РАЗДЕЛ 2
ИНСТРУМЕНТЫ И ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ И СТРУКТУРЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Концепция моделирования поведения и структуры сложных экономических систем (см. рис. 1.10) подразумевает применение методов нелинейной динамики и теории фрактальных графов. Необходимо рассмотреть определения понятий и методы вычисления числовых характеристик, предлагаемые нелинейной динамикой, которые будут использоваться для моделирования поведения экономических систем. Для экономических систем, информация о которых представлена в виде временного ряда наблюдений за их поведением, анализируется применимость предлагаемых нелинейной динамикой методов с точки зрения особенностей экономических временных рядов.
В качестве инструмента моделирования поведения экономических систем, представленного агрегированной информацией, предлагается использовать дискретные итерационные отображения - логистическое отображение и его обобщения. Моделирование поведения экономических систем в условиях неполной информации осуществляется за счет применения методов экспериментальной экономики.
Для моделирования структуры сложных экономических систем предлагается использовать новый математический аппарат - теорию фрактальных графов. Разработка методов формирования исходной информации при моделировании поведения и структуры экономических систем позволяет обеспечить внедрение моделей в практику управления этими системами.
2.1. Инструментальные средства нелинейной динамики
Рассмотрим определение тех понятий нелинейной динамики, которые необходимы для применения ее методов к моделированию поведения сложных экономических систем и расширяют и уточняют определения 1.6 - 1.10.
Определение 2.1. Описание некоторой экономической системы S называется состоянием, если описание в следующий момент времени однозначно определяется ее предшествующим описанием в момент времени t так, что где T - это оператор, определяющий процедуру, выполняя которую по описанию можно найти описание той же системы S в некоторый следующий момент времени [89].
Состояние системы S можно рассматривать как точки некоторого пространства .
Определение 2.2. Пространство всевозможных состояний экономи-ческой системы S называется фазовым пространством системы S [89].
Изменению состояния системы S во времени отвечает некоторая кривая, изображающая точки в фазовом пространстве . Совокупность пробегаемых при этом точек фазового пространства называется фазовой траекторией.
В силу однозначности оператора T из каждой точки фазового пространства выходит одна единственная фазовая траектория, однако, входить в фазовую точку может произвольное число фазовых траекторий.
Определение 2.3. Фазовое пространство X и оператор T составляют математическую модель динамической экономической системы [89].
Математические модели динамических систем классифицируются в зависимости от структуры их фазового пространства X и вида оператора T. При этом в первую очередь различают случаи непрерывного и дискретного фазового пространства. В экономических приложениях наиболее часто используются динамические системы с дискретным фазовым пространство.
Операторы T классифицируются по их свойствам (линейные, нелинейные, дискретные, непрерывные) и по форме задания (дифференци-альные, интегральные, матричные, табличные).В зависимости от того, является или не является время t одной из переменных фазового пространства, динамические системы разделяют на автономные и неавтономные.
В определениях 1.8 - 1.10 введены понятия фазового портрета, аттрактора и странного аттрактора.
Странный аттрактор состоит из бесконечного числа неустойчивых циклов разных периодов и несчетного множества апериодических точек. Странный аттрактор существует за счет совместной работы двух ''механизмов'': растяжения и сжатия. Растяжение состоит в том, что какими бы близкими мы не взяли два начальных условия х01 и х02, по прошествии некоторого времени траектории, соответствующие этим начальным значениям, разойдутся на расстояние, превышающее некоторую конечную величину. Это свойство нелинейных динамических систем называется чувствительностью к начальным данным. В экономических системах, как правило, начальные значения переменных и значения параметров определяются с некоторой погрешностью, поэтому чувствительность нелинейных моделей к начальным данным необходимо учитывать при построении прогнозов на их основе.
Механизм сжатия выполняет противоположную функцию. Он сближает со временем отстоящие друг от друга траектории.
Определение 2.4. Экономическая динамическая система проявляет упорядоченное поведение, если ее фазовый портрет состоит из конечного числа предельных состояний и предельных циклов [76] .
Определение 2.5. Экономическая система проявляет хаотическое поведение, если ее фазовый портрет содержит странный аттрактор [76].
В таких системах невозможно предсказать отдаленное будущее, прогноз всегда ограничен некоторым количественным показателем - горизонтом прогноза.
Для определения типа поведения нелинейной динамической системы введены численные показатели, аналогичные корням характеристического уравнения для линейной системы. Эти показатели называются показателями Ляпунова. Если значение наибольшего показателя Ляпунова положительно, то динамическая система проявляет хаотическое поведение и близлежащие траектории разбегаются с экспоненциальной скоростью.
Таким образом, и в случае линейной и в случае нелинейной экономической системы тип асимптотического поведения определяется значениями параметров, входящих в систему уравнений ее математической модели. Если в процессе эволюции системы параметры изменяются, то может произойти изменение типа поведения системы, называемое бифуркацией.
Определение 2.6. Областью бифуркации называется такая область значений параметров экономической системы, при которых ее состояние неустойчиво и при малейшем изменении параметра может скачкообразно перейт