РАЗДЕЛ 2
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ СЕЙСМОАКУСТИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ДЛЯ ВЫБОРА РАЦИОНАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ПО ОТРАБОТКЕ УГОЛЬНЫХ ПЛАСТОВ
Целью данного раздела является разработка физико-математических моделей, которые описывают процесс взаимодействия сейсмических волновых пакетов с тектоническими нарушениями угольных пластов, с учетом строения и состояния углепородного массива, а также диссипации энергии в зонах влияния дизъюнктивов.
Решение этой задачи включает в себя разработку методов моделирования процесса распространения сейсмоакустических волновых полей в отрабатываемых угольных пластах, позволяющих учитывать характеристики угля и вмещающих пород, затухание сейсмоакустических колебаний, напряженно-деформированное состояние горного массива и другие факторы, а также разработку методов построения используемых при этом моделей углевмещающей толщи, создание и апробацию программного обеспечения.
2.1. Физико-математические модели процесса распространения сейсмоакустических волновых полей в отрабатываемых угольных пластах
Разработанный подход базируется на идеологии применения идеально упругой модели Гука, в которой среда описывается объемной плотностью ? и двумя модулями упругости для объемных и сдвиговых деформаций (коэффициентами Ламе) [1, 19, 168]. Через них выражаются три сейсмических параметра: плотность ?, скорости распространения продольных Vp и поперечных Vs волн.
В разделе 1 показано, что уравнение движения упругой среды можно записать в виде выражения (1.6). Уравнение (1.6) можно представить в виде системы
(2.1)
где u, v и w - компоненты смещений по x, y и z соответственно, ?i - их коэффициенты затухания во времени в зоне вязкости, ? и ? - коэффициенты Ламе. Моделируемая область представляется неравномерной решеткой из M?N элементов (по осям x и z соответственно) размерами каждый (m=1,...,M; n=1,...,N). Величины ?xm,n и ?zm,n представляют собой шаги дискретизации модельной решетки в пространстве, ?t - во времени (номера шагов p=1,...,P). Используя стандартный подход приведения дифференциальных уравнений в конечно-разностную форму (согласно [161, 162]), расчетные соотношения можно записать в виде:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
где
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
Условия устойчивости решения на двухмерной неоднородной модели имеют вид для волн P,SV и Релея, уравнений (2.2) и (2.3):
, (m=1,...,M; n=1,...,N) ,
для волн SН и Лява, уравнения (2.4):
, (m=1,...,M; n=1,...,N) ,
где и - скорости распространения волн сжатия и сдвига, соответственно, для узла модели с "координатами" (m,n).
Выбор шагов пространственной дискретизации модели (?xm,n и ?zm,n) определяется характерными расстояниями, на которых изменяются характеристики угля и пород. Использование неравномерной решетки обоснованно, поскольку углевмещающая толща может быть представлена в виде слоисто-однородной среды. Скачкообразные либо градиентные изменения физических характеристик угля и пород в плоскостях, параллельных залеганию пласта, наблюдаются только в зонах нарушения. Характеристики толщи в плоскостях, которые перпендикулярны залеганию пласта, следует рассматривать в зависимости от частотной характеристики поля колебаний как скачкообразно (от породы к породе) либо градиентно изменяющиеся во всем объеме модели. Алгоритм оптимального построения топологии решетки выбирается таким образом, чтобы уменьшить общее число её узлов и в то же время адекватно описать среду. На рис. 2.1а показано разбиение среды, содержащей аномальную зону, на набор равных элементов. При этом заштрихованными областями схематически показано, как эти объекты будут отображены в модели. Чем больше величины ?x и ?z, тем больше погрешность передачи геометрии и характеристик модели. Для повышения точности использован подход, заключающийся в варьировании шагов дискретизации, проиллюстрированный на рис. 2.1б для случая той же среды.
а)
б)
Рис. 2.1 Различные принципы разбиения модели углевмещающей толщи с аномальной зоной на элементарные сегменты.
Опыт использования соотношений (2.2) - (2.4) на моделях с различными объемами решетки показал, что при объеме M?N<500000 времена расчетов сравнительно малы, и шаг решетки можно положить независящим от направления и одинаковым по всей модели. (?h=min{?xm,n, ?ym,n}). Тогда часть коэффициентов упростится:
,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
.
Остальные коэффициенты будут иметь тот же вид.
В зоне нарушения угленосная толща не является плоскопараллельной средой со свойствами, не зависящими от Y. Как известно [1, 169, 34], сместитель сброса либо надвига геометрически можно представить в виде участка плоскости (в общем случае - криволинейной поверхности), ограниченной двумя дугами, образуемыми торцами крыльев угольного пласта (на схеме, изображенной на рис. 2.2, точки пересечения дуг обозначены как S1 и S2), а зона трещинноватости представляет собой "чечевицеобразную" структуру, простирающуюся во все стороны от нарушения (заштрихованная область на рис. 2.2).
Рис. 2.2. К описанию особенностей учета трехмерности разрывного тектонического нарушения при моделировании процесса распространения сейсмоакустических колебаний.
Поэтому решение уравнения (1.6) не всегда может быть сведено к плоской задаче. Тогда решение необходимо искать в общем виде:
(2.6)
При этом моделируемая область представляется неравномерной пространственной решеткой из M?N?L элементов (по осям X, Z и Y соответственно) размерами каждый (m=1,...,M; n=1,...,N; l=1,...,L). Величины ?xm,n,l, ?zm,n,l и ?ym,n,l представляют соб