РАЗДЕЛ 2
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ РАБОЧЕГО ОРГАНА, ИМЕЮЩЕГО ФОРМУ ШИРОКОГО КОЛЬЦА
Будем рассматривать рабочий орган машины, имеющий форму широкого кольца, который выполняет работу при вращении в отсутствии механической связи - приводного вала и подшипников, то есть не имеет механических опор. Для нормального функционирования такой машины необходимо обеспечить устойчивое вращательное движение рабочего органа как на холостом ходу, так и при технологических нагрузках. Под действием внешних сил могут возникать возмущения, приводящие его к смещению относительно исходного положения равновесия. Система внешних сил должна не только приводить рабочий орган во вращательное движение, но и формировать потенциальную яму, которая препятствовала бы его смещению в плоскости вращения, а в случае возникновения смещения - возвращать в исходное положение.
2.1. Основные понятия и определения
Считаем, что рабочий орган изготовлен из металла (например, меди или алюминия) и обладает достаточными механическими свойствами для выполнения полезной работы. Его может приводить в движение система внешних сил различной природы, в том числе электродинамические [64, 65]. Данные силы являются внешними, объёмными по характеру действия, а по величине - достаточными для приведения тела в движение и стабилизации его положения в пространстве [41, 44, 96], а потому могут быть использованы для совершения полезной работы.
Учитывая существующую возможность точного регулирования пондеромоторных сил по величине и направлению с помощью современных технических средств [23, 30], вопросы, связанные с созданием магнитных полей, порождающих необходимые силы, не рассматриваются. Главное внимание уделено исследованию устойчивости вращения КРО без механических опор под действием различных внешних сил - электродинамических, технологических и сопротивления, без рассмотрения природы их возникновения.
Для функционирования машин устойчивость движения рабочих органов имеет принципиальное значение. Рабочее колесо насоса, алмазный режущий круг или колесо вентилятора, несмотря на некоторое непостоянство сил нагрузки и сопротивления, должны сохранять во время работы вполне определённое положение в пространстве. Параметром для оценки устойчивости движения (обобщенной координатой) является смещение центра масс КРО от исходного положения. В нашем случае исходному положению соответствует такое, при котором оси симметрии рабочего органа и области действия внешних сил совпадают.
При разработке типовых механизмов устойчивость движения вращающихся деталей обеспечивается конструктивно - применением вала с подшипниками и, как правило, не требует отдельного исследования.
В некоторых случаях требуется исследование механической системы на равновесие. Известно, что условием равновесия свободного твёрдого тела является равенство нулю сумм проекций сил на координатные оси и сумм моментов сил относительно этих осей. Например, для рабочего органа, имеющего неподвижную ось вращения, условием равновесия будет равенство нулю суммы моментов сил относительно данной оси, а равенство нулю сумм проекций сил на координатные оси даст уравнения для определения реакций подшипников, закрепляющих ось вращения [21, 28]. Положение равновесия принято считать устойчивым, если при достаточно малом отклонении из этого положения система стремится возвратиться в него, при стремлении к удалению - не устойчивым и при отсутствии явной тенденции - безразличным [21].
Однако, исследование устойчивости движения является обязательным для объектов, движение которых определяется не механическими связями, а текущим распределением внешних сил (летящие снаряд, самолёт или космический аппарат, вращающийся гироскоп) [39, 52, 96 - 99].
В аналогичных условиях совершает движение КРО без механических опор, так как его вращение и положение относительно опорной плоскости определяются не традиционным для вращательных пар геометрическим замыканием, а системой внешних сил. В таких случаях для исследования устойчивости движения необходимо рассматривать не только расчётное (невозмущённое) движение, но, главным образом, исследовать возникающие отклонения и их влияние на механическую систему [93].
В реальных условиях функционирования машин практически всегда возникают возмущения, вызванные неточностью изготовления деталей, неравномерностью и случайным характером сил сопротивления, технологических нагрузок и другими факторами. Такие возмущения вызывают отклонения от расчётного движения, то есть приводят к возмущённому движению. Эти возмущения могут быть случайными (силы трения) или систематическими (технологические нагрузки). Исследование возмущенного движения может быть выполнено с помощью известной теории устойчивости движения, что дает возможность получить ответ на вопрос об устойчивости, как отдельных процессов, так и функционирования машины в целом.
Теория устойчивости движения занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое движение устойчивым или неустойчивым и разработкой методов исследования устойчивости [39, 100-106]. Наиболее общая постановка задачи об устойчивости движения и строгие математические методы её решения были предложены Ляпуновым А.М. [55, 107].
Важно подчеркнуть, что разработанные в теории методы и критерии (например, Гурвица, Вышнеградского, Михайлова), позволяют оценить устойчивость движения механических систем на основе качественного анализа дифференциальных уравнений возмущённого движения. Результат возможно получить без нахождения решений дифференциальных уравнений, которые могут быть нелинейными и иметь высокий порядок [52, 55].
Движение считается устойчивым, если для любой заданной области ? допустимых отклонений от положения равновесия существует область ?(?) начальных возмущений, внутри которой начавшееся движение рабочего органа никогда не достигнет границ области ?, то есть и при любом t > t0 будет выполняться неравенство:
.(2.1)
Если же при