РАЗДЕЛ 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ГОРНЫХ ПОРОД ПРИ ВЗРЫВАХ ЗАРЯДОВ взрывчатых веществ В
РУКАВАХ C ЗАЗОРАМИ ОТНОСИТЕЛЬНО СТЕНОК СКВАЖИН
2.1. Математическая постановка задач динамики взрыва в горных породах
Как уже отмечалось в первом разделе, вопросам повышения эффективности взрыва в
твердых средах посвящен ряд экспериментальных и теоретических работ [3, 16, 94,
124, 192–211], из анализа которых следует, что одним из методов повышения
полезной работы взрыва является создание воздушной или водной оболочки (зазора)
вокруг заряда химического ВВ. Однако, теоретические работы по исследованию
динамического поведения системы «продукты детонации –заполнитель оболочки
вокруг заряда – горная порода», как правило, основаны на упрощенных модельных
представлениях о взаимодействующих средах и не учитывают связанности
термодинамических параметров сред этой системы в каждый момент времени, что не
позволяет адекватно описать происходящие в них процессы.
Учитывая также, что в источниках отсутствует программный продукт, который можно
было бы использовать для получения расчетных данных при изучении влияния на
состояние пород параметров конкретных заполнителей, пород и применяемых ВВ,
перед автором возникла необходимость в постановке и решении связанной задачи на
основе новой модели динамического поведения горной породы, разработанной
В.Н.Николаевским [198-201], которая учитывает основные свойства породы при
взрывных и ударных нагрузках.
Рассмотрим цилиндрический заряд ВВ бесконечной длины, расположенный по оси
скважины, заполненной водой или воздухом, в горном массиве. Принимается схема
мгновенной волновой детонации, состоящей в следующем. Весь заряд детонирует
мгновенно, по всему его объему устанавливается одинаковое высокое давление Рн и
одинаковая плотность сн, равная начальной плотности ВВ. От контактного разрыва
«продукты детонации (ПД)–вода или воздух» по последней среде начинает
распространяться ударная волна (УВ), а по ПД – сходящаяся волна сжатия.
Рассматривается связанная задача для ПД, заполнителя зазора и горной породы,
обусловленная связанностью полей термодинамических величин в этих средах,
изучаемых в рамках механики сплошной среды [218, 220, 297, 299].
Законы сохранения количества движения, массы и энергии для ПД и заполнителя
зазора (вода, воздух) в переменных Лагранжа имеют соответственно следующий
вид:
где с – плотность среды;
u – массовая скорость частиц среды;
t – время;
r – пространственная координата;
Р – среднее гидростатическое давление в среде;
Е – удельная внутренняя энергия среды.
Полагается, что расширение ПД происходит по изэнтропическому уравнению
состояния в форме двучлена [189]:
. (2.4)
Принимается, что это уравнение при малых давлениях Р>Р0 (где Р0 – атмосферное
давление, с0 – соответствующая плотность ПД) переходит в следующее уравнение:
, (2.5)
а при Р = Рн (Рн, сн – давление и плотность ПД на фронте детонационной волны) –
в уравнение
, (2.6)
где k и k0 – показатели политропы соответственно на начальном и конечном
участках диаграммы.
Разность давлений, вычисленных по уравнениям (2.5)-(2.6) и по уравнению (2.4)
невелика. В первом случае скорость звука в точке сопряжения кривых (2.5) и
(2.6) испытывает скачок, во втором – изменяется непрерывно.
Величины А, В, n0, г в уравнении (2.4) определяются из таких условий: кривые
(2.5) и (2.6) имеют общую точку (Рн, сн) и касательную в этой точке, кривые
(2.4) и (2.6) имеют общую касательную при Р > Р0.
Расширяясь от сн до с0, продукты детонации совершают работу, равную внутренней
энергии Е.
Внутренняя энергия ПД на фронте детонационной волны равна сумме теплоты взрыва
Q и энергии ударного перехода
. (2.7)
где V0 и Vн – удельные объемы среды при давлениях Р0 и Рн.
С учетом вышеназванных условий и уравнения (2.4) имеем систему 4-х
алгебраических уравнений для определения параметров А, В, n0, г:
(2.8)
На фронте детонационной волны выполняются условия:
Рн = с0D2 /2(k + 1), , (2.9)
где D – скорость детонации.
Из (2.8) и (2.9) следует, что параметры А, В, n0, г определяются исходными
характеристиками BB: D, Q, k, k0, с0.
Известно, что связь между давлением и плотностью воды в широком интервале
давлений описывается экспериментальным уравнением Тета [198]
Р = , (2.10)
где св, сзв – плотность воды и скорость звука в ней при атмосферном давлении;
в – экспериментальная постоянная.
Уравнение состояния для воздуха примем в виде энергетического уравнения для
идеального газа
(2.11)
где – const (для воздуха = 1,4).
Из анализа результатов экспериментальных исследований известно, что необратимые
объемные деформации горных пород при взрывных и ударных нагрузках вызваны
такими явлениями, как развитие трещин и пор, взаимные перемещения минеральных
зерен и развитие дислокаций внутри них. Эти явления приводят к дилатансионному
изменению объема, что является одним из основных свойств пластического
течения.
Поэтому для описания динамического поведения горной породы используем
современную упругопластическую дилатансионную модель [198-201].
Уравнения движения в переменных Лагранжа для горной породы в случае
цилиндрической симметрии имеют вид:
где Si, уi (i = r, и, z) – компоненты полного тензора и девиатора тензора
напряжений;
V, V0 – текущий и начальный (при Р = Р0) удельные объемы; = V/V0;
r, и, z – цилиндрические координаты.
Для компонентов тензора скоростей деформаций выполняются соотношения:
(2.16)
Полагаем, что в зоне упругих деформаций изменения напряжения
- Київ+380960830922