Суммирование разложений по ортоподобным системам функций

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
Структура работы............................................ 3
Основные определения........................................ 3
Обзор предшествующих результатов............................ 8
Обзор результатов по главам................................ 13
1 Суммирование ортоподобных рядов 23
1.1 Суммирование методом (С, 1)............................ 23
1.2 Суммирование методами (С, а) .......................... 31
1.3 Суммирование по переставленным системам функций .... 41
2 Суммирование обобщенных ортоподобных рядов 50
2.1 Суммирование методом (С, 1)............................ 50
2.2 Суммирование методами (С, а) .......................... 61
А Примеры 68
В Задачи 73
Список обозначений 81
Список литературы 82
Введение
Структура работы
Работа состоит из введения, двух глав, дополнения, списка основных обозначений и списка литературы из 55 наименований.
В данной работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе— номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом.
Основные определения
Данная работа посвящена исследованию суммируемости разложений по ортоподобным и обобщенным ортоподобным неотрицательным системам разложения. Определения ортоподобных и обобщенных ортоподобных систем разложения вводятся далее.
В работе мы будем придерживаться следующих соглашений.
Систему измеримых комплекснозначных функций {<£*(£)}, определенных на множестве 1СЕ, будем называть ортогональной, если для любых г Ф1 выполняется
где с* — любые постоянные, называется ортогональным рядом. Впервые ортогональные, а именно тригонометрические, ряды рассматривал Л. Эйлер. Он использовал их в теории движения Юпитера и Сатурна (в 1748 г.).
Ортоподобные системы. Т. П. Лукашенко в работах [30], [31] дал определение ортоподобных систем разложения, являющихся расширением класса ортогональных систем.
X
Если — счетная ортогональная система, то ряд вида
оо
Введение
4
Пусть Я — гильбертово пространство над полем К или С, а О, — пространство со счетно-аддитивной соответственно действительной или комплексной мерой р. Систему элементов {е?}шеп С Я будем называть системой в Н с индексами из О.
Систему в Я с индексами из П будем называть ортоподобной
(подобной ортогональной) системой разложения в Я, если любой элемент у Є Я представляется в виде
где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Я, причем в последнем случае есть такое исчерпывание пространства О (все П* измеримы, П* С для
к С М, У П* = П), что функция (у,е?)ё* интегрируема по Лебегу на О* и
Ортоподобную систему {еыбудем называть неотрицательной (с неотрицательной мерой), если П — пространство со счетно-аддитивной неотрицательной мерой р.
Пусть задано исчерпывание {Пгг}^=1 пространства П. Введем следующее обозначение: Еп = П7г\ПГІ_і для п Є при этом считаем, что Г20 =
На протяжении всей работы мы будем рассматривать измеримые комплекснозначные функции с(ии) со значениями в М или С (в зависимости от того, над каким полем рассматривается гильбертово пространство Я). Пусть задана измеримая функция с(и)) с условием / \с(и)\2(1ц(со) < оо.
ос
О
= ІІГЇ1
к-У ос
Рядом по системе назовем выражение
~1Ек
Частичной суммой предыдущего ряда (последовательностью частичных интегралов интеграла /с(о;)еа;(г)^/х(а;)) назовем
Введение
Замечание. Как показано в [33], если ортоподобная система {еы}ы€н неотрицательна, а функция c{w) 6 L2(Ü), то для любой последовательности измеримых множеств образующих исчерпывание пространства
и на элементах которого П* функция с(о;)е^ интегрируема по Лебегу, существует один и тот же предел в Я
lim (L) f c(uj)e“dp(uj).
fc-юо J
Следующие определения охватывают еще более широкий класс систем разложения, включающий в себя ортогональные и ортоподобные системы.
Пусть Я — гильбертово пространство над полем К или €, a Q — пространство со счетно-аддитивной соответственно действительной или комплексной мерой /х. Пусть {Яп}^а — система замкнутых расширяющихся подпространств в Я, объединение которых всюду плотно в Я (т.е. Нп с
С Яп+1 для п £ Ж и |J Я„ = Я), а {ew}wen — такая система, каждый
П=1
элемент ё° которой является последовательностью элементов Я и
еп — ортогональная проекция е£+] на Нп. Тогда систему {ew}w€ß будем называть обобщенной системой в Я (с системой подпространств {Яп}^х и индексами из Q).
Обобщенная система будет называться обобщенной системой
разложения, подобной ортогональной (ортоподобной) в Я, если любой элемент у е Нп представляется в виде
y = f «ХФН.
О
где г/2 = (2/?еп)? интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Я, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {А*}^ пространства Q (все А* измеримы, А* С
оо
С А*+1 для к Е N , (J А* = Q), что функция (у, е%)е% интегрируема по
к=I
Лебегу на Ak и
У = J= Km /(у,е£)е£фН-
ft л*
Обобщенную систему {ew}w€p будем называть неотрицательной (с неотрицательной мерой), если П — пространство со счетно-аддитивной неотрицательной мерой р.
Введение
6
Замечание. Как показано в [36], если обобщенная ортоподобная система {еш}а>єп неотрицательна, а функция с(о>) Є Ь2(Г2), то для любой последовательности измеримых множеств {П*}£і, образующих исчерпывание пространства П, и на элементах которого П* функции с(со)е% интегрируемы по Лебегу, существует один и тот же предел в Я
к-+ос
п*
который понимается как предел
ІІГП (-£/) I с(и))е“)
С-►ОС J
Нш Нш (I/) / с(и;)е^/і(а;)
;->оо п->оо у
к-> оо
в гильбертовом пространстве Я.
Суммируемость. Если последовательность {а*} расходится, то иногда бываег возможно каким-либо способом поставить ей в соответствие некоторое число в качестве ’’обобщенного предела”. В таких случаях говорят, что последовательность {$*;} суммируема этим методом. Если же вк —
оо
частные суммы ряда £ а*, то ряд называют суммируемыми этим методом.
к=1
Одним из важнейших методов суммирования является способ первых средних арифметические, он состоит в том, что вместо первоначальной последовательности {а*;} рассматривается последовательность средних пели-чин {ст„},
5] 4“... -Ь <Ти — ,
п
и обычный предел этой новой последовательности Пт ап ставится в со-
я—>эо
ответствие последовательности {вк} как ее ’’обобщенный предел” ([49), с. 20). Каждая сходящаяся числовая последовательность суммируема способом первых арифметических средних к первоначальному предельному значению. Методы суммирования, обладающие таким свойством, называются регулярными.
Существуют последовательности, которые не суммируемы способом первых средних арифметических, но суммируемы методами средних арифметических высших порядков. Эти методы ввел Чезаро. Мы приведем их здесь в форме, наиболее удобной для рядов.
Для каждого неотрицательного целого п и для каждого а, отличного от — 1, —2, —3,..., положим
МТ)=-
+ 1)(а + 2)... (а 4- п) п\