Моделювання конкурентно-коопераційних взаємодій у соціально-економічних системах

РОЗДІЛ 2
КОМПЛЕКС МОДЕЛЕЙ КОНКУРЕНТНО-КООПЕРАЦІЙНИХ
ВЗАЄМОДІЙ У СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМАХ
2.1. Основи побудови системи моделей конкурентно-коопераційних взаємодій у
соціально-економічних системах
В основу запропонованого підходу покладена система поглядів на процеси
конкурентно-коопераційних взаємодій, що мають місце в стандартних економічних
концепціях конкуренції і кооперації, а також у популяційній динаміці.
У першому розділі роботи були виділені основні передумови і підходи до
математичного моделювання таких взаємодій у контексті рівнянь популяційної
динаміки.
Відзначимо, що рівняння популяційної динаміки служать тут не як проста
аналогія. Справа в тім, що рівняння динаміки конкурентно-коопераційних
взаємодій у соціально-економічних системах виходять з тих же принципів
балансового і системного (аспект взаємодій) підходів, що і рівняння
популяційної динаміки.
Ці рівняння мають вигляд автономних динамічних систем (час явно не входить у
праві частини рівнянь), для яких існує адекватний математичний апарат аналізу у
виді методів якісної теорії динамічних систем.
Важливим моментом при побудові системи моделювання конкурентно-коопераційних
взаємодій є те, що процеси попарних конкурентних і коопераційних взаємодій
вдається описувати в рамках однієї автономної системи звичайних диференціальних
рівнянь деякого порядку.
Тут попарні конкурентні взаємодії в динамічній системі описуються членами зі
знаком мінус, а такі ж коопераційні взаємодії – членами зі знаком плюс.
Економічним обґрунтуванням такого підходу, коли в рамках однієї математичної
моделі враховуються одночасно процеси конкуренції і кооперації, є наступні
коментарі.
В усіх економічних системах часто діють одночасно як процеси конкуренції, так і
кооперації, причому думки з приводу оптимального поділу функцій між ними досить
суперечливі. У багатьох випадках фірми, галузі, регіони і країни кооперуються в
окремих сферах діяльності, наприклад, у сфері наукових досліджень або в
прийнятті промислових стандартів, але продовжують конкурувати в інших областях,
особливо в тім, що стосується збуту продукції. Запропонований підхід дозволяє
моделювати n-мірні динамічні системи з попарними конкурентно-коопераційними
взаємодіями. Розглянуті динамічні системи n-го порядку мають квадратичні
нелінійності. У зв'язку з цим розглянута система є одним з напрямків нелінійної
економічної динаміки, точніше нелінійної соціально-економічної динаміки, тому
що ми розглядаємо динаміку соціально-економічних систем. У рамках розглянутої
системи ми послідовно досліджуємо двох, трьох і чотирьохмірні моделі
конкурентно-коопераційних попарних взаємодій у соціально-економічних системах.
Це дослідження полягає у визначенні позитивних особливих точок, у лінійному
аналізі їхньої стійкості, біфуркаційному аналізі, аналізі катастрофи, пошуку
періодичних рішень, чисельної і графічної реалізації, що дозволяє наочно
представити фазові портрети розглянутих систем у двомірному і тривимірному
випадках. Перевага даної системи полягає в тому, що вона дозволяє моделювати
конкурентно-коопераційні взаємодії для різних соціально-економічних об'єктів. У
цьому полягає її універсальність. Кожне рівняння базової динамічної системи
складається з лінійного члена, що описує саморозвиток (відтворення) даного
соціально-економічного об'єкта і двох квадратичних нелінійних членів, що
описують внутрішньооб'єктну (внутрішньовидову) і міжоб’єктну (міжвидову)
конкуренцію (або міжоб’єктну кооперацію).
У базовій динамічній системі, яка розглядається, лінійний і перший нелінійний
член, відповідальний за внутрішньооб'єктну (внутрішньовидову) конкуренцію,
можна назвати логістичнним членом, тому що під час відсутності міжоб’єктної
(міжвидової) конкуренції (кооперації) розглянута n-мірна динамічна система
попарних конкурентно-коопераційних взаємодій розпадається на n незалежних між
собою логістичних рівнянь (рівнянь Верхульста), що описують логістичні
(життєві) цикли розвитку кожного соціально-економічного об'єкта окремо. Якщо
відштовхуватися не від аналогії з популяційною динамікою, а від аналогій з
рівняннями хімічної і біофізичної кінетики, то розглянута нами базова динамічна
модель попарних конкурентно-коопераційних взаємодій у соціально-економічних
системах може називатися кінетичною моделлю, як це зроблено в роботі [89], у
якій розглядалися рівняння динаміки міжінноваційних взаємодій.
При розгляді двох-, трьох- і n-мірних моделей попарних конкурентних взаємодій
нами були встановлені цікаві зв'язки з моделями конкурентних стратегій Курно і
Стакельберга, що вказують на структурний підхід у вивченні конкуренції.
Розглянуті моделі попарних конкурентно-коопераційних взаємодій добре вписуються
у відомий у біології принцип конкурентного виключення Гаузе, що тим самим
переноситься на соціально-економічні системи. Тобто в граничних випадках, коли
час прагне до нескінченності, виникають режими придушення одних
соціально-економічних об'єктів іншими. Для базової n-мірної моделі попарних
конкурентних взаємодій знайдені всі такі режими. Для задач низького порядку
(2-4-х мірні) велика роль приділяється нами пошуку та аналізу стійкості
нетривіальних особливих (рівноважних) точок, що говорять про наявність у
системі рівноважних режимів співіснування всіх розглянутих об'єктів. Тут для
задач конкурентних попарних взаємодій виникають звичайно ситуації локальної
стійкості таких особливих точок, а для задач попарних коопераційних взаємодій –
глобальної стійкості.
Відзначимо, що з фізичної точки зору, взаємна кооперація не повинна приводити
до витіснення одного об'єкта іншим, тому в коопераційни