РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ АНАЛІЗУ ТА КІЛЬКІСНОЇ ОЦІНКИ РАСТРОВОГО ЗОБРАЖЕННЯ З ЧАСТОТНО-МОДУЛЬОВАНОЮ СТРУКТУРОЮ
В сучасних технологіях цифрового растрування зображень з модульованою частотою використовується багато способів та алгоритмів генерування растрових структур [119]. Для кількісної оцінки різних способів цифрового растрування важливого значення набувають дослідження частотно-градаційних властивостей растрових структур. Отримане зображення можна оцінити візуально, але, зрозуміло, що така оцінка буде суб'єктивною. Тому виникає необхідність впровадження кількісних характеристик частотно-модульованої структури. Оскільки растрова структура аперіодична, то для кожного конкретного рівня інтенсивності існує якийсь набір характерних періодів між елементами, властивий лише даному рівню. Складність полягає у знаходженні усереднених значень, які можна було б використати для визначення частотних характеристик градаційної шкали.
2.1. Спектральний аналіз растрових структур з модульованою частотою
Перетворення зображення в ту чи іншу растрову форму можна розглядати в контексті загальних принципів модуляції сигналів, що розроблені в електроніці та електротехніці, а саме представляти структури растрового зображення як наслідок модуляції оптичного сигналу. Це дає змогу застосувати відомі методи, що застосовуються у теорії сигналів, для аналізу відтворення образотворчої інформації у поліграфії.
Вперше ідею про можливість застосування методів просторово-спектрального аналізу для досліджень растрового процесу було опубліковано в роботі Юла [106] і більш детально досліджено Андрєєвим [2, 3, 107] та Зайделем [9]. Найбільш широкого застосування в теорії формування зображення набули методи Фур'є-аналізу.
2.2.1. Методи Фур'є-аналізу растрового зображення
Фур'є перетворення традиційно застосовується для оцінювання растрових зображень з впорядкованою структурою, оскільки такі зображення можна представити як періодичну функцію [108].
Відомо, що кожна з неістотним для нас математичним обмеженням періодична функція може бути зображена рядом за тригонометричними функціями:
. (2.2)
Тобто сумою доданків вигляду , кожен із яких є синусоїдним коливання з амплітудою і початковою фазою . Значення і повинні бути підібрані так, щоб рівність (2.2) виконувалася. Частоти коливань, що складають періодичну функцію , створюють гармонічну послідовність; частоти усіх складових кратні основній частоті (Т - період коливань).
Ряд Фур'є може бути також записаний у комплексній формі:
, (2.3)
. (2.4)
Андрєєв запропонував розглядати растр як фільтр просторових частот. Внаслідок періодичності растра неперервна частотно-контрастна характе-ристика (оптична передаточна функція (ОПФ)) окремої растрової комірки вироджується в дискретну з формуючими частотами, кратними початковій частоті растра. В якості ОПФ Андрєєвим прийнято вираз [3]:
, (2.5)
де растрова відстань, , ;
- довжина хвилі світла;
Якщо представити діафрагму її Фур'є-спектром , то згідно принципу просторової фільтрації зображення, враховуючи дискретну функцію ОПФ (2.5), з неперервного спектра будуть пропускатися тільки ті частоти, які задовольняють умову кратності початковій частоті . Таким чином, у частотному представленні процес моделюється простим добутком
(2.6)
чи, відповідно,
. (2.7)
Тобто формування растрового поля можна представити сумою гармонічних складових з амплітудами (2.6) і частотами, кратними початковій частоті растра.
Ряд Фур'є розкладає періодичну функцію за тригонометричними функціями. Це розкладання можна узагальнити і на випадок неперіодичної функції [108]. Нестрогий, але наочний шлях до одержання розкладу Фур'є неперіодичної функції полягає в застосуванні граничного переходу при . Дійсно, неперіодичну функцію можна розглядати як граничний випадок періодичної функції при необмежено зростаючому періоді.
Підставимо у формулу (2.3) значення з (2.4):
. (2.8)
Спрямуємо Т до нескінченності. Замість введемо кругову частоту , що є частотним інтервалом між сусідніми гармоніками, частоти яких дорівнюють . При граничному переході заміна відбувається за схемою: ;
=,
Де - поточна частота, що змінюється безперервно; - її приріст. Тоді сума в (2.3) перейде в інтеграл і ми дістанемо
(2.9)
або
, (2.10)
де
=. (2.11)
Фур'є аналіз аперіодичних бінарних структур розглядається в роботі [109]. У цій роботі запропоновано, для дослідження растрового зображення з частотно-модульованою структурою, використовувати періодичну систему відліку для знаходження радіально усередненого спектра.
На рис. 2.1. представлено прямокутну та гексагональну системи відліку. Періодичну систему відліку можна представити просторовою матрицею , яка складається з двох лінійно незалежних векторів,
. (2.12)
Фур'є перетворення на такій сітці буде повторюватись в частотному представленні як, визначена спектром частот , відповідна матриця .
Обидві матриці взаємно пов'язані наступним чином:
, (2.13)
де І - тотожна матриця.
Рис. 2.1. Прямокутна та гексагональна системи відліку
Прямокутна та гексагональна решітки розглядаються як регулярні, тому форми, які утворюють піксели - регулярні багатокутники. В обох випадках
. (2.14)
Для прямокутної решітки
. (2.15)
Для гексагональної решітки
. (2.16)
та - одиничні періоди відповідно для гексагонального та прямокутного випадків. В прикладах взято стале число зразків на одиницю площі з чого випливає
. (2.17)
Слід зауважити, що величина , і (2.18)
У роботі [109] встановлено, що процес растрування, який відбувається за будь-яким алгоритмом, крім поелементного порівняння з матрицею критичних значень, в загальному буде давати аперіодичні візерунки і може моделюватися як стохастичний процес [109].