Введение
Актуальность темы.
Теория всплесков - интенсивно развивающееся направление, которое возникло в 80-х и лежит на стыке теоретической математики, прикладной математики и информатики. У истоков этой теории стоят Сго^тапп
А., МогМ Л., Меуег У., ОаиЬесЫеэ I., С1иа С., МаБаХ Б. и т.д.. В России данной тематикой занимаются Новиков И.Я., Осколков К.И., Петухов А.П., Протасов 13.10., Скопина М.А., Фарков Ю.А. Существуют несколько сотен тысяч англоязычных публикаций по теории всплесков. Среди этих работ большинство носит прикладной характер. Количество русскоязычных статей слишком мало. В то же время существует ряд переводных монографий [47, 48, 53, 62, 63]. Первой монографией, написанной российскими авторами, является [54]. Имеются также работы обзорного характера: статьи [43, 44, 49, 55) и работы предназначенные для специалистов в области прикладной математики и обработки функций, сигналов и изображений. Например в книгах [50, 611 уделено внимание применению всплесков в системах компьютерной математики (МаПаЬ, МаХЬсаф МаХЬетаНса).
В рамках развития теории всплесков в 90-х годах зародилась теория мультивсплесков. Для классического (скалярного) случая используется одна функция ф, которая порождает ортонормированный базис пространства Ь'2(Е) своими сжатиями и сдвигами {2^2ф(23и~к) : к е Ъ}.
Для мультислучая ортонормированный базис пространства £2(Е) образуют функции {2^2ф^23и -к) : 0 < г < г - 1^. к € Щ, получи
ВВЕДЕНИЕ
3
ющиеся сжатиями и сдвигами конечного набора функций где
г называют размерностью мультивсплеска. Когда размерность мудьти-всплеска равна единице, мультивснлеск становится обычным всплеском, имеющим одну масштабирующую функцию и одну всплеск функцию. Мультивслсск имеет две или более масштабирующих функции и всплеск функций. Мультивсплески являются естественным обобщением скалярного случая. Однако, если для скалярного случая построение вснлсска для соответствующей масштабирующей функции осуществляется с точностью до фазового множителя, то для мультислучая задача построения мультивсплеска по соответствующей мультимасштабирующей функции, задача не тривиальная, более того и неоднозначная. Общие рекомендации по построению мультивсплесков можно найти в [26]. Изучение мультивсплесков было инициирование Goodman, Lee и Tang. Затем Goodman и Lee исследовали характеризацию масштабирующих функций всплесков. Ими было введено понятие кратномасштабного анализа размерности г (19). Jia сконструировал класс непрерывных ортогональных мультивсплесков размерности 2, имеющих симметрию, короткий носитель и ортогональность. Специальный случай мульти всплесков размерности 2 и носителем (0, 2) был изучен Chui и Lian. Большой вклад в развитие мультивсплесков сделали Alpert В., Geronimo J., Hardin D., Keinert F., Massopust P., Plonka G., Strela V. Одно из преимуществ мультивсплесков состоит в возможности построения порождающих функций, которые обладают более хорошими свойствами, а именно мульти всплески могут комбинировать в себе ортогональность, симметрию, высокий порядок аппроксимации, большое количество нулевых моментов, в то время как для скалярного случая это невозможно. Эти свойства желательны в приложениях, поэтому мультивсплески используются для решения многих прикладных задач [21, 23, 30).
Несмотря на активное развитие теории мультивснлесков, в России работ по данной тематике нет, за исключением нескольких источников в
ВВЕДЕНИЕ
4
которых дана справочная информация, либо основные положения. Например в [46, глава 8) даны основы данной теории с позиции обработки сигналов. Несмотря на. наличие большого числа зарубежных публикаций, в данной теории не рассматривались непрерывное и двоичное муль-тивсплссковые преобразования. Актуальным является определение и исследование непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований. Также представляет интерес с точки зрения анализа особенностей функций построение быстрого алгоритма двоичного мультивсплескового преобразования. Для мультислучая появляется возможность построения из кусочно-полиномиальных функций мультивсплесков с компактным носителем, что для скалярного случая невыполнимо. Примерами таких мул ьти всплесков являются, мультивсплески, которые рассмартивалиеь Алпертом и рядом других авторов [1, 2, 3, 7). Мул ьти всплески Алпер-та являются обобщением всплеска Хаара [33, 51] заменой единственной масштабирующей функции г масштабирующими функциями. Каждая из этих функций получается из соответствующих полиномов Лежандра, путем их перенормировки, масштабирования и сдвига. Соответствующие мул ьти всплеск и Алперта строятся путем применения несколько раз процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта. Данный способ построения характерен только для конструкции Алперта и может быть найден в работах [1, 3]. Представляет интерес исследование временной локализо-ванности этих мультивсплесков, а также их аппроксимационных характеристик.
Цели работы.
• определить непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования. Исследовать представления функций при помощи этих преобразований. Построить «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования;
• найти радиусы мул ьти масштабирующих функций и мультивсплес-
ВВЕДЕНИЕ
5
коп Алперта и изучить их аипроксимационные характеристики.
Методика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа.
Научная новизна.
• Определены понятия непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразован ий.
• Доказаны теоремы о представлении функций при помощи непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.
• Доказано, что ортогональный мультивсплеск порождает разбиение единицы.
• Разработан «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования.
• Найдены радиусы мультимасштабирующих функций и мульти-всплесков Алперта.
• Изучены аппроксимационные характеристики мультивсплесков Алперта любой размерности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования мультивсплесков, в частности для изучения аппроксимациопиых свойств и свойств локализованности.
Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: International Conference «Wavelets and Applications», St. Pctcrburg, Russia (2009); Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ, Саратов (2010); International Conference «Banach Spaces Geometry», St. Peterburg,
ВВЕДЕНИЕ
6
Russia (2010); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (2011); Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, се приложения и смежные вопросы», Казань (2011).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [36, 37, 56, 57, 58, 59, 60). Из совместной работы [57] в диссертацию включены только результаты автора. Работа [58] соответствует списку ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 101 страница состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 63 источника.
Основное содержание работы.
Работа организована следующим образом. В главе 1 содержатся обозначения и вспомогательные результаты из теории мультивсплесков, необходимые для изложения основного материала.
Определение 1.2.1 Вектор-функция
называется мультимасштабирующей, если она удовлетворяет матричному мультимасштабирующему уравнению
V = (<Л>, <Pl, ■■■ , 4>т-\)т
(1.2.3)
где функции
<Р0і •** j <Рг-1 Є Ь](М)Р|/,2(М)
или
(
\
ВВЕДЕНИЕ
7
где Нк называются коэффициентами мулътимасштабирующего уравнения.
Определение 1.2.3 Маской мультимасштабирующего уравнения назовем матрицу, состоящую из тригонометрических полиномов
к=к$
В образах Фурье мультимасштабирующее уравнение (1.2.3) принимает вид
Ш = ЩФШ/2). (1.2.5)
Определение 1.3.1 Кратпомасштабнъш анализом. (КМА) размерности г называется последовательность вложенных замкнутых подпространств Ь2(Щ
• • • С У-1 С И) С У\ С У2 с • • ■, удовлетворяющая следующим свойствам
оо
1. и У:=Ь2{К);
І—-00
2- П V) = {0};
3
3. }{і) еУ^ <р> /(2£) Є Уі+і для всех і Є Ъ;
4• /М Є V, <=> /(* — Є V} для всех у, /с Є Z;
5. существует вектор-функция <р = У>1, * * * > (Рг-і)Г такая, что
функции
{<^(. - /с) : / = 0; ..., г - 1, к Є Щ (1.3.1)
образуют базис Рисса в пространстве У$, что по определению означает, выполнение двойного неравенства
г-1
Л||с||р(2)г <
££с^(--*о
I г=0
^ Щс\\р(ХУ
ВВЕДЕНИЕ
8
для любой последовательности с Є (2(Ъ)Т, где А и В константы и О < А < В < оо.
Вектор функция р называется мультимасштабирующей для данного КМ А. Если функции
{pl(- — k) : I = 0, ..., г — 1, к Є Z}
образуют ортогональный базис, то р называется ортогональной.
Из определения 1.3.1 следует, что
Vj = span {2і/2ірі(2і • —к) : 0 < і < г — 1> к Є Z}.
Обозначим ортогональное дополнение Vn до Vn+\ как Wn, тогда пространство Vn+i будет прямой суммой Vn и Wn
Kt+i = Vn 0 Wn.
Из свойств 1 и 2 определения 1.3.1 следует
п— 1
уп = ® Wk.
к=-00
Теорема 1.3.1 Для ортогональной мультимасилпабиру-ющей вектор-функции р порожденной КМА размерности г р = (ро, р\. • • • , pr-\Y имеют место следующие свойства
1. ЄИ0=Ь2(Е); з
2. Wk-LWj если кф п\
3. f(t) Є Wj <=ї f{2t) Є Wj+i для всех j Є Z;
4• /(0 Є /(£ — ^) Є VHj для всех j, к Є Z;
5. Существует вектор-функция ф = (г^о, , Фг-іУ Є І2(^)Г
ортогональная р такая, что
{М- ~ к) : I = 0, ..., г - 1, к Є Z} (1.3.2)
образуют базис Рисса в пространстве W0.
- Киев+380960830922