РАЗДЕЛ 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ МНОГИХ ПАРАМЕТРОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ НА
ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТРАНСФОРМАТОРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ТЭМП
2.1. Теоретическое обоснование работы ТЭМП, универсальные функции
преобразования и многопараметровые методы определения многих параметров и
температуры трубчатых изделий
Воспользовавшись уравнением Максвелла и законом Ома для проводящей среды,
получим уравнение проникновения магнитного поля в эту среду [111, 114, 115]
, (2.1)
где D – оператор Лапласа;
m0 – магнитная постоянная;
H – напряженность магнитного поля;
mr – относительная магнитная проницаемость трубы;
s – удельная электрическая проводимость материала изделия;
t – время.
Решение уравнения (2.1) для случая продольного однородного магнитного поля и
размещенного в нем цилиндрического проводящего изделия находится с помощью
модифицированных функций Бесселя первого и второго рода нулевого порядка (I0 и
K0). Свойства этих функций и таблицы описаны в справочной литературе [179, 180,
182].
Для случая синусоидального во времени магнитного поля и достаточно протяженного
изделия, уравнение (2.1) записывается в цилиндрической системе координат в виде
[1, 115]
, (2.2)
где r – текущий радиус изделия;
щ – циклическая частота изменения поля, щ = 2pf;
f – обычная частота.
Упростив (2.2), получим
(2.3)
Уравнения (2.2) и (2.3) получены при условии использования диапазона частот
изменения магнитного поля, в котором токами смещения можно пренебречь и в
случае постоянства mr и s на глубинах проникновения магнитного поля.
Общее стационарное решение уравнений (2.1)–(2.3) имеет вид
, (2.4)
где ;
d – классическая глубина проникновения магнитного поля в изделие;
H0 – напряженность магнитного поля снаружи трубы;
m и n – комплексные постоянные коэффициенты, т.е. постоянные интегрирования
находятся из граничных условий.
и , (2.5)
где и – наружный и внутренний радиусы трубы.
Напряженность магнитного поля на внутренней границе трубы H3(b) определяется из
закона электромагнитной индукции для кругового контура радиуса b, т.е.
(2.6)
где Ej – эдс, индуцируемая в контуре с радиусом b.
Используя уравнение Максвелла и условие (2.6) можно записать выражение для
напряженности Н3 (b) поля на внутреннем радиусе в виде:
(2.7)
На рис. 2.1 представлен внешний вид трансформаторного электромагнитного
преобразователя ТЭМП с трубчатым изделием. Все обозначения элементов ТЭМП и их
размеров приведены на рис. 2.1. На этом рисунке показан общий вид проходного
преобразователя с двумя обмотками (намагничивающей и измерительной), которые
имеют электромагнитный трансформаторный преобразователь.
Проинтегрировав выражение (2.4) по площадям сечений кольца с внешними и
внутренними радиусами и , а также по внутренней полости трубы с учетом
граничных условий, получим выражение для комплексных магнитных потоков в стенке
трубы Ф2 и в ее полости Ф3. Сложив геометрически эти два потока получим
результирующий магнитный поток Ф23, выражение для определения которого имеет
вид [111, 112]:
, (2.8)
где Ф0 – магнитный поток в преобразователе при отсутствии в нем изделия;
I1 и K1 – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода первого
порядков от мнимых аргументов и ;
d – глубина проникновения магнитного поля в изделие;
h – коэффициент заполнения; ;
aп – радиус измерительной обмотки ТЭМП.
(2.9)
Рис. 2.1. Проходной электромагнитный преобразователь
с цилиндрическим трубчатым изделием:
1 – изделие; 2 – диэлектрический каркас; 3 – измерительная обмотка;
4 – намагничивающая обмотка; 5 – изоляционный слой; lп – длина преобразователя;
l – длина изделия; a – внешний радиус изделия;
b – внутренний радиус изделия; aп – радиус измерительной обмотки; aн – радиус
намагничивающей обмотки
Из выражения (2.8) следует, что можно ввести один безразмерный комплексный
параметр К, характеризующий собой удельный нормированный магнитный поток в
трубе на единицу mr. При этом [233]
. (2.10)
Отношение, , – нормированный магнитный поток.
Заменив модифицированные функции Бесселя известными ber-, bei-, и ker-, kei-
функциями Кельвина [180, 182] и выделив действительную и мнимую части выражения
(2.10), получим соотношения для модуля и фазы безразмерного параметра К [233]
; (2.11)
, (2.12)
где
A = ber1x ker1y–bei1x bei1y–ker1x ber1y+kei1x bei1y;
B = bei1x ker1y+ber1x kei1y–kei1x ber1y–ker1x bei1y;
C = –berx kei1y–beix ker1y+keix ber1y+kerx bei1y;
D = berx ker1y–beix kei1y–kerx ber1y+keix bei1y;
A1 = bei1x kery+ber1x keiy–ker1x beiy–kei1x bery;
B1 = bei1x keiy–ber1x kery+ker1x bery-kei1x beiy;
C1 = berx kery–beix keiy–kerx bery+keix beiy;
D1 = beix kery+berx keiy–keix bery–kerx beiy.
Разложения функций Кельвина в ряды и таблицы этих функций приведены в
справочной литературе по функциям Бесселя [180, 182].
Используя соотношение (2.11) и (2.12), можно построить для фиксированных
значений mr кривые зависимости модуля и фазы параметра К от обобщенной
переменной при различных значениях . Анализ результатов расчетов показывает,
что начиная с некоторых значений mr (mr>>50), амплитуда и фаза параметра К для
наиболее распространенных типоразмеров ферромагнитных труб определяются только
двумя обобщенными параметрами и и практически не зависят от величины . Это
связано с тем, что в формулах (2.11) и (2.12) в данном случае сомножители и
становятся малыми, и поэтому стоящие с ними слагаемые слабо влияют на модуль и
фазу параметра К при сравнительно больших значениях. Обобщенные параметры и
связаны между собой соотношением
, (2.13)
где – толщина стенки трубы: .
На основании выражений (2.11) и (2.12) с учетом