РОЗДІЛ 2
КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ТЕРМОПРУЖНОСТІ
ДЛЯ ТЕРМОЧУТЛИВИХ ТІЛ
При розрахунках на міцність елементів конструкцій, які працюють в умовах високих температур, та при дослідженні багатьох технологічних процесів важливе значення має визначення їх напружено-деформованого стану. Відомо, що властивості матеріалів суттєво залежать від температури, тому очевидною є важливість врахування впливу температурної залежності характеристик матеріалу на розподіл температурного поля і викликаного ним напружено-деформованого стану. Крім того, для більш точного та повного опису температурного поля і визначення обумовленого ним напружено-деформованого стану в умовах високотемпературного нагрівання тіл слід враховувати ще й променевий теплообмін з їх поверхонь. Однак, це значно ускладнює побудову розв'язків відповідних задач теплопровідності і термопружності, оскільки врахування термочутливості матеріалу приводить до нелінійних задач теплопровідності, а відповідні задачі термопружності є крайовими задачами зі змінними коефіцієнтами.
Розв'язування статичних чи квазістатичних незв'язаних задач термопружності складається з двох етапів: знаходження температурного поля тіла та визначення його напружено-деформованого стану, викликаного знайденим температурним полем та прикладеними до нього внутрішніми і зовнішніми силовими навантаженнями.
2.1. Постановка нестаціонарних задач теплопровідності термочутливих тіл
Розглянемо ізотропне тверде тіло, яке займає деяку просторову область обмежену поверхнею , і нагрівається довільно розподіленими в його об'ємі джерелами тепла густини , а його теплофізичні (коефіцієнт теплопровідності і об'ємна теплоємність ) і механічні (модуль зсуву , коефіцієнт Пуассона та температурний коефіцієнт лінійного розширення (ТКЛР) ) характеристики залежать від температури . Температурне поле для такого тіла описується нелінійним рівнянням нестаціонарної теплопровідності [61]
, (2.1)
де - час.
Рівняння (2.1) в залежності від геометрії досліджуваного тіла доцільно представляти в різних системах координат.
В декартовій системі координат рівняння (2.1) має вигляд:
. (2.2)
Якщо однорідне ізотропне термочутливе тіло віднесене до циліндричної системи координат , то нестаціонарне рівняння теплопровідності має вигляд:
. (2.3)
У сферичній системі координат для ізотропного термочутливого тіла рівняння теплопровідності записується так:
. (2.4)
При врахуванні залежностей теплофізичних характеристик матеріалу тіла від температури крайові задачі теплопровідності є нелінійними і полягають у розв'язанні нелінійного рівняння теплопровідності (2.1), яке залежно від геометричної форми тіла в декартовій системі координат має вигляд (2.2), в циліндричній - (2.3), сферичній - (2.4) за заданих граничних та початкових умов.
Граничні умови описують теплову взаємодію тіла з оточуючим його середовищем через його поверхню S і можуть бути задані різними способами:
¦ у вигляді розподілу температури на поверхні s тіла, як функції координат і часу
, (2.5)
¦ у вигляді розподілу густини потоку тепла на поверхні s тіла, як функції координат і часу
, (2.6)
де зовнішня нормаль до поверхні S;
¦ якщо через поверхню тіла відбувається конвективно-променевий теплообмін зі зовнішнім середовищем, то гранична умова має вигляд
, (2.7)
де - коефіцієнт теплообміну, який характеризує інтенсивність теплової взаємодії середовища заданої температури з поверхнею тіла, - ступінь чорноти поверхні s, - стала стефана-больцмана. з умови (2.7) при різних комбінаціях значень коефіцієнтів можна отримати часткові випадки граничних умов на поверхні s, а саме: при - умову конвективного теплообміну з зовнішнім середовищем (теплообміну за законом ньютона), - умову променевого теплообміну.
Для контактуючих тіл задаються умови спряження температурних полів на границі їх розділу. за умов ідеального теплового контакту тіл на межі їх розділу має місце рівність температур (умова неперервності температурного поля) та теплових потоків (закон збереження енергії на поверхні стику двох тіл)
,
. (2.8)
При розгляді нестаціонарних задач теплопровідності, крім граничних умов необхідно задати також початкову умову, яка описує розподіл температури в середині тіла в початковий момент часу
(2.9)
2.2 Постановка задач теплопровідності за умов кондуктивно-променевого теплообміну
У випадку стаціонарної задачі променево-кондуктивного теплообміну між двома тонкими скінченними оболонками отримаємо наступну математичну модель.
Розглянемо тонку оболонку , яка повністю міститься всередині іншої оболонки довжиною , а їх основи лежать в одній площині (рис. 2.1). Зазначимо, що в загальному випадку внутрішня оболонка може бути кусково-однорідною, тобто однорідною на кожній грані.
Позначимо через внутрішню поверхню оболонки , а через - відповідно зовнішню та внутрішню поверхні оболонки . Вважаючи, що розподіл температури на поверхні , коефіцієнти поглинання та відбиття цих поверхонь є відомими функціями температури, а поверхні сірі, розглянемо променевий теплообмін між поверхнями і та в та кондуктивний - у внутрішній оболонці. Оскільки, надалі будемо використовувати чотирикутні елементи дискретизації, то для зручності представимо основи оболонки (N-кутники) у вигляді чотирикутників. Загальну кількість граней зовнішньої оболонки позначимо .
Тоді оболонки , можна представити як об'єднання чотирикутних елементів , а їх поверхні як , і розглянемо процеси теплопровідності в локальних декартових системах координат , пов'язаних з поверхнями , а променевий теплообмін ? в глобальній системі координат .
Рис. 2.1.
Запишемо систему рівнянь та граничних умов, що описують даний процес. Для визначення температурного поля внутрішньої оболонки маємо рівняння теплопровідності для кожної грані в локальній декартовій системі координат
(2.10)
або у випадку циліндричної оболо