РОЗДІЛ 2
КОНТИНУАЛЬНА ТЕОРІЯ СПІКАННЯ
БІПОРИСТОГО ТІЛА
Вступ
В попередньому розділі була детально обгрунтована доцільність теоретичного дослідження макрокінетики спікання матеріалів з бімодальним розподілом пор за розміром. Оскільки в даній роботі остаточні результати мається намір формулювати у вигляді часової залежності зміни вмісту пор кожного типу без урахування конкретного механізму спікання, бачиться за доцільне використати для досягнення даної мети одну з континуальных теорій спікання. Саме з їх допомогою пояснено багато особливості поведінки пористих тіл, в умовах поєднання спікання і навантаження для звичайних пористих матеріалів [89, 90]. Докладний аналіз таких моделей що міститься в [32], а також дані роботи [88], свідчать, однак, про відсутність такого ефективного підходу, коли мова йде про біпористі матеріали.
Враховуючи сказане, а також проведене в попередньому розділі порівняння існуючих континуальних теорій спікання, автори даної роботи визнали доцільним узагальнити існуючу континуальну теорію спікання В.В. Скорохода на випадок пористого матеріалу, пориста структура якого є бімодальною.
Об'єктом розгляду в даному розділі є пористі тіла, що характеризуються бімодальним розподілом пор. Для таких матеріалів формулюється узагальнена механічна модель поведінки за умов гарячої обробки тиском та спікання. Основні співвідношення моделі, що використовуються для аналізу впливу зовнішнього навантаження та обмежень, будуються як узагальнення реологічної моделі спікання. В основу побудови покладені уявлення лінійної мікромеханіки середовищ, що мають матричну структуру. При цьому припускається, що для біпористих тіл має місце подвійна матрична будова, що включає безпористу матрицю для маленьких пор, та пористу матрицю для великих пор. Формулюються вирази для ефективних коефіцієнтів в'язкості та Лапласівського тиску.
Застосування отриманих співвідношень концентрується на аналізі еволюції пористості обох типів та накопиченої деформації безпоритої матриці для різних шляхів навантаження та обмежень.
2.1. Загальні співвідношення та припущення про структуру біпористого матеріалу
Подальший розгляд стосується пористих матеріалів, матриця яких містить суміш пор двох різних розмірів [104-106]. Відносно таких матеріалів в даному розділі формулюється механічна модель їх поведінки на макроскопічному рівні. Оскільки реологічна поведінка дрібнопористої матриці описується за допомогою моделі В.В. Скорохода, в якій механічні ефективні властивості є лінійно-в'язкими, тому ефективні властивості біпористого композиту також виявляються лінійно-в'язкими. В залежності від форми та характеру розміщення великих пор біпористий композит може мати більш або менш виражену анізотропію властивостей. Але оскільки нас цікавить в першу чергу кінетика усадки і еволюція вмісту великих і малих пор при спіканні, розглядається сферично-симетрична елементарна комірка і таким чином постулюється ізотропія властивостей. Слід зазначити, що для врахування анізотропії властивостей треба вводити додаткові внутрішні параметри стану, які б описували ступінь анізотропії (наприклад відношення найбільшого й найменшого перетину пори). Знайти ж еволюційні рівняння для цих параметрів в замкненому вигляді виявляється неможливим. Наприклад, в роботі [91] розглядались витягнуті еліптичні пори і досліджувався вплив ексцентриситету пори на відхилення макроскопічних лапласівських напружжень від гідростатичного тиску, але питання про еволюцію форми пори не досліджувалось.
Зі сказанного вище випливає, що рівняння шуканої реологічної моделі біпористого тіла можуть бути подані у загальному вигляді:
, (2.1)
де, як і раніше та - тензори напружень та швидкостей деформацій відповідно,
e - швидкість зміни об'єму,
- ефективний коефіцієнт зсувної в'язкості,
- ефективний коефіцієнт об'ємної в'язкості,
- ефективний Лапласівський тиск або ефективний потенціал спікання.
Три останні з наведених вище матеріальних параметрів розглядаються як ефективні характеристики біпористого матеріалу. Вони підлягають визначенню таким чином, що кожний з них має бути представлений як функція вмісту різних типів пор.
Крім того, для кожного типу пор будуть сформульовані рівняння еволюції, що мають пов'язувати швидкість зміни вмісту пор різного типу з параметрами навантаження або деформування. Ці рівняння мають містити лише макроскопічні або осереднені змінні і повинні характеризувати еволюцію стану на макроскопічному рівні.
Подальший аналіз базується на припущенні, що біпористий матеріал може бути віднесений до категорії матеріалів з матричною структурою. Стилізований фрагмент такого матеріалу представлений на Рис2.1
Рис. 2.1. Стилізований фрагмент біпористого матеріалу
Згідно з концепцією матричності одна велика пора знаходиться в оточенні пор меншого радіусу. Іншими словами припускається, що великі пори знаходяться у матриці, яка, в свою чергу, містить пори меншого радіуса. При цьому припускається, що поведінка дрібнопористої матриці контролюється рівнянням (2.2)
(2.2)
де, - пористість
Тут і в подальшому розгляді параметри визначають коефіцієнти об'ємної, зсувної в'язкості і Лапласівський тиск (потенціал спікання) дрібнопористої матриці відповідно
2.2. Аналіз на елементарній комірці
Визначення ефективних властивостей біпористого матеріала, які описуються матеріальними параметрами рівняння (2.1) базується на аналізі репрезентативної комірки. Приймається, що вона має форму порожньої сфери з внутрішнім радіусом і зовнішнім -
Рис. 2.2. Репрезентативна комірка біпористого матеріалу
Внутрішня порожнина ототожнюється з великою порою. Матеріал, що заповнює простір між двома сферами вважається пористим і містить пори меншого радіусу. Для його характеристики використовуватиметься термін - дрібнопориста матриця. Натомість, матеріал, розташованиий між маленькими порами будемо називати безпорист