Статические и динамические задачи несвязанной термоупругости оболочек и пластин с термочувствительной толщиной

2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.............................................................5
I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ.........................................................12
1.1. Кинематическая модель оболочки с термочувствительной
толщиной.......................................................12
1.2. Соотношения Коши...............................................16
1.3. Силовые характеристики оболочки с термочувствительной
толщиной.......................................................18
1.4. Вывод уравнении термоупругост^щ»о^вмй(§татики с ис-
^4
пользованием тензорного исчисления................................23
1.5. Силовая функция и кинетическая энергия оболочки с термочувствительной толщиной в рамках геометрически линейной
модели.......................................................... 29
1.6. Уравнения линейной динамики оболочки с термочувствительной толщиной..................................................33
1.7. Уравнения статической термоустойчивости оболочек.................35
1.8. Тепловой функционал для нелинейного уравнения
Теп лоп рово дности...............................................37
И. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМО-
УПРУГОСТИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ.....................................................41
2.1. Соотношения Коши и основные характеристики пологих
оболочек двоякой кривизны.........................................41
2.2. Функция Лагранжа и динамические уравнения термоупругости
з
пологих оболочек.................................................44
2.3. Уравнения статической термоустойчивости пологих оболочек
с термочувствительной толщиной...................................47
2.4. Применение степенных рядов в случае пластин с изменяемой при нагреве толщиной (метод Коши-Пуассона)..................................49
III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПЛАСТИНКИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ПРИ НАГРЕВЕ ТОЛЩИНОЙ............................................55
3.1. Силовая функция термоупругой системы «пластинка-
-ребро» с термочувствительной толщиной...........................55
3.2. Сингулярные уравнения термоупругости геометрически нерегуляр- пых пластин....................................................... 58
IV. СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ........................................................61
4.1. Термоупругость пластин, находящихся в конвективном теплообмене через основные поверхности с рабочей средой.....................61
4.2. Подход Коши-Пуассона при анализе термоупругого поведения
пластин с термочувствительной толщиной...........................64
4.3. Термоупругость пластин с теплоизолированными основными поверхностями...................................................67
4.4. Термоупругость пологой оболочки двоякой кривизны в условиях конвективного теплообмена с рабочей средой через основные поверхности.....................................................73
V. СТАТИЧЕСКАЯ ТЕРМОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ.........................85
5.1. Определение интегралов уравнений термоупругости пластин и
пологих оболочек, находящихся в безмоментном состоянии..........85
5.2. Определение значений параметров, при которых становится возможным
скачкообразный переход к новой форме равновесия..............88
VI. РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ
ПЛАСТИН......................................................96
6.1. Динамическая термоустойчивость пластин, находящихся под действием температурного поля но пространственной и временной координатам..................................................96
6.2. Определение областей динамической термоустойчивости нагретой
гретой пластинки под действием периодической нагрузки.......101
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................111
ЛИТЕРАТУРА.......................................................113
ПРИЛОЖЕНИЯ.......................................................122
I
5
ВВЕДЕНИЕ
Тонкостенные пластинки и оболочки являются элементами разнообразных по назначению технических объектов и широко используются в инженерной практике. В ряде случаев условия эксплуатации конструкций оболочечного типа предусматривают различные по характеру температурные воздействия со стороны рабочей среды. Влияние температурных факторов, как показывает практика, может значительно превосходить влияние силовых - нагрев приводит к снижению величин, характеризующих прочностные характеристики конструкционных материалов, к возникновению значительных термических напряжений и деформаций, к существенным изменениям геометрии конструкции.
Поведение тонкостенных конструкций в температурных полях практически непредсказуемо. Это объясняется сложностью тепловых и термоупругих процессов, происходящих в сплошных средах в виде оболочек, и недостаточными экспериментальными данными и сложностью краевых задач термоупругости, успех в решении которых прямо связан со сложностью структуры температурного поля, определяющего правые части уравнений термоупругости и входящего в краевые условия.
Вопросам термоупругости пластин и оболочек посвящено достаточно большое число работ, простое перечисление которых сводится к нескольким десяткам наименований. Приведем лишь некоторые из них: [5], [35], [37], [38], [41], [46], [48], [49], [50], [52], [54], [66], [69], [73], [74], [75], [83]. При анализе термоупругого поведения тонкостенных конструкций используются различные по степени точности модели оболочек и пластин: теории типа Лява, сдвиговые по вертикали модели типа Рейсснера в геометрически линейной и нелинейной постановках [1], [2], [3], [4], [8], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [17], [25], [26], [29], [30], [34], [36], [39], [40], [42], [43], [47], [51], [52], [62], [68], [71], [82], [85], [86], [87], [88], [89], [90], [91], [92]. Во всех этих моделях «сквозной» является гипотеза недеформируемой нормали к срединной поверхности оболочки, что не
согласуется с физической реальностью - при воздействии температурных полей расстояния между лицевыми поверхностями изменяются, и проверка этого факта не требует сколько-нибудь сложных экспериментов.
Необходимость точного анализа поведения элементов конструкций оболочечного типа под действием реальных температурных полей, предварительно определяемых путем интегрирования уравнений теплопроводности для рассматриваемого класса элементов конструкций, возникает во многих технических областях — в ракетостроении, в электронной технике при проектировании плат, экранов, оболочек ламп, термочувствительных датчиков и т. п.
Приемлемые для инженерной практики математические модели должны учитывать очевидные физические факты и допускать анализ на основе строгих математических методов, позволяющих определять аналитические решения краевых задач несвязанной термоупругости, удобные при количественном анализе с помощью ЭВМ.
По этой причине актуальными (представляют теоретический и практический интерес) являются исследования термоупругого поведения пластин и оболочек с учетом реального поведения материала при на!реве. Этим исследованиям посвящена данная диссертационная работа.
Целью работы, в связи с вышеизложенным, является:
1. Разработка на базе симметричной теории упругости кинематической модели геометрически регулярных оболочек и геометрически нерегулярных пластин с термочувствительной толщиной. За основу берется сдвиговая модель типа Рейсснера;
2. Выводы на основе вариационных принципов механики, а также методами статики с использованием аппарата тензорного анализа статических и динамических уравнений термоупругости оболочек произвольных очертаний в криволинейных координатах; уравнений термоупругости пологих оболочек, и краевых условий для этих систем дифференциальных уравнений;
7
3. Вывод уравнений термоупругости геометрически нерегулярных пластин из вариационного принципа Лагранжа (при этом за основу взята секвенциальная теория обобщенных функций);
4. Построение системы уравнений термоупругот равновесия пластинки на основании подхода Коши-Пуассона вариационным путем в перемещениях и обобщенных углах поворота;
5. Получение решений методом суперпозиции двойных тригонометрических рядов и многочленов, учитывающих характер неоднородности краевых условий, теплопроводности и термоупругости статических и динамических задач несвязанной термоупругости пологих оболочек и пластин, находящихся в конвективном теплообмене через основные поверхности с рабочей средой;
6. Определение: функций прогиба; критических температур при скачкообразных переходах упругой системы к новым формам равновесия; областей динамической тсрмоустойчивости нагретых пластин под действием сжимающих периодических во времени усилий, и сравнение с результатами, полученными с учетом гипотезы неизменяемости нормали.
Все перечисленные результаты являются новыми и выносятся на защиту.
Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первой главе, на основе модели типа Рейсснера в предположениях, что оболочка находится только под действием температурного поля, а компонента
тензора полной деформации ё33 = аО(а1 ,а2 ,а*определяется закон
изменения поля перемещений й по толщине оболочки. Локальная система координат, к которой отнесен элемент оболочки, является триортогональной криволинейной системой. Температурное поле, в предположении отсутствия локальных источников тепла внутри оболочки, представляется в виде степенного по ее толщине ряда.
Определяются силовые характеристики оболочки с термочувствительной толщиной, соотношения Коши с учетом найденного закона изменения поля перемещений.
Строятся выражения для силовой функции и кинетической энергии оболочки; исходя из вариационного принципа получены уравнения несвязанной термоупругости оболочки в криволинейных координатах, что подтверждает достоверность этих уравнений, полученных из разных посылок.
Эти же уравнения получены методами геометрической статики с использованием аппарата тензорного анализа, что подтверждает их достоверность.
Уравнения статической термоустойчивости оболочек - система дифференциальных уравнений, описывающих безмоментное состояние оболочки, и уравнения моментного состояния при возможном скачкообразном переходе упругой системы к иной возможной форме равновесия, - с помощью обобщенной функции Хевисайда представляются в объединенной записи. Далее в триортогональных криволинейных координатах определяется вид теплового функционала для нелинейного стационарного уравнения теплопроводности в предположениях, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры - Я = Я($), и что основные поверхности оболочки теплоизолированы.
Вариационным путем в триортогональных криволинейных координатах выведена нелинейная система дифференциальных уравнений для температурных функций при аппроксимации температурного поля в виде степенного ряда по толщине оболочки.
Во второй главе приводятся, как следствия уже полученных соотношений и уравнений термоупругости оболочек с термочувствительной толщиной в криволинейных координатах, соотношения и уравнения теории пологих оболочек. Вариационным путем получены уравнения термоупругости и естественные граничные условия на основе метода Коши-Пуассона.
В третьей главе с использованием секвенциальной теории обобщенных функций вариационным путем выводятся уравнения термоупругости трансверсально-изотропных геометрически нерегулярных пластин и естественные граничные условия. Функция, характеризующая закон изменения касательных напряжений по толщине оболочки, записывается с помощью обобщенных функций Хевисайда с носителями, ограниченными слева. Сингулярная система несвязанной термоупругости трансверсально-изотропной пластинки со скачкообразно изменяющейся толщиной содержит переменные коэффициенты в виде обобщенных функций Дирака и их производных.
В четвертой главе решаются краевые задачи несвязанной термоупругости пластин и пологих оболочек различной геометрии (двоякой кривизны и цилиндрических) с термочувствительной толщиной, находящихся в конвективном теплообмене с рабочей средой. Решения разыскиваются в виде суперпозиции двойных тригонометрических рядов и многочленов, учитывающих характер неоднородности краевых условий. Проводится сравнение количественных результатов с решениями аналогичных задач термоупругости на базе классической модели Рейсснера и на основе уравнений, полученных методом Коши-Пуассона. Проводится анализ влияния геометрических параметров нагретой оболочки на функцию прогиба. Отмечается, что учет изменяемости толщины вносит поправки в величину прогиба термоупругой системы.
Предлагается алгоритм, позволяющий реализовать решения краевых задач методом суперпозиции одинарных тригонометрических рядов с переменными коэффициентами и многочленов.
В случае конвективного теплообмена пологой оболочки с рабочей средой
относительную стрелу подъема оболочки над ее планом, влечет, до определенного значения, увеличение прогиба. Полученные количественные результаты представлены в виде таблиц и графиков.
через лицевые поверхности увеличение параметра , характеризующего
10
В пятой главе исследуется статическая термоустойчивость пластин и пологих оболочек. Исходное термоупругое состояние упругой системы предполагается безмоментным, и определяются перемещения и усилия, возникающие в пластинке или оболочке в этом состоянии путем интегрирования соответствующей краевой задачи. Рассматриваются различные варианты граничных условий. Далее методом двойных тригонометрических рядов реализуются решения дифференциальных уравнений, описывающих моментное состояние термоупругой системы, строятся определители термоустойчивости, на основании которых определяются уравнения, связывающие геометрические параметры пластинки и температуру, при которых становится возможным скачкообразный переход к новым формам равновесия. Проводится сравнение с решениями на базе модели Рейсснера без учета деформируемости нормали. Отмечается, что отказ от гипотезы недеформируемости нормали вносит поправки в величины критических температур в сторону их уменьшения.
Шестая глава посвящена вопросам динамической термоустойчивости пластин в нестационарных температурных полях и находящихся под совместным воздействием периодических по времени сжимающих усилий и нагрева.
В случае нестационарного температурного поля решение динамической системы термоустойчивости пластинки методом двойных тригонометрических рядов по пространственным координатам сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Интегрирование проводилось методом Рунге-Кутта, и определялись моменты времени, начиная с которых прогибы упругой системы начинают возрастать со временем (критерий «бурного выпучивания» системы). Проводится анализ процесса волнообразования потерявшей устойчивость пластинки с учетом изменения во времени температурного поля.
В случае нагретой пластинки, к противоположным краям которой приложена периодическая во времени распределенная нагрузка, решение
11
сводится к интегрированию уравнения Матье-Хилла. Строятся области динамической неустойчивости пластинки и проводится сравнение с решениями на базе классической модели Рейсснера. Отмечается, что при заданном значении коэффициента возбуждения динамическая неустойчивость для пластинки, рассмотренной по классической модели, наблюдается несколько «позже».
В заключении приведены выводы.
Результаты работы докладывались:
- на научных семинарах кафедры «Теоретическая механика» (СГТУ, 1996-2000 гг.);
- на международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 1997 г.);
- на семинаре кафедры «Высшая математика» (Саратов, 2000);
- на семинаре кафедры МПИ (СГТУ, 2000 г.).
Основное содержание работы опубликовано в статьях [18], [19], [20], [21], [22], [76].