Содержание
Введение .....................................................
0.1. Полиномиальные пучки операторов 0.2. Обзор литературы 0.3. Основные результаты диссертации 0.4. Обозначения
Глава I. Пучок операторов, моделирующий колебания конечного стержня с внутренним трением.............................
§1. Постановка задачи и вспомогательные результаты............
1.1. Постановка задачи
1.2. Некоторые определения и используемые результаты
§2. Спектральные свойства пучка Ь(Х)..........................
2.1. Структура спектра. Обобщённый спектр
2.2. Случай й = 0 и ограниченного оператора В. Вещественный спектр
2.3. Нейтральные собственные значения
2.4. Случай неограниченных операторов В и С. Невещественный спектр
2.5. Вещественные СЗ пучка Ь(Х)
2.6. Асимптотика СЗ в -ос* и в точке -1/а
§3. Задача Коши...............................................
3.1. Классические и обобщенные решения
3.2. Базисность по Риссу системы СП В оператора Т
3.3. Аналитичность полугруппы, порождённой оператором Т
3.4. Задача Коши
§4. Исследование дифференциальной задачи(І.І)—(1.2)............... 73
4.1. Свойства операторов Ли G 73
4.2. Асимптотика СЗ задачи(1.3)-(1.4) в -оо 74
4.3. Асимптотика СЗ задачи(1.3)-(1.4) в точке -1/а 75
4.4. Задача Коши 78
Глава II. Пучок операторов, моделирующий колебания бесконечного стержня с внутренним трением............................ 79
§5. Постановка задачи и обзор результатов......................... 79
5.1. Механическая задача 79
5.2. Относительная компактность в смысле квадратичных форм 81
§6. Спектральные свойства пучка L(А).............................. 84
0.1. Непрерывный спектр 84
0.2. Невещественный спектр 84
0.3. Число СЗ пучка Ь(А) в правой полуплоскости 86
0.4. Накопление СЗ к точкам — 1/а и 0 88
§7. Задача Коши................................................... 90
7.1. Сведение задачи Коши к системе первого порядка 90
7.2. Аналитичность Со-полугруппы, порождённой оператором Т 91
7.3. Решение задачи Коши 94
§8. Исследование дифференциальной задачи (5.1)—(5.2).............. 95
8.1. Свойства оператора G 95
8.2. СЗ в правой полуплоскости 95
8.3. Накопление СЗ к точкам 0 и —1/а 97
8.4. Задача Коши 97
Список литературы................................................. 98
3
Введение
0.1. Полиномиальные пучки операторов. Методы функционального
анализа и, в частности, спектральной теории операторов широко применяются при исследовании различных линейных моделей математической физики (дифференциальных уравнений и краевых задач, теории оптимального управления, теории упругости, гидродинамики и др.). При этом естественно возникают спектральные задачи для полиномиальных операторных пучков (пучков операторов).
Действительно, обычно в малом приближении эволюция физической системы описывается линейными дифференциальными уравнениями. Рассматривая соответствующие дифференциальные операции как операторы в некотором гильбертовом пространстве функций Ч. эту систему уравнений можно записать в виде
Здесь / время. и{1) и /(£) — функции со значениями в пространстве Ч. описывающие состояние физической системы и внешнее воздействие на неё соответственно, Гь к = 0, п — линейные (вообще говоря, неограниченные) операторы в Ч. Применяя метод Фурье, то есть ища решение однородного уравнения, отвечающего (0.1), в виде и{Ь) = уегХ*\ где у € 'К. А £ С. мы приходим к следующему равенству:
Возникает'задача найти все пары (Л. у) собственных значений (частот колебаний) и собственных векторов (состояний), удовлетворяющие равенству (0.2). Другими словами, мы получаем спектральную задачу для полиномиального пучка операторов
(1)
(2)
Т(А) := t
(3)
к=о
4
Систематическое построение спектральной теории полиномиальных (в частности, квадратичных) операторных пучков началось с работ М. В. Келдыша 1951 г. [11] (см. также [10]) и М. Г. Крейна и X. Лангера 1963 г. [14, 15]. Так. в статье [11] были введены понятия цепочки собственного и присоединённых векторов, кратности собственного значения и кратной полноты системы всех собственных и присоединённых векторов. Там же аналитическими методами были получены важные результаты о поведении резольвенты Т-1(А) и разрешимости соответствующего уравнения (0.1). В работе [15] геометрическими методами пространств с индефинитной метрикой была доказана возможность факторизации на линейные сомножители квадратичных пучков из некоторого класса, что позволило глубже исследовать свойства полноты и базисности системы всех собственных и присоединённых векторов. После этих фундаментальных работ операторнозначные функции начали интенсивно изучаться многими математиками, и за последние три десятилетия спектральная теория полиномиальных операторных пучков превратилась в самостоятельный и довольно глубоко разработанный раздел теории линейных операторов (см., например, монографии И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [7], А. С. Маркуса [20], Л. Родмана [39]. а также статьи А. Г. Костюченко и М. Б. Оразова. [12], Г. В. Радзи-евского [27], A.A. Шкаликова [31] и др.). Однако, несмотря на достаточно общие результаты, полученные в этих и многих других работах, потребности механики порождают новые классы операторных пучков, для которых имеющиеся схемы исследования не всегда применимы.
Именно два класса таких пучков и рассматриваются в настоящей диссертации. Они возникают, например, в задаче о малых поперечных колебаниях вязкоупругого трубопровода, находящегося в вязкой среде и несущего установившийся поток несжимаемой жидкости1 (см., например, [38]). Со-
1 Другие задачи, приводящие к пучку (0.5). можно найти в литературе, указанной в [35].
ответствующее уравнение имеет вид
дъи дАи д ( , ,ди\ . ди д2и
аШ? + ж + 0ї(9{х) s)+/,wä + '>wäF = 0 (4)
и приводит к квадратичному пучку операторов
L( А) = А2/ + Х(аЛ + В) + A + G, (5)
в котором А — самосопряжённый оператор, а операторы В и G подчинены А в некотором смысле (А-компактны в главе I и (Л+/)-компактны в смысле квадратичных форм в главе II, что соответствует трубопроводу конечной и бесконечной длины; подробности см. в §1 и §5).
0.2. Обзор литературы. Уравнения малых поперечных колебаний трубопровода конечной длины в самой общей постановке были строго выведены М. П. Паидуиссисом и H. Т. Иссидом в 1974 г. [38]. Эта задача рассматривалась затем во многих работах главным образом с точки зрения устойчивости соответствующей гидродинамической системы, причём как численными (см. [38, 8] и ссылки, приведенные там), так и абстрактными методами функционального анализа (см. [8, 30. 23] и др.). Спектральная дифференциальная задача для уравнения (0.4) исследовалась В. Н. Пивоварником в [25]; там также основное внимание уделялось вопросу об устойчивости. В недавней статье A.A. Шпаликова [40] получена точная формула для индекса неустойчивости2 абстрактных пучков вида (0.5), учитывающих также гироскопические силы, то есть содержащих дополнительное слагаемое iXK с неотрицательным оператором К.
В 1994 г: П. Ланкастер и А. А. Шкаликов (см. [35]) детально исследовали абстрактный пучок операторов £(А), отвечающий рассматриваемой задаче, для случая G = 0. Там, в частности, была установлена область локализации и структура спектра пучка L(А), получена оценка числа невещественных собственных значений и изучена соответствующая задача
23десь под индексом неустойчивости понимается число линейно независимых и растущих со временем решений дифференциального уравнения Ь(£)у = 0.
Коши. В первой главе настоящей диссертации результаты статьи [35] во многом уточняются и переносятся на случай С ф 0.
Спектральная дифференциальная задача для уравнения (0.4) на положительной полуоси (описывающего колебания полубесконечного стержня) рассматривалась В. Н. Пивоварчиком в статье [26], где асимптотическими методами установлены некоторые её спектральные свойства. Во второй главе диссертации исследуется пучок операторов, являющийся абстрактной моделью этой задачи. Такой подход при более слабых условиях на параметры задачи позволяет .во многом улучшить и обобщить результаты работы [26].. Отметим, что исследуемый в этой главе пучок операторов имеет нетривиальный (то есть не сводящийся к дискретному множеству точек накопления собственных значений) существенный спектр, и что ранее пучки с таким свойством, по-видимому, не изучались.
0.3. Основные результаты диссертации. Опишем вкратце основные результаты диссертации.
В первой главе рассматривается пучок операторов (0.5) при следующих условиях на операторные коэффициенты А, В к С:
1) А = А* полуограничен снизу и имеет компактную резольвенту;
2) В = В* ^ 0 является А-компактным в смысле Като (см. п. 1.2.3);
3) С - симметрический оператор, А-компактный в смысле Като.
В §1 приводится постановка исходной механической задачи и её сведение к пучку операторов Ь(Х) вида (0.5), а также некоторые определения и неоднократно используемые в дальнейшем утверждения из спектральной теории операторов и операторных пучков, теории интерполяции и др.
Второй параграф является основным и посвящён исследованию структуры спектра пучка Ь(А) и области локализации его собственных значений. Поскольку с ограниченными операторами работать удобнее, в первом пункте вводится семейство пучков с ограниченными коэффициента-
ми L$(X) :== A^~lL(X)A~e (не умаляя общности можно считать оператор А ограниченно обратимым, см. замечание 1.1). Если Но — шкала гильбертовых пространств, построенная по оператору А, то пучок L#(X) совпадает с Ь( А), рассматриваемым как оператор-функция в пространстве Но-i с областью определения D(Lo) = Но- Особую роль играет пучок Ь1/2(X) =: Ь(А), так как его коэффициенты являются ограниченными самосопряжёнными операторами в Н. Именно пучок Ь(А) и изучается в основном в дальнейшем. законность чего обосновывается следующей теоремой — основным результатом этого пункта.
Теорема 1 (2.1). Спектры пучков L(А) и Ьо(А) при в G [0,1] совпадают. Болес того. (Tess(L) = а^{Ьо) = {-l/a}, od{L) = od{Lo). or{L) = crr(L$) = 0. и канонические цепочки собственного и присоединённых веторов пучков Ь(Х) и Ьо[Х)< отвечающие нормальным собственным значениям, имеют одинаковую структуру.
Во втором и третьем пунктах рассматривается случай G = 0 и ограниченного оператора Б, ранее детально исследованный в работе [35]. Тем не менее полученные здесь результаты существенно дополняют и уточняют результаты указанной статьи. Так, лемма 2.7 утверждает, что все собственные значения вне кольца ЩЬ±,Ь~,а) (см. (2.2)) имеют дефинитный тип. Это позволяет установить число собственных значений пучка L(A) в интервале3 (аьО), определяющих асимптотику по времени решений соответствующей динамической задачи L(jt)y = 0 (см. §3).
Теорема 2 (2.2). Для числа т(<2],0) собственных значений пучка L(А) в интервале (ai. 0) выполняются неравенства4
МДа?) ^ т(аь0) < NA{a\).
3Числа ai ^ a-2 > ^ a4 суть абсциссы точек пересечения кольца /?(&+, 6_,о) с вещественной осью.
Л:Х.\(к) есть функция распределения спектра оператора .4.
- Киев+380960830922