ГЛАВА 2.
РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ ПОЛЕМ ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКИ СИЛОВЫХ ЦЕНТРОВ, МОДЕЛИРУЕМОЙ КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩИМ МНОГОЦЕНТРОВЫM ПОТЕНЦИАЛОМ
2.1. Введение
В Главе 2 рассмотрено рассеяние частиц на одномерных системах силовых центров, моделируемых потенциалами нулевого радиуса действия. С помощью метода матрицы переноса найдены спектры и коэффициенты мезоскопического сопротивления в случаях: цепочек силовых центров с произвольным (конечным) числом изотопических и сдвиговых дефектов (п.2.4), идеальной цепочки при наличии внешнего поля (п.2.5), контакта идеальных сегментов с различными периодами, а также последовательности сегментов с чередующимися периодами (модель композиционной суперрешетки - п.2.6.) Описано образование изолированных парных резонансов в спектрах одномерных систем с дефектами (п.2.4.) и таммовских минизон в спектре композиционной суперрешетки (п.2.6.).
2.2.Метод матрицы переноса для регулярной цепочки силовых центров
Рассмотрим одномерную периодическую цепочку, составленную из N силовых точечных центров, с потенциальной энергией V(x), определяемой суперпозицией потенциалов нулевого радиуса действия:
V(x) = , (2.1)
где а - период одномерной решетки, V - силовая постоянная. Здесь и далее будем использовать атомную систему единиц: m?e?h?1.
Уравнение Шредингера для волновой функции частицы (например, электрона), рассеиваемого полем цепочки (2.1) имеет вид:
(2.2)
где Е и ??(x) - соответственно, собственное значение энергии и собственная волновая функция рассеиваемой частицы.
Уравнение (2.2) с потенциальной энергией (2.1) всюду на вещественной оси, за исключением точек xn?na (n?1...N), имеет решения, которые могут быть представлены в виде суперпозиции падающей и отраженной плоских волн:
?(x) ??A eikx ??B e-ikx, (2.3)
где k?, А и В - коэффициенты, определяемые с помощью граничных условий.
В качестве граничных условий на узле xn зададим условия непрерывности волновой функции и ее логарифмической производной:
?(xn ??0) ???(xn ??0), ?'(xn ??0) ???'(xn ??0) ??V??(xn ??0). (2.4)
Положим амплитуды падающей и отраженной плоских волн равными 1 и 0 в окрестностях левого и правого концов цепочки, соответственно. В результате получаем:
?(x?x1) ??eikx ??r e-ikx, ?(x?xN) ??t eikx. (2.5)
Волновая функция (2.3) однозначно определяется столбцом коэффициентов A и B. Введем в рассмотрение квадратную матрицу Т размером 2х2 по следующему правилу:
T ? . (2.6)
Матрица Т "сшивает" столбцы коэффициентов волновой функции ??(x) в левой и правой окрестностях точки сингулярности потенциала xn и называется матрицей переноса или трансфер-матрицей.
Для получения явного выражения для Т перепишем граничные условия (2.4) в матричном виде:
???
??. (2.7)
Отметим, что при получении (2.7) была учтена трансляционная инвариантность волновой функции ??(x) в поле периодической цепочки:
?(x?na) ? ?(x). (2.8)
Умножая (2.7) слева на и заменив 2k на k (что просто изменит определение этой величины), получаем:
?? . (2.9)
Сравнивая (2.6) и (2.9), получаем выражение для матрицы переноса в случае регулярной цепочки в следующем виде:
T0 ??, (2.10)
где ?0 ??e?ika, ?0 ??eikna.
Такая форма представления для матрицы называется формой Кейли.
Граничные условия, задающие соотношения (2.5), могут быть записаны в матричном виде с помощью векторов, составленных из коэффициентов волновой функции (2.3):
, x
Матрица переноса T0 для регулярной цепочки допускает диагональное представление с помощью преобразования, доставляемого матрицей S:
S ??, (2.12)
имеющее следующий вид
Td ??S?? T0 S ???, (2.13)
где S??? ??????0)/?0, а ?? - собственные значения матрицы переноса (2.10):
Для матрицы переноса мы, в основном, будем использовать представление, собственное по отношению к регулярной матрице переноса цепочки T0. В этом представлении матрица T0 не зависит от номера (положения) атома n в цепочке, т.к. собственные значения ?? определяются шпуром матрицы T0, в свою очередь, не содержащим этой зависимости. Представление (2.13) связано со свойством унимодулярности вронскиана уравнения (2.2) и матрицы переноса (2.13), которое имеет место в случае произвольного выражения для потенциальной энергии.
В случае цепочки, включающей конечное число центров N, матрица переноса может быть представлена в виде:
N
T (N) ? ??Tj. (2.14)
j=1
Выражение для спектра в терминах трансфер-матрицы определяется по следующему правилу:
E ??q2, где cos qa ???Sp T. (2.15)
Для регулярной цепочки из (2.15) с учетом (2.10) следует, например:
E ??, где cos q0a ???Sp T0 = cos ka ??sin ka. (2.16)
Выражение (2.16) доставляет спектр так называемой дираковской потенциальной "гребенки".
2.3. Мезоскопичсекое сопротивление цепочек силовых центров. Модель Ландауэра
Рассмотрим снова ограниченную одномерную цепочку бесструктурных центров, моделируемых потенциалами нулевого радиуса действия. Перенос частицы вдоль такой цепочки может иметь место, например, если концы цепочки соединены с металлическими контактами, обладающими различными химическими потенциалами, или когда цепочка помещена во внешнее электрическое поле, направленное вдоль оси цепочки, а частица является заряженной. В рамках модели Ландауэра, сопротивление, испытываемое частицей при рассеянии такой системой, определяется как отношение коэффициентов отражения r и прохождения t, введенных в предыдущем параграфе, и с учетом граничных условий (2.5), доставляется выражением вида:
????? ?2????
Если центры цепочки моделируются с помощью потенциалов иных типов (отличных от точечных), так, что частица уже не является свободной ни в одной из точек системы, выражение (2.17) обобщается по следующему правилу:
????? ?2????
Знаменатель данного выражения представляет собой вероятность обнаружения пробной частицы в правой, а числитель - в левой окрестностях цепочки (за вычетом вклад