Голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Почти эрмитовы многообразия
§1. Почти эрмитовы структуры на многообразиях §2. Основные классы почти эрмитовых структу р Глава 2. Об инвариантности классов почти эрмитовых структур при голоморфно-проективных преобразованиях §3. Голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий §4. Инварианты голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовых многообразий §5. Условия инвариантности классов Грся-Хсрвеллы относительно НР-преобразований Глава 3. Основной инвариант голоморфно-проективных
преобразований почти эрмитовых многообразий §6. Объект Вейля голоморфно-проективного преобразования почти эрмитова многообразия §7. Свойства основного инварианта голоморфно-проективного преобразования на пространстве присоединенной в-структуры §8. О геометрическом смысле обращения в нуль объекта Вейля на пространстве присоединенной О-структуры §9. Об объекте Вейля голоморфно-проективного
преобразования приближенно келеровых структур Глава 4. Голоморфно проективные преобразования почти эрмитовых многообразий классов К2, Из §10. Об условиях инвариантности почти эрмитовых многообразий классов К.|, Я* Из относительно голоморфно-проективных преобразований Список литературы
2
14
21
31
37
40
46
51
56
65
72
81
2
ВВЕДЕНИЕ
Теория геодезических отображений, то есть отображений псевдоримановых пространств, при которых сохраняются геодезические, является одним из старейших направлений исследований в римановой геометрии, истоки которого лежат в трудах Т.Леви-Чивита [37], Т.Томаса [43], Г.Вейля [45]. Т.Леви-Чивита пришел к общей проблеме геодезических отображений римановых пространств при изучении уравнений динамики. Как известно, движение некоторых типов механических систем, многие процессы в гравитационных и электромагнитных нолях, в сплошной среде протекают по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии аффинно связного или риманова пространства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор первой кривизны которых представляет собою вектор обобщенных внешних сил. Степень подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, которым мы можем распоряжаться при выборе модели данного динамического процесса, а также с целью его оптимизации. Поэтому сохраняется актуальность задачи изучения внутренних тензорных характеристик римановых пространств, допускающих или не допускающих локальные или глобальные нетривиальные геодезические отображения, в частности римановых пространств, снабженных дололнительной структурой.
Однако исследования показывают, что зачастую такие структуры не допускают нетривиальных геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру, что справедливо, например, для келеровых многообразий ([47], [44]). В связи с этим внимание исследователей обратилось к различным обобщениям теории геодезических отображений.
3
Наиболее известными из них являются теории (п-2)-проективпых пространств (В.Ф.Каган [7]), конциркулярная геометрия (К.Яно [49]) и теория голоморфно-проективных отображений келеровых многообразий, при которых сохраняются почти геодезические специального вида (так называемые аналитические планарные кривые, называемые также голоморфно-проективными) и комплексная структура келерова многообразия. Понятие голоморфно-проективного отображения было введено Оцуки и Тасиро в 1954 году [39] и с тех пор многократно исследовалось с различных точек зрения. Этой теме были посвящены работы многих авторов (напр., Д.В.Беклемишев [3], И.Тасиро [41], С.Исихара [35], К.Яно [48]) . Фундаментальный вклад в развитие теории голоморфно-проективных отображений был внесен Одесской геометрической школой (напр., Н.С.Синюков [23], В.В.Домашсв, Й.Миксш [5], [19]). В результате получены инвариантные геометрические объекты этого отображения [41], [35], найдена новая форма основных уравнений голоморфно-проективных отображений келеровых пространств, доказаны основные теоремы теории голоморфно-проективных отображений, сохраняющих комплексную структуру [25], доказано, что некоторые классы келеровых пространств не допускают голоморфно-проективных отображений, определены условия, при которых келерово пространство допускает голоморфно-проективные отображения [5].
Однако до настоящего времени все исследования по этой проблематике велись почти исключительно в рамках геометрии келеровых многообразий, хотя понятие голоморфно-проективного отображения имеет смысл для любого почти эрмитова многообразия.
Дальнейшее развитие теории голоморфно-проективных преобразований в теоретическом и прикладном направлениях весьма актуально. С геометрической точки зрения интересно получение исчерпывающей классификации пространств, допускающих
нетривиальные голоморфно-проективные отображения и нахождение для них в явной форме необходимых и достаточных тензорных признаков внутреннего характера.
Цель данного диссертационного исследования состоит в изучении инвариантных свойств голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовых структур.
В соответствии с целью выделены следующие основные задачи:
1. Найти объекты, инвариантные относительно голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовой структуры.
2. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль голоморфно-проективных инвариантов.
3. Получить в явном виде объект голоморфно проективой кривизны произвольных почти эрмитовых многообразий, выяснить его свойства.
4. Выяснить, при каких условиях голоморфно-проективные преобразования переводят классы Грся-Хервеллы почти эрмитовых структур в себя.
5. Установить, какие классы Грея-Хервеллы почти эрмитовых многообразий не допускают нетривиальных голоморфно-проективных преобразований.
6. Выяснить, при каких условиях голоморфно-проективные преобразования переводят поч ти эрмитову структуру класса 1=1,2,3, в структуру того же класса.
Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.
1. Получены инварианты голоморфно-проективного преобразования почти эрмитовых многообразий.
2. Доказано, что почти эрмитовы структуры, принадлежащие одному из следующих классов в классификации Грея-Хервеллы [27]: {0},
5
\УЬ \У3, \\',Ф\\'’3, \V30W4, \У,Ф\У2Ф\У3, \У,©\У3©\\'Г4,
инвариантны относительно голоморфно-проективных преобразований.
3. Найдены условия, при которых структуры неинвариантных классов Грся-Хервеллы переходят в структуры тех же классов.
4. Доказано, что собственное почти эрмитово многообразие, принадлежа!цсс одному из следующих классов в классификации Грея-Хервеллы: XVь АУ4, \\^©\У4, \У2Ф\У4, \У |Ф \У2©\У4, - не допускает нетривиальных голоморфно-проективных преобразований, сохраняющих структурный эндоморфизм.
5. Получен объект голоморфно-проективной кривизны и рассмотрен геометрический смысл обращения в нуль его сужения на пространство присоединенной О-сгруктуры.
6. Найдены аналитические условия, при которых голоморфно-проективные преобразования переводят почти эрмитову структуру класса Кь \=], 2, 3, в структуру того же класса.
Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенной О-структуры в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовых многообразий, а также при чтении спецкурсов в высших учебных заведениях.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии МПГУ (руководитель - доктор физ.- мат. наук, профессор В.Ф. Кириченко), на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», 27 мая - 2 июня 2002 г., на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, 5-11 сентября 2002г.