РАЗДЕЛ 2
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ В ТОРОИДАЛЬНО
ИЗОГНУТЫХ КРИСТАЛЛАХ С МИКРОДЕФЕКТАМИ В СЛУЧАЕ ГЕОМЕТРИИ ДИФРАКЦИИ ПО ЛАУЭ
2.1. Введение
При исследовании закономерностей дифракции рентгеновских лучей в упруго
изогнутых кристаллах, показано хорошее согласие теоретических и
экспериментальных значений интенсивностей Лауэ-дифрагированных пучков как для
малых градиентов деформации [45, 46], так и в общем случае однородного изгиба
образцов [49, 50]. Однако, полученные результаты справедливы только для
кристаллов, не содержащих локализованных дефектов структуры, статистически
распределенных в рассеивающем объеме. Каждое из этих нарушений структуры
способно оказывать независимое воздействие на процессы поглощения и рассеяния
волновых полей в кристалле. При этом помимо аддитивного действия указанных
искажений структуры возможно более сложное их влияние на интенсивности
дифракции рентгеновских лучей, являющееся следствием взаимодействия
деформационных полей. Несмотря на то, что это влияние было рассмотрено в общем
случае упругого изгиба и конкретизировано на случай цилиндрически изогнутого
кристалла, остается необходимость построения теории динамического рассеяния
рентгеновских лучей в тороидально изогнутом кристалле с хаотически
распределенными дефектами.
В данном разделе для случая тороидального изгиба монокристалла с однородно
распределенными микродефектами будут найдены аналитические выражения для
дифференциальных коэффициентов отражения и прохождения когерентных волн в
геометрии дифракции рентгеновских лучей по Лауэ. Кроме этого, полученные
аналитические зависимости будут сопоставлены с известным экспериментом.
2.2. Дифференциальные коэффициенты отражения и прохождения
Когерентная компонента дифференциального коэффициента отражения имеет вид
свертки амплитуды отражения неизогнутого кристалла с равномерно распределенными
дефектами и весовой функции g, которая зависит от параметров макродеформации и
описывает распределение вследствие макроскопического изгиба отражающих
плоскостей вкладов различных точек возбуждения на дисперсионной поверхности в
результирующую интенсивность [154, 155]:
, (2.1)
(2.3)
,
где – фактор асимметрии, g0 , gH – направляющие косинусы волновых векторов
падающей (K0)и дифрагированной (KH = K + Н) волн, d = 1, 2 – задает номер ветви
дисперсионной поверхности, С=1 или соs(2qВ) – поляризационный множитель, l –
длина волны рентгеновского излучения, c0, c±Н – фуръе-компоненты поляризуемости
кристалла, - дисперсионные поправки вследствие диффузного рассеяния, t –
толщина кристалла, а также использованы обозначения
,
. (2.3)
Аккомодации волновых векторов когерентных волн в изогнутом кристалле имеют вид:
, (2.4)
,
, (2.5)
где – длина экстинкции.
Весовая функция описывает вклад плоской волны в кристалле K+, где двумерный
вектор = (qx,qy), в плоскую волну в вакууме Kґ+p, где
здесь qB – угол Брэгга. Вид весовой функции полностью определяется полем
упругой макроскопической деформации u(r):
, (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
причем и V – объем кристалла. Функция Eq(K) в выражениях (2.7) и (2.8) является
Фурье компонентой фазовой функции, которая определяется полем макроскопической
деформации u(r).
2.3. Весовая функция тороидально изогнутого кристалла
Для нахождения явного выражения функции необходимо вычислить и сi. В
соответствующие выражения (2.7) и (2.8) входят Фурье-компоненты Eq(K). Найдем
их явный вид в случае тороидального изгиба (см. рис.2.1).
Поле деформации u(r) = (ux, uy, uz) в макроскопически упруго деформированном
монокристалле в случае тороидального изгиба имеет вид [159, 160]:
,
,
Рис. 1. Асимметричная геометрия дифракции по Лауэ в тороидально изогнутом
кристалле со знакопеременными rm<0, rs>0 а), и положительными rm>0, rs>0 (б)
радиусами изгиба. K0, KH – волновые векторы соответственно проходящей и
дифрагированной когерентных плоских волн, H – вектор обратной решетки, n –
внутренняя нормаль к входной поверхности кристалла, qB – угол Брэгга, y – угол
между нормалью к поверхности кристалла и отражающими плоскостями, (а –
положительный, б – отрицательный).
где н – коэффициент Пуассона, Е – модуль Юнга, k1 и k2 – параметры изгиба,
которые связаны с радиусами изгиба следующим образом: , где и соответственно
радиусы меридионального и сагиттального изгибов. В частном случае
цилиндрического изгиба, если кристалл изогнут в меридиональной плоскости, то ,
если же кристалл изогнут в сагиттальной плоскости, то .
Подставляя (2.10) в (2.9), получим после интегрирования:
(2.11)
, ,
В выражении (2.11) можно отбросить несущественный фазовый множитель exp(is) и
также учесть, что , т.е. при << можно положить и слагаемым в экспоненте с
множителем можно пренебречь. Тогда получим:
, (2.12)
где введены обозначения:
(2.13)
Найдем выражение для , подставив в (2.9) вместо K вектор (), вместо q – вектор
р. Учитывая, что и при << справедливо равенство , а , получим:
. (2.14)
Найдем ri, подставляя (2.11) и (2.14) в выражение (2.8):
(15)
Подставив (2.12), (2.14) и (2.15) в формулу (2.6), получим выражение для
весовой функции:
(2.16)
Видно, что по каждой переменной px, py, qx, qy, функция g является
осциллирующей и при выполнении полного интегрирования представляет собой
единичную функцию.
После интегрирования весовой функции g по переменным px, py, qy
Рис. 2. Мнимая часть весовой функции сферически изогнутого крист