ГЛАВА ІІ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Введение
Значительный практический интерес для рентгенодифракционной диагностики кристаллов представляет решение задачи динамической дифракции рентгеновских лучей в макроскопически деформированных монокристаллах, содержащих хаотически распределенные дефекты. К настоящему времени теоретические результаты в виде аналитических решений дифференциальных уравнений Такаги-Топэна или аналогичных им уравнений Максвелла, получены только для простых случаев совершенных кристаллов с макроскопическим полем упругих смещений, вызванных изгибом кристалла с постоянным градиентом деформации или созданных переходным слоем [68-72]. В более сложных случаях исследование дифракционных явлений возможно только путем асимптотического анализа уравнений [69,73,74] или их численного решения [74,75].
Вместе с тем существуют экспериментальные исследования, свидетельствующие о существенном влиянии полей смещений дислокаций [76-78] или микродефектов [53,55,57,79-81] на дифракционные эффекты в упруго изогнутых кристаллах. В частности, полученные результаты указывают на неаддитивность вкладов в интенсивность рассеяния от макроскопически однородных и флуктуационных полей смещений. Последнее обстоятельство не позволяет в общем случае выполнить простое сложение интенсивностей дифракции, полученных теоретически для совершенных изогнутых кристаллов [68-73] и для неизогнутых кристаллов с дефектами [52]. Существующие попытки феноменологического обобщения соответствующих формул на случай изогнутого кристалла [58,59] подтверждают необходимость развития последовательной динамической теории дифракции в изогнутых кристаллах с дефектами. Относительная простота динамической теории дифракции в реальных кристаллах [52] обусловлена использованием метода флуктуационных волн [82], позволяющего уравнения Максвелла (уравнение Шредингера, если речь идет о дифракции заряженных частиц или нейтронов) в импульсном пространстве свести к конечной системе алгебраических уравнений для амплитуд сильных брэгговских и диффузно рассеяных волн. При этом в поляризуемости (потенциале) кристалла выделяют периодическую и флуктуационную составляющие. В развиваемой затем теории возмущений по малому параметру динамической теории, которым в случае дифракции рентгеновских лучей является фурье-компонента поляризуемости кристалла (- вектор дифракции), а в случае дифракции частиц - отношение ( - кинетическая энергия частицы, - фурье-компонента ее потенциальной энергии в кристалле), дополнительную роль играет малость отношения средних квадратов фурье-компонент флуктуационной и периодической составляющих, которая имеет место, к примеру, при малых концентрациях микродефектов с<<1 [52,82].
Основная трудность применения развитого в работе [52] подхода к решению задачи динамической дифракции в упруго изогнутом кристалле с дефектами обусловлена отсутствием периодичности нефлуктуационной части поляризуемости (потенциала) кристалла, что делает практически невозможным использование метода флуктуационных волн, в рамках которого используется равенство усредненной по конфигурациям дефектов наблюдаемой величины в любом узле кристаллической решетки среднему значению этой величины по всем узлам кристалла. Тем не менее, эта трудность представляется преодолимой, если аналогично работе [9], где рассматривалась динамическая дифракция в кристаллах с дислокациями, произвести корректирующую замену координат, "устраняющую" изгиб кристалла, что позволяет выделить в новой системе координат периодическую часть поляризуемости (потенциала) и корректно выполнить все необходимые статистические усреднения. Такой подход предоставляет возможность использовать в значительной мере результаты развитой ранее динамической теории дифракции в монокристаллах с дефектами [52] и, следовательно, получить аналитические выражения, описывающие дифференциальную и интегральную интенсивности дифракции в реальных упруго деформированных кристаллах.
Дальнейшее рассмотрение будет проводиться применительно к дифракции рентгеновских лучей. Перенос полученных результатов на случай дифракции заряженных частиц или нейтронов требует лишь известного переобозначения в формулах (см. [52]). Отметим также определенную условность термина "локальные поля смещений", так как в дальнейшем предполагается, что поля смещений от ограниченных дефектов распространяются на весь кристалл. Однако главной их отличительной особенностью является случайный характер распределения вызывающих их микродефектов в кристаллах, и следовательно, их флуктуационная природа.
2.2 Поляризуемость деформированного кристалла с дефектами
Поле статистических смещений в упруго деформированном кристалле, содержащем хаотически расположенные микродефекты, можно представить в виде суперпозиции смещений макроскопического изгиба и "кулоновских" смещений от дефектов :
(2.1)
При малой концентрации дефектов с<<1 поле смещений также можно представить в виде суперпозиции смещений, вызванных в кристалле отдельными дефектами [82]:
(2.2)
(2.3)
где - радиус-вектор первого атома t-й элементарной ячейки кристалла, суммирование ведется по всем N элементарным ячейкам, - смещение в точке , вызванное дефектами в положении .Числа заполнения определены следующим образом: , если в положении находится дефект (центр дефекта), и , если в положении дефект отсутствует; , где скобки означают усреднение по хаотическому распределению дефектов. В дальнейшем вместо соотношений (2.1), (2.2) целесообразней использовать следующие выражения для поля смещений:
(2.4)
т.е. выделить постоянную и флуктуационную составляющие поля статических смещений.
Поляризуемость кристалла в модели жестких ионов имеет вид:
(2.5)
где - поляризуемость s-й элементарной ячейки, для которой можно применить принцип суперпозиции: