РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ТА РЕАЛІЗАЦІЯ ШВИДКОГО МЕТОДУ РЕКОНСТРУКЦІЇ ТРИВИМІРНИХ ЗОБРАЖЕНЬ У РЕНТГЕНІВСЬКІЙ ТОМОГРАФІЇ
При проведенні контролю об'єктів методом рентгенівської комп'ютерної томографії необхідна швидка і точна реконструкція будь-якого перерізу об'єкта. Але, як правило, підвищення швидкості реконструкції призводить до зменшення точності відновлення зображення об'єкта. З одного боку, часто бажано отримати реконструкцію за декілька секунд, а з іншого - відновлене зображення має бути з високою роздільною здатністю, щоб уникнути неправильного тлумачення результатів контролю, або діагностики.
На практиці існують два різні методи реконструкції зображень: ітераційні і методи на основі перетворень. Хоча перший КТ-сканер використовував ітераційний метод, сучасні сканери не використовують його через низьку швидкодію. Друга категорія методів є значно швидшою. Вони побудовані на основі Фур'є теореми про перерізи [6], [58], тобто реконструкція відбувається за допомогою Фур'є перетворення. В комерційних сканерах [59] переважно застосовують так званий метод фільтрованого зворотного перетворення (згортковий алгоритм), який є одним з найпростіших методів за типом обчислень, але є обтяжений їх великою кількістю (висока комплексність методу). Отже, постає необхідність розробки алгоритму реконструкції об'єкту на основі зворотного проектування зі зменшенням його комплексності, але зі збереженням якості реконструйованого зображення.
2.1. Розробка швидкого зворотного проектування для реконструкції двовимірних зображень
Будь-яке зображення можна визначити як функцію двох змінних, значення якої за її межами визначення рівні нулю, і відповідно зображення - це квадрат, центр якого знаходиться на початку довільно вибраної системи координат. У відповідності до цього використовуємо позначення , яке визначає функцію двох змінних та i, тим самим, математично цілісно визначає зображення, яке необхідно реконструювати.
Можливою фізичною інтерпретацією функції зображення , на якій ґрунтується рентгенівська реконструктивна томографія, є те, що за умови рівності поля зображення і поля реконструкції, значення функції однозначно визначає значення лінійного коефіцієнта послаблення випромінювання в точці , а отже і значення густини об'єкта.
Для знаходження функції в якості вхідних даних використовується набір значень променевих сум, отриманих при певному куті повороту джерела (об'єкта) і координати детектора .
Для виведення швидкого методу двовимірної реконструкції розглянемо лінію L, яка належить до набору паралельних променів, у результаті просвічування якими отримується проекція, показана на рис. 2.1 а. Під кутом проектування і позицією детектора t, проекційні значення можуть бути отримані з відомого виразу [6] (формула зворотного проектування)
, (2.1)
де - дельта функція, імпульс якої відбувається вздовж прямої
Верхній індекс "P" у (2.1) вказує, що проекція отримана при паралельній схемі сканування. Проекційні значення (2.1) - це відображення об'єкта у проекційному -просторі. У роботі [60] даний простір названо синограмою.
Відомо, що деякій прямій L, вздовж якої відбувається випромінювання, і значення якого реєструється детектором, що знаходиться на віддалі від початку координат (рис.2.1 а), відповідає одній точці в - просторі.
а) б)
в)
Рис. 2.1. Побудова синограми зображення:
а) - отримання проекційних значень функції зображення;
б) - відображення точки простору зображення у проекційному -просторі;
в) - синограма;
- кут повороту об'єкта або джерела рентгенівського випромінювання;
- координата детектора.
Розглянемо точку , значення в якій є фізичною інтерпретацією густини об'єкта в цій точці, на рис. 2.1 а. Відстань від початку координат до променя, що пройшов через цю точку, знаходиться за формулою
, (2.2)
де .
Тому геометричним місцем точок в - просторі, якому відповідають прямі, що проходять через точку , є крива, що описується даним рівнянням (рис. 2.1 б). Отже в проекційному просторі точки, які відповідають променям, що пройшли через точку , лежать на синусоїдній кривій (2.2). Щоб отримати значення функції в деякій точці необхідно здійснити інтегрування вздовж цієї кривої.
Синограма складається з проекційних значень, отриманих при паралельній схемі сканування і розміщених на декартовій системі координат (рис.2.1 в).
Кожна дискретна точка на синограмі - це значення інтеграла від функції густини об'єкта вздовж траєкторії поширення випромінювання в ньому. Відповідно кожна точка об'єкта може бути описана синусоїдою на синограмі. І навпаки, кожній синусоїді на синограмі відповідає елементарна площа двовимірного зображення (піксель). Якщо всі проекційні дані просумувати вздовж цієї кривої, то отримаємо значення цього пікселя. При реконструкції зображення розміром на сумування проекційних даних вздовж цих синусоїд необхідно операцій для відновлення кожної точки результуючого зображення [61]. - це є комплексність алгоритму зворотного проектування.
Отже, суть реконструкції зображення методом зворотного проектування полягає в тому, що оцінку густини у будь-якій точці зображення знаходять шляхом додавання променевих сум для всіх променів, які проходять через дану точку. Для отримання її значення необхідно здійснити інтегрування вздовж цієї кривої, тобто просумувати всі проекційні значення, які її утворюють.
Відомий спрощений вираз для зворотного проектування можна записати згідно [5]:
, (2.3)
де множник
(2.4)
так званий "ramp-фільтр" (пилоподібний фільтр). Права частина (2.3) - це послідовність двох кроків. Спочатку дані проектування фільтруються. Фільтрація проекційних даних означає згортку функції перепакованих проекційних даних з функцією фільтра (2.4). Потім точка зображення відно