РОЗДІЛ 2. ДВОКРИСТАЛЬНА Х-ПРОМЕНЕВА
ДИФРАКТОМЕТРІЯ. МЕТОДИКИ. АЛГОРИТМИ
У даному розділі описані методики, які використовувались у роботі: двокристальна Х-променева дифрактометрія, алгоритми чисельного розв'язку рівнянь, які описують процеси розсіяння Х-променів багатошаровими структурами.
У роботі [85] продемонстровані можливості стандартного методу двокристальної Х-променевої дифрактометрії для аналізу багатошарових систем типу GaAs-InxGa1-xAs із шарами нанометрового розміру. Наявність тонких шарів із різко вираженими границями визначає появу великого числа осциляцій на кривій дифракційного відбивання (КДВ) у широкому кутовому діапазоні порядку десятка тисяч кутових секунд. У цьому випадку КДВ містить великий обсяг інформації про параметри структури, і використання адекватного математичного апарату дозволяє визначити не тільки параметри основних, що задаються за технологією шарів структури, але і характеристики границь розділу між ними. У результаті з'являється унікальна можливість контролювати розміри структури з точністю до нанометрів на великих глибинах від поверхні кристала. Завдяки цьому давно відомий метод двокристальної Х-променевої дифрактометрії стає одним з найбільш цікавим і важливим для аналізу багатошарових структур з нанометровими шарами.
Метод високороздільної Х-променевої дифрактометрії базується на явищі інтерференції Х-променів у багатошарових гетероструктурах [46,47]. Цей метод володіє, з одного боку, високою просторовою роздільною здатністю, порівняною для визначеного типу гетероструктур з роздільною здатністю просвічуючої електронної мікроскопії [74], і, з іншого боку, високою чутливістю до кристалічної структурної досконалості, що дозволяє вивчати особливості механізмів епітаксійного росту і дефектоутворення в гетероструктурах [70,74].
Вимірювання кривих гойдання (КГ) виконані на двокристальному Х-променевому дифрактометрі фірми "Bede" з мідною трубкою (?=0,15405 нм). Колімований монохроматичний Х-променевий пучок формувався за допомогою симетричного монохроматора GaAs (001) для відбивання (004). Відбитий пучок детектувався сцинтиляційним лічильником з вузькою щілиною скануванням в області симетричного відбивання (004) протягом майже 16 годин.
Для моделювання процесів Х-променевої дифракції використано основні положення кінематичної і динамічної теорій дифракції. Криві дифракційного відбивання (КГ) для багатошарових структур розраховувались на основі рекурентних співвідношень Такагі-Топена-Рікатті [89]. Основною складністю в чисельному розв'язанні цих рівнянь є неоднозначність розв'язку для різних деформацій та значень кутових відхилень від точного кута дифракції Х-променів. Для розв'язку оберненої задачі - визначення профілю деформації на границях розділу структури за відомою кривою гойдання - використано метод мінімізації невід'ємної нев'язки між експериментальною і теоретичною КГ. Для оцінки оптичної якості зразків проведені виміри спектрів фотолюмінесценції з використанням He-Ne лазера.
На відміну від одношарових структур, інтерференція Х-променів, розсіяних різними шарами, проявляється у складних дифракційних кривих, які не можна однозначно проаналізувати традиційними підходами. Тому, для визначення градієнтів деформацій, зміни хімічного складу та параметрів атомної шорсткості поверхні на границях розділу проведено комплексні комп'ютерні моделювання процесів розсіяння Х-променів з врахуванням прямих і обернених розв'язків поставлених задач. Розглянемо основні співвідношення, що описують розсіяння Х-променів багатошаровими структурами.
2.1. Рівняння Топена і рекурентні співвідношення
Введемо величину r(z), яку визначимо наступним чином:
. (2.1.1)
Нескладно побачити, що визначена нами таким чином функція r(z) при z=0 рівна комплексному коефіцієнту відбивання (ККВ) в асиметричній геометрії Брега. Нагадаємо, що в геометрії Брега завжди , так, що .Згідно (2.1.1) маємо:
. (2.1.2)
Із першого рівняння системи (1.2.8) після деяких перетворень отримаємо:
, (2.1.3)
де - екстинкція (1.1.9в).
При отриманні рівняння (2.1.3) для прозорого кристалу повинно бути використане наступне правило вибору знаків:
.
Підставляючи в друге рівняння системи (1.17) замість (2.1.2), і проводячи необхідні перетворення і замінюючи похідну правою частиною рівняння (2.1.3), отримаємо диференціальне рівняння першого порядку для ККВ:
. (2.1.4)
Рівняння (2.1.4) називається рівнянням Топена. При записі (2.1.4) введені наступні позначення:
, (2.1.5)
, (2.1.6)
де - локальна Брегівська аккомодація (1.2.9), параметр - визначений в (1.1.9а), а - при нехтовно малому поглинанні має зміст нормованого локального кутового відхилення від невиправленого на заломлення кута Брега (1.1.9а).
Рівняння (2.1.4) відноситься до рівнянь типу Ріккаті. Для його розв'язку слід задати одну граничну умову на вихідній поверхні z=t. Ця умова описує відбивні властивості середовища, яке знаходиться поза досліджуваним кристалом. Якщо поза кристалом вакуум, то r(t)=0, якщо ж поза ним знаходиться другий кристал з ККВ r2(t), то гранична умова при z=t має вигляд r(t)=r2(t). Оскільки гранична умова задається на нижній поверхні кристалу, то і розв'язок рівняння Топена (2.1.4) ведеться знизу.
Для напівбезмежного кристалу без спотворень (U(z)=0) диференціальне рівняння стає алгебраїчним, тобто:
. (2.1.7)
Оскільки в цьому випадку відношення не залежить від координати z. Останнє твердження базується на тому, що додавання чи забирання шару довільної товщини змінює ККВ напівбезмежного кристалу . Звідси знайдемо ККВ :
. (2.1.8)
Тут вибір знаків перед коренем виконується на основі наступних умов:
i при . У кристалі з поглинанням слід зберігати лише знак плюс (+) в (2.1.8) і використати значення кореня з додатною уявною частиною.
При брегівській дифракції на досконалому кристалі кінцевої товщини рівняння (2.1.4) слід розв'язувати, замінюючи (2.1.6б) на (1.