РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИЧЕСКОГО ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ МЕТАЛЛА В ПРОЦЕССЕ ПРЕССОВАНИЯ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ МАТРИЦУ
2.1. Математическая модель течения металла для плоского деформированного состояния
В последнее время математическое моделирование получает все большее распространение при решении прикладных задач обработки металлов давлением. При этом предпочтение отдается численным методам, как позволяющим принимать меньше допущений принципиального характера при постановке задачи. Кроме того, постоянно возрастающая мощность и быстродействие ПЭВМ дает возможность снижать время расчетов и повышать их точность путем учета большего числа факторов.
Из последних достижений в области моделирования можно выделить труды А.А. Миленина по созданию трехмерных моделей процессов прессования [34] и прокатки [37], а также работы В.А. Гринкевича [38 и др.] по ковке и объемной штамповке.
Однако, несмотря на повышенный интерес к объемному моделированию, некоторые исследования, связанные с множественными расчетами, целесообразнее проводить на двумерных моделях, поскольку они обладают большей гибкостью и позволяют сгущать сетку в наиболее интересных местах. Так, при прессовании с большими коэффициентами вытяжки двумерная модель дает возможность рассчитать внеконтактную деформацию или точнее определить границы мертвых зон. Кроме того, при исследовании процесса прессования трехмерным моделированием возникают сложности с выделением ограниченного числа влияющих на формоизменение металла отдельных параметров, так как количество возможных вариантов конструкции инструмента при объемной постановке задачи очень велико. Очевидным преимуществом двумерных моделей является и меньшее время решения при той же точности расчета.
С учетом вышеизложенного, было решено создать двумерную модель для исследования процесса прессования профилей при больших коэффициентах вытяжки (40 и более).
2.1.1. Основные положения и определение локальной матрицы жесткости. При решении задач обработки металлов давлением численными методами наиболее широкое распространение получил метод конечных элементов, которым и решено было воспользоваться. В качестве элемента для разбиения области выбран прямоугольный мультиплекс-элемент (рис. 2.1). Выбор обусловлен тем, что область внутри контейнера и матрицы имеет прямоугольные очертания. Это упрощает процесс генерации сетки. Кроме того, появляется возможность аналитического определения коэффициентов матрицы жесткости, что позволяет уменьшить погрешность вычислений за счет отказа от численного интегрирования и, безусловно, уменьшить время решения при последующих расчетах на ПЭВМ.
Рис. 2.1. Прямоугольный мультиплекс-элемент
Прямоугольному мультиплекс-элементу присущи и недостатки: появляется чрезмерная густота сетки в районе пресс-штемпеля, а также отсутствует возможность разбиения непрямоугольных областей, что, однако, не является существенным при решении данной задачи. Следует отметить, что несмотря на недостатки, прямоугольный мультиплекс-элемент используется при решении двумерных задач процесса прессования методом конечных элементов [27, 39].
В основу математической модели положены следующие допущения:
* деформированное состояние при выдавливании материала из контейнера, в том числе круглого, принимается плоским;
* процесс прямого прессования считается условно установившимся (квазистационарным) и изотермическим. При этом согласно работам [1, 40], после распрессовки металла в контейнере и заполнения металлом канала матрицы действительно начинается стадия установившегося течения, которая продолжается до достижения пресс-штемпелем упругих зон в окрестностях матрицы. Эта стадия является самой продолжительной и, в зависимости от исходной длины заготовки, может занимать до 80% времени всего прессового цикла [41];
* деформируемый материал - нелинейно-вязкий и несжимаемый, сопротивление деформации которого зависит от степени, скорости деформации и температуры [42]. Зависимость сопротивления деформации от интенсивности скорости деформации сдвига считается монотонно возрастающей.
В работе [30] показано, что из двух наиболее распространенных алгоритмов решения задач ОМД при помощи метода конечных элементов - на основе условия минимума функционала Лагранжа и условия стационарности функционала Маркова на полях скоростей течения и среднего напряжения - последний лучше удовлетворяет выполнению условия несжимаемости. Отмеченное свойство особенно важно при моделировании прессования из-за высоких сжимающих напряжений и больших деформаций. Исходя из этого, задача пластического формоизменения решается с использованием функционала вариационного принципа Маркова [43], который при решении задачи прессования был применен в работах [34, 44] и для случая плоской деформации имеет вид:
, (2.1)
Условная вязкость металла определяется по формуле:
(2.2)
Решение задачи находится из условия стационарности функционала:
(2.3)
где n - номер соответствующего узла сетки; m - номер элемента; u и v - скорости течения в направлениях глобальных осей oX и oY, соответственно.
Интерполяционный полином, аппроксимирующий скорость на прямоугольном мультиплекс-элементе имеет вид:
, (2.4)
Условия в узлах элемента (см. рис. 2.1) запишутся следующим образом:
при (2.5)
Подстановкой условий (2.5) в соответствующие уравнения системы (2.3) определяются коэффициенты интерполяционного полинома
(2.6)
В качестве кинематического соотношения используются уравнения Стокса:
(2.7)
В результате подстановки полиномов (2.4), коэффициенты в которых выражены через значения узловых скоростей и размеры конечного элемента (2.6), в систему уравнений (2.7) получаются уравнения связей между скоростями деформации и линейными скоростями в узлах элемента, которые имеют следующий вид:
(2.8)
Интенсивность скоростей деформации сдвига для сл