нелинейной многоточечной краевой задачи, являющейся стационарной в линейную нестационарную задачу. Процедура аппроксимации предполагает наличие определенной доли априорной информации, что существенным образом сказывается на скорости сходимости итерационной процедуры. Рассмотрим нелинейную систему, описываемую уравнением
, (2.2)
где F - нелинейная функция, - n-мерный вектор состояния, - m-мерный управляющий вектор, - вектор неизвестных параметров, размерность которого s. Система уравнений (2.2) должна иметь n+s граничних условий и соответственно n+s известных функций. Например,
, (2.3)
где , , b - неизвестные параметры, подлежащие оценке. Схема генерации процесса представлена на рис. 2.1.
b x(t)
Рис. 2.1. Схема генерации процесса x(t)
В предположении неизменности во времени неизвестных параметров r уравнения (2.2) дополняются следующими уравнениями:
Далее формируется объединенный вектор состояния . Затем следует разложение в ряд Тейлора и, удерживая определенное количество членов разложения можно получить соответствующие оценки нелинейных состояний и параметров
где - многочлен Тейлора
, (2.4)
- остаточный член в форме Пеано.
В ряде случаев, когда разложение Тейлора в малой окрестности точки дает большие погрешности приближения или эта окрестность оказывается достаточно большой, используют разложение в ряд Вольтерра. Уравнение Вальтера имеет единственное решение, которое представляется абсолютно и равномерно сходящимся рядом
(2.5)
, , k=1,2,... .
Соответствующее однородное уравнение Вольтерра
Возможны и другие разложения и аппроксимации. Очевидно, чем больше удерживаемых членов разложения (2.1), (2.4), (2.5), тем меньше погрешности этих аппроксимаций.
Следует отметить, что перечисленные методы решения нелинейных задач достаточно громоздки и на практике стараются свести нелинейную задачу к более простой, линейной. Ситуация еще более усложняется в том случае, если приходится иметь дело не со скалярной функцией, а с векторными функциями или матричными уравнениями. Тогда размерность задачи возрастает не только пропорционально количеству векторов, но это количество должно быть умножено на количество членов разложения. В этом случае задача приобретает необозримую размерность, в которой малые вычислительные погрешности могут приводить к большим ошибкам в решениях или же такая задача становится неустойчивой по решению.
Рассмотрим иной подход к решению нелинейных задач, основанный на использовании тензорных преобразований и перехода в риманово пространство с соответствующей нелинейной метрикой [66].
2.2. Приведение математических моделей нелинейных сигналов к линейному виду с использованием тензорных методов
Пусть для определенности математическая модель сигнала описывается нелинейным уравнением состояния
, (2.6)
где f(x,t) - некоторая векторная нелинейная относительно x функция, g(t) - масштабирующий коэффициент, определяющий уровень управления при u(t) - управляющем воздействии или, если u(t) - порождающий белый шум, то g(t) определяет дисперсию случайных изменений во времени x(t). Уравнение состояния может быть дополнено уравнением наблюдения, которое может быть как линейным, так и нелинейным, и включает в себя помехи в канале наблюдения n(t), и имеет вид
Схема генерации процесса и наблюдени