РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ИСТЕЧЕНИЯ МЕТАНА ИЗ ОТТОРГНУТОГО ОТ МАССИВА УГЛЯ
Как было сказано в разделе 1, результаты первых исследований десорбции метана
из разрушенного угля показали, что их авторы обоснованно полагают, что
интенсивность выделения метана из кусков угля зависит от суммарной
сопротивляемости его пор. Они предлагают для описания выделения метана
использовать решение уравнения диффузии, аналогичное уравнению
теплопроводности. При этом подчеркивается, что это решение приближенно
описывает процесс газовыделения. Оно справедливо для небольших начальных
периодов с момента отторжения угля от массива (от нескольких секунд до 100-150
минут в зависимости от трещиноватости угля). В дальнейшем теоретически (по
решению уравнения диффузии) весь метан очень быстро выходит из угля, чего не
наблюдается в действительности. Отторженные от массива куски угля в бункерах,
на складах, различных емкостях выделяют метан весьма длительное время и с
течением времени могут образовывать с воздухом взрывоопасные смеси, что и
приводило к взрывам.
В работах для описания процесса метановыделения из кусков угля коэффициент
диффузии D нередко отождествляется с суммарным сопротивлением пор Е и
принимается величиной постоянной, что приводит к расхождениям теории с
экспериментом. В то же время известно, что параметр D есть величина вполне
определенная, не зависящая от длины пути перемещения примеси (диаметра зерен).
Поэтому принятое авторами допущение является ориентировочной посылкой для
решения задачи.
Интенсивность метановыделения, однако, в сильной степени зависит от диаметра
частиц угля, что объясняется зависимостью параметра интенсивности перехода
метана в свободное состояние от сопротивления пути его фильтрации по порам.
Поэтому необходимо описывать процесс выделения метана из угля, основываясь не
только на коэффициенте диффузии, но также и на интенсивности десорбции и
коэффициенте массоотдачи. В связи с этим при математической формулировке задачи
эти факторы должны учитываться.
2.1. Разработка модели метановыделения из разрушенного угля
Предположим, что в произвольном куске угля, занимающем область W, первоначально
содержится адсорбированный метан с начальной концентрацией S0. При отторжении
угля происходит выделение метана, когда связанное вещество переходит в
свободное для диффузии. Математическая модель такого процесса представляется
следующей начально-краевой задачей:
(2.1)
где F(C,S) - скорость кинетики десорбции;
b - коэффициент массоотдачи;
C0 - концентрация газа вне угля.
В линейном случае F(C,S)=lC-mS, где l и m - постоянные величины,
характеризующие соответственно скорость возрастания и убывания связанной
концентрации S.
2.1.1. Усредненная задача
В случае углей малых фракций можно ограничиться рассмотрением средних по объему
угля W концентрации свободного для диффузии и связанного метана, полагая
Применим операцию усреднения к задаче (2.1). Тогда, используя формулу
Гаусса-Остроградского и учитывая краевое условие, получаем задачу Коши для
системы двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка
относительно средних значений и
(2.2)
где k2=b¶W/W.
Задача (2.2) описывает динамику изменения концентраций и для частиц
произвольной формы W. Наиболее приемлемым для практики является выбор частиц в
виде пластины, цилиндра или шара. В этих случаях в (2.2) необходимо
предположить соответственно
W=pR2, ¶W=2pR; W=4pR3/3; ¶W=4pR2,
где h- половина толщины пластины;
R- радиус цилиндра или шара.
В дальнейшем ограничимся линейными постановками задач (2.1), (2.2).
2.2. Решение уравнения десорбции метана из разрушенного угля
В этом случае C=C(r,t) и соответствующая (2.1) линейная задача записывается в
виде
(2.3)
Положим c=rC, s=rS. Тогда для c(r,t) и s(r,t) получаем следующую
начально-краевую задачу
(2.4)
Так как метан не вступает в химические реакции, то можно ограничиться случаем
l=0, C0=0, когда s(r,t)=S0re-mt, а c(r,t) определяется как решение
начально-краевой задачи [66]
, (2.5)
где .
Методом разделения переменных находим решение задачи (2.5), а, следовательно,
и задачи (2.3) при l=0
(2.6)
где ln - корни уравнения tg(lnR)=(D/)ln.
По полученному решению (2.5) определяется интенсивность потока метана с
единицы поверхности сферы
(2.7)
и количества вещества Q(t), выделившегося к моменту времени t
(2.8)
где
(2.9)
После перехода к безразмерным переменным и параметрам
формулы (2.5)-(2.8) преобразуются к виду
(2.10)
(2.11)
(2.12)
где
(2.13)
где - положительные корни уравнения tgx=kx/(k-1).
Для отношения Q(t)/QҐ получаем формулу
(2.14)
2.3. Решение задачи для средних по радиусу частиц угля концентраций метана
При D=const и F(C,S)=-mS для усредненной концентрации из (2.2) получаем задачу
Коши
(2.15)
решение которой записывается в виде
(2.16)
Для потока метана с единицы площади поверхности куска угля t>0 получаем
выражение
(2.17)
Формула для вычисления общего количества метана, выделившегося к моменту
времени t записывается в виде
(2.18)
(2.19)
После перехода к безразмерным переменным и параметрам
получаем
(2.20)
(2.21)
(2.22)
В случае сферического куска угля радиуса R, когда W=4pR3/3, ¶W=4pR2,
k2=b¶W/W=3b/R, формулы (2.16)-(2.19) принимают вид:
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Для численных расчетов на ПЭВМ удобен переход к безразмерным переменным
t=3bt/R, u(t)=C/S0, n=3b/mR, в результате которого формулы (2.23)-(2.26)
преобразуются к виду
(2.27)
- Київ+380960830922