ГЛАВА 2
ВЕРОЯТНОСТНО-ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ ПРИ КОНКУРЕНТНОМ ОБРАЗОВАНИИ НЕСКОЛЬКИХ ФАЗ
Вероятностно-феноменологический подход к описанию кинетики фазовых превращений, или теория Колмогорова-Джонсона-Мейла-Аврами (KJMA) [1-5], исходит из представления о возникающих центрах новой фазы, вокруг которых происходит нарастание вещества с некоторой скоростью. Соответственно, используются два параметра - скорость зарождения центров новой фазы и скорость роста зародышей - и определенные модельные предпосылки. Целью является получение временных и структурных характеристик процесса, таких как объемная доля новой фазы (объемная доля непревращенного вещества ); распределение зародышей по размерам; площадь границ зерен в единице объема и т.д. Исходные посылки модели Колмогорова, или ограничения классической теории KJMA, следующие:
(а) Процесс происходит в неограниченном объеме. Другими словами, влиянием стенок можно пренебречь. Практически это означает, что размер системы много больше среднего размера зерна.
(б) Пуассоновский процесс зарождения: вероятность появления одного центра в объеме за время равна . Вероятность появления более одного центра есть .
(в) Единство скорости роста: все зародыши в данный момент времени растут с одной и той же линейной скоростью . Индекс здесь показывает, что скорость может зависеть от направления. Однако такая зависимость должна быть одинаковой для всех зародышей. Отсюда следует ограничение на форму зародышей.
(г) Зародыш может иметь произвольную выпуклую форму, но все зародыши должны быть геометрически подобны друг другу и одинаково ориентированы.
Ниже мы будем иметь дело со сферической формой зародышей, так что объем в момент времени зародыша, появившегося в момент , есть
,
Здесь - размерность пространства, - геометрический множитель: для , соответственно.
При вычислении объемных долей конкурирующих фаз, растущих с различными скоростями, нарушается посылка (в) модели Колмогорова. Из-за различия в скоростях роста возникают специфические геометрические эффекты, которые рассматриваются в данной главе. Дается аналитическая оценка одного из них (оценки величины двух других эффектов приводятся в следующей главе). Выводятся выражения для объемных долей конкурирующих фаз в приближении независимых фаз. В этом же приближении получаются выражения для функций распределения зародышей различных фаз по размерам. В рамках подхода Джонсона-Мейла-Аврами рассматривается задача вычисления объемных долей конкурирующих фаз, зарождающихся на границах зерен.
2.1. Подход Джонсона-Мейла-Аврами в случае нескольких фаз. Эффект мнимых зародышей
Подход Джонсона-Мейла к вычислению объемной доли является наиболее наглядным, так как имеет дело непосредственно с зародышами фаз. Поэтому в рамках этого подхода ниже рассматриваются геометрические эффекты, обусловленные различием скоростей роста фаз, и для некоторых из них делаются оценки.
В данном подходе вместо реального постулируется фиктивный механизм зарождения и роста: 1) центры новой фазы появляются не только в непревращенной области, но и внутри уже существующих зародышей (фиктивные, мнимые, центры, или фантомы); 2) при столкновении зародыши продолжают расти, как бы "не замечая" друг друга, подобно волнам на воде. Легко видеть, что в рамках модели Колмогорова фиктивный механизм дает ту же самую объемную долю, что и реальный. В то же время, пространственно однородное (Пуассоновское) распределение зародышей, являющееся результатом этих двух предположений, существенно упрощает задачу вычисления объемной доли.
Прирост за время объема зародыша, появившегося в момент , есть сферический слой (кольцо) объема , . Полный прирост объема всех зародышей есть интеграл по :
(2.1)
Он изображается совокупностью отдельных колец . Если взять наугад одно такое кольцо, то одна его часть будет лежать в превращенной области, другая - в непревращенной. В среднем, последняя равна . Именно она дает вклад в прирост реального объема. Следовательно, для прироста реального объема имеет место следующее уравнение:
(2.2)
Решение этого уравнения вместе с (2.1) и начальным условием имеет вид
(2.3)
Величина
(2.4)
называется "продолженныым объемом". Это полный объем всех зародышей без учета их перекрытий. Уравнение (2.2) дает простое соотношение между приращениями реального и продолженного объемов. Такой подход к вычислению объемной доли в литературе также называется приближением среднего поля [33]. Он допускает обобщения на другие случаи зарождения, например, на случай зарождения на границах зерен (эта теория рассматривается в разделе 2.6).
Аврами [3-5] также использовал идею фиктивных зародышей. Основное отличие от подхода Джонсона-Мейла заключается в механизме зарождения. Согласно Аврами, зарождение происходит в фиксированных точках (центрах), так что количество свободных центров, доступных для зарождения, убывает со временем. Таким образом, скорость зарождения, вычисляемая Аврами, учитывает исчерпание мест, доступных для зарождения. Однако, такой механизм зарождения, называемый гетерогенным, является одним из возможных (он соответствует, например, зарождению на примесных частицах). В подходе Джонсона-Мейла механизм зарождения - гомогенный: зародыш равновероятно может появиться в любой точке пространства.
Как уже упоминалось, важным является то обстоятельство, что фиктивный механизм дает то же самое значение объемной доли, что и реальный. Этот факт имеет место благодаря единству скорости роста в модели Колмогорова: фиктивный зародыш растет с той же самой скростью, что и реальный, содержащий его. Поэтому наличие фиктивных зародышей не искажает картину реального процесса.
В случае нескольких фаз, одновременно растущих с разными скоростями, фиктивные зародыши искажают реальную картину: фиктивный зародыш быстро-растущей фазы, находящийся
- Киев+380960830922