РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПРЕДПОСЫЛОК ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОДАТЛИВОСТИ ЗУБЬЕВ И
УРОВНЯ ИХ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРЯМОЗУБЫХ
КОЛЁС
2.1. Геометрия эвольвентного прямозубого зацепления при решении
конечно-элементной задачи.
В процессе проектирования зубчатых передач всё чаще возникает необходимость в
использовании наиболее совершенных методов их расчёта, по возможности более
полно отражающих условия работы, конструкцию зубчатых колёс, геометрию зубьев,
упругие характеристики материала, скоростные факторы и др. Всё это диктуется
постоянным стремлением к увеличению долговечности и уменьшению веса машин в
целом при одновременном улучшении качества их эксплуатационных показателей.
Поэтому разработка теоретических основ и практических алгоритмов расчёта
напряжённо-деформированного состояния зубьев должна опираться на более
совершенные математические модели зубьев, реализуемые на ЭВМ, и отличаться
общностью для различных видов зацепления. Вследствие этого применение методов
теории упругости к решению задач деталей машин и, в частности, к зубчатым
колёсам [77, 81, 130, 142] позволит получить решения, максимально
соответствующие действительности.
Как правило, задачи теории упругости формулируются в виде некоторой системы
дифференциальных уравнений, сопровождаемых краевыми условиями. Такие задачи
принято называть краевыми или граничными. Классические методы решения краевых
задач (метод Фурье, интегральных преобразований, конформных отображений и
другие) геометрическую информацию учитывают благодаря удачному выбору системы
координат или отображающей функции, а в методе интегральных уравнений – путём
интегрирования по соответствующим областям. Однако, эти методы удаётся
применить далеко не всегда. Более универсальный характер для задач теории
упругости имеют разностные, вариационно-разностные (в частности метод конечных
элементов) и вариационные методы с применением теории R – функций. В
вариационных методах учёт геометрической информации осуществляется в процессе
построения координатных (пробных) функций, удовлетворяющих краевым условиям,
условиям полноты и линейной независимости. В разностных методах и методе
конечных элементов геометрическая и аналитическая информация о краевой задаче
представляется числовыми массивами.
В настоящей работе принято использовать для расчёта объёмного напряжённого
состояния эвольвентных цилиндрических прямозубых колёс вариационно-разностный
метод конечных элементов. Поэтому в данной главе изложены только те сведенья о
геометрии зубьев, которые непосредственно могут быть реализованы при построении
геометрии объёмной конечно-элементной модели зубчатого колеса.
2.1.1. Определение основных геометрических параметров прямозубого эвольвентного
зацепления.
Все способы построения профилей зубьев основаны на том, что относительное
движение зубчатых колёс совершенно не изменится, будут ли оба колеса
одновременно вращаться вокруг своих осей или же одно из них будет удержано
неподвижным, а второе колесо покатится в соответственном направлении по
первому. Основным кинематическим условием, которому должны удовлетворять
профили зубьев, является постоянство мгновенного передаточного отношения
передачи. Отношение угловых скоростей двух сопряжённых систем называется
передаточным отношением. Передаточное отношение обозначается буквой и с
соответствующим двойным индексом:
(2.1)
где w1 , w2 – угловые скорости, а z1 , z2 – число зубьев ведущего и ведомого
колёс.
Пользуясь методом Эйлера, проведём через полюс зацепления W (рис.2.1) под
некоторым углом к линии центров О1О2 прямую NN и опустим на неё перпендикуляры
О1А и О2В из центров О1 и О2 радиусами О1А=r1 и О2В=r2 опишем основные
окружности р1 и р2 . Выбрав на производящей прямой NN произвольную точку С,
покатим эту прямую по основным окружностям р1 и р2 в каком угодно
последовательном порядке; тогда точка С прямой NN опишет соответствующие
эвольвенты с1С1с1 и с2С2с2 . Поскольку по известным свойствам эвольвенты [99]
прямая NN является общей нормалью к эвольвентам с1С1с1 и с2С2с2 в точке С их
касания и проходит через полюс зацепления W, эти кривые, на основании закона
зацепления, пригодны для профилей зубьев при передаточном числе u=const, а
именно – эвольвента с1С1с1 даёт профиль зуба колеса 1, а эвольвента с2С2с2 –
профиль зуба колеса 2. Следовательно производящие окружности р1 и р2 являются
здесь основными эволютами, эвольвенты которых дают профили зубьев. Форма
кривой, полученной при качении производящей прямой NN по основной окружности
конкретного колеса, определяется только радиусом r этой окружности и совершенно
не зависит от элементов другого колеса. Это позволяет применять эвольвентное
зацепление в смежных передачах в сериях колёс и в комбинации с любыми другими
колесами, лишь бы шаг P был одинаковым для всех зацепляющихся колёс. Очевидно,
радиусы основных окружностей:
и (2.2)
где - угол зацепления. Углом зацепления в эвольвентном зацеплении называется
угол между линией зацепления и перпендикуляром к линии центров. В эвольвентном
зацеплении , так как все точки контакта зубьев лежат на прямой NN, как на линии
зацепления, сохраняющей все время неизменное положение касательной к основным
окружностям р1 и р2 радиусов r01 и r02. Стоит отметить также, что линия NN,
будучи общей нормально к касающимся профилям зубьев в точке их касания,
является одновременно
Рис.2.1 Геометрия эвольвентного зацепления.
линией силовой реакции одного зуба на другой (если пренебречь трением), то
отсюда следует, что направление передаваемого и
- Київ+380960830922