РАЗДЕЛ 2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
2.1. Методика разработки и исследования точности математических моделей зуборезного инструмента и процессов обработки
Математическое моделирование процессов обработки и зуборезного инструмента основано на методах аналитической и дифференциальной геометрии, теории зубчатых зацеплений, теории механизмов и машин (применительно к зубчатым зацеплениям) и теории зуборезного инструмента.
Компьютерные модели зуборезного инструмента и численные эксперименты по определению адекватности и точности полученных результатов основываются на едином методологическом подходе, который заключается в использовании методов компьютерной аппроксимации сложных пространственных кривых и поверхностей. Приближённое представление геометрии при компьютерном инженерном конструировании накладывает на используемый математический аппарат ряд требований [68,69]:
- точность приближения (допустимая погрешность приближения не более мм);
- волнистость аппроксимирующей функции (максимальная осцилляция кривой или поверхности не более мм);
- минимальная трудоёмкость вычислительной процедуры.
Наиболее полно поставленным требованиям, применительно к решению инженерных задач, удовлетворяют методы сплайн - аппроксимации, поскольку они обеспечивают получение более гладких кривых и поверхностей по сравнению с остальными методами. В промышленных системах CAD/CAM/CAE используются методы сплайн - аппроксимации, основанные на применении полиномиальных сплайн - функций, или В-сплайнов, и кривых Безье. Метод Безье, основанный на использовании полиномов Бернштейна, предназначен для получения гладких свободных кривых и поверхностей [70,71,72]. Метод интерполяции В-сплайнами предназначен для получения гладкой кривой или поверхности, обеспечивающей более точное приближение, чем кривая Безье [69].
В качестве математического аппарата компьютерного моделирования сложных формообразующих поверхностей инструмента применяется метод В-сплайн интерполяции множества опорных точек, полученных на основании математических моделей поверхностей инструмента. Предлагаемый метод нашёл широкое применение при моделировании сложных технических объектов, и при соблюдении ряда требований, предъявляемых к опорным точкам (таких как количество точек и регулярность сетки), позволяет обеспечить необходимую точность модели.
Математические модели процессов обработки зубчатых венцов деталей основаны на принципе существования общей нормали, проходящей через полюс зацепления, в точке контакта инструмента и детали. В зависимости от вида зубчатого венца детали, осуществлялись два подхода к математическому моделированию процесса обработки и зуборезного инструмента:
- вывод аналитических уравнений, описывающих кривые профилей детали и инструмента;
- численное моделирование обкатки, заключающееся в последовательном определении координат точек профиля, зацепляющегося с заданным.
Для моделирования обработки эвольвентного зубчатого венца детали применяется первый подход, в соответствии с которым, на основании известных уравнений кривых, параметров процесса обработки и профиля зуборезного инструмента определяется положение точек профиля зубчатого венца детали. Для случая обработки детали зуборезным долбяком, анализируется движение отскока инструмента на предмет выявления возможного срезания элементов профиля зуба детали. Второй подход (численное моделирование обкатки) применяется для построения математической модели обработки неэвольвентных зубчатых венцов и обеспечивает её инвариантность по отношению к виду профиля.
Математические модели зуборезного инструмента для обработки эвольвентного зубчатого венца, также как и модель его обработки, основываются на известных уравнениях, записанных в виде, допускающем их использование при компьютерном моделировании.
Модель зуборезного долбяка для обработки неэвольвентных зубчатых венцов основывается на множестве точек плоского профиля зуба инструмента, полученных методом численного моделирования обкатки детали. Модель неэвольвентной червячной фрезы основывается на двойной последовательной обкатке плоского профиля зуба детали (моделирование обкатки профиля детали профилем инструментальной рейки, а затем обкатка зуба рейки торцовым сечением основного червяка фрезы).
Исследование точности проводилось для математических моделей обработки неэвольвентного зубчатого венца, моделей червячных фрез и зуборезных долбяков.
Определение отклонений точек плоского профиля зуба долбяка, полученного численным моделированием обкатки, производилось методом сравнения элементов данного профиля с кривыми, полученными по аналитическим зависимостям. Численный эксперимент проводился для профиля зуборезного долбяка, предназначенного для обработки неэвольвентного зубчатого венца детали (рис. 2.1).Эталонная кривая профиля получена по уравнениям: где (рис. 2.2)
При решении задачи обкатки инструментальной рейки торцовым сечением основного червяка фрезы определялись отклонения точек, полученных численным моделированием, от эвольвенты.
Взаимная проверка точности математических моделей эвольвентной и неэвольвентной червячных фрез проводилась методом компьютерного моделирования зуба инструмента. По математическим моделям эвольвентной и неэвольвентной фрез для одной и той же рейки был произведён расчёт и сравнение компьютерных моделей формообразующих поверхностей зуба (рис. 2.3). Модели зубьев червячных фрез строились на пяти образующих, представляющих собой режущие кромки зубьев фрез, появляющиеся при переточках инструмента.
Для отработки методики оценки погрешностей метода проектирования червячных фрез, вызванных заменой эвольвентного основного червяка конволютным или архимедовым, проводились численные эксперименты по выявлению характера распределения отклонений и сравнение полученных результатов с данными теоретических исследований, приведенными в литературе [73].
Распределение отклоне