РОЗДІЛ 2
НЕСТАЦІОНАРНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ БАГАТОШАРОВИХ ТІЛ
Робота присвячена розвитку чисельних і аналітичних підходів, що ґрунтуються на інтегральних перетвореннях Фур'є і Лапласа для розв'язання нестаціонарних задач механіки суцільного середовища. При цьому, обчислення невласних інтегралів, що виникають при оберненні інтегральних перетворень, засновано на використанні основної теореми про лишки підінтегральної функції.
Моделювання нестаціонарних динамічних процесів є важливою задачею математичної фізики. Цій проблемі властива велика кількість змінних, що описують рух тіл у просторі та у часі. При реалізації таких моделей виникають математичні складнощі. Одним з методів зменшення розмірності таких задач є застосування інтегральних перетворень. Вони дозволяють привести систему рівнянь у частинних похідних до системи звичайних диференційних рівнянь або до системи алгебраїчних рівнянь, що розв'язуються порівняно просто у просторі зображень. Для переходу у простір оригіналів звичайно застосовуються чисельні методи обернення, ефективність яких визначає можливість рішення багатовимірних задач.
У даному розділі розвинуто чисельно-аналітичний метод для розв'язку нестаціонарних задач теорії пружності на основі інтегральних перетворень, який відрізняється від існуючих застосуванням теореми Коші, методу Ньютона у сполученні з методами теорії лишків для чисельного обернення перетворення Лапласа.
2.1. Математична постановка нестаціонарної задачі для шаруватих тіл
Розглянемо багатошарове тіло, в якому шари можуть бути пружними і деякі з них можуть мати в'язкопружні властивості. Тіло необмежене в горизонтальних напрямах (Рис 2.1).
Рис. 2.1. Схема прикладення навантажень
Наведемо рівняння руху точок багатошарового тіла
, (2.1)
де .
Початкові умови приймемо тривіальними
. (2.2)
Граничні умови
. (2.3)
На зовнішніх поверхнях задається розподілене або зосереджене навантаження або переміщення.
Умови сполучення шарів: дотичні навантаження відсутні, а нормальні напруження і переміщення співпадають (контакт ковзання)
,, , (2.4)
де k - номер шару.
Задані співвідношення Коші
. (2.5)
Для пружних шарів фізичні співвідношення задані законом Гука
, (2.6)
де об'ємна деформація
. (2.7)
Для в'язкопружних шарів фізичні співвідношення представлені реологічними співвідношеннями
. (2.8)
Спробуємо розв'язати задачу методом інтегральних перетворень Фур'є й Лапласа. Основні співвідношення у просторі зображень перетворень Фур'є мають вигляд:
- рівняння руху
; (2.9)
- співвідношення Коші
; (2.10)
; (2.11)
- граничні умови
; (2.12)
; (2.13)
- умови сполучення шарів
,,; (2.14)
- фізичні співвідношення
, (2.15)
де символом (*) позначені трансформанти інтегральних перетворень.
У загальному випадку одержати розв'язки таких систем досить складно. Ще більше складностей викликають обернення цих розв'язків. У зв'язку з цим, виникає потреба у створенні нових підходів на основі сполучення чисельних та аналітичних методів обернення інтегральних перетворень.
Розглянемо неперервне перетворення Фур'є [89] - це перетворення, яке застосовується до функції , що задана на інтервалі . В результаті одержимо трансформанту
.
Існує обернення перетворення, що дозволяє по зображенню відновити функцію-оригінал
.
Розглянемо інтегральне перетворення Лапласа, яке в нашому випадку доцільно використовувати для перетворень не по координатах, а за часом, у зв'язку з властивостями самого перетворення [42].
Нехай функцією-оригіналом зветься комплексна функція f(t) дійсного аргументу t, що задовольняє умовам:
1. Вона інтегрується на будь-якому скінченному інтервалі для часової змінної t.
2. f(t)=0 для всіх негативних t.
3. f(t) зростає не швидше показової функції, тобто існують такі постійні М і, що .
Зображенням функції f(t) (по Лапласу) зветься функція F(p) комплексної змінної, що визначається рівністю
.
Той факт, що F(p) є зображення f(t), символічно запишемо так
.
Для будь-якої функції-оригіналу зображення визначене в напівплощині і є в цій напівплощині аналітичною функцією [43].
Для обчислення оригіналу перетворення Лапласа в загальному вигляді використовується інтеграл Римана-Мелліна
.
Розглянемо мероморфну функцію [17]. Нехай функція - мероморфна функція, тобто однозначно визначена функція комплексної змінної, яка не має в обмеженій частини площини комплексної змінної інших особливих точок, крім полюсів. Мероморфна функція - відношення двох цілих функцій. Мероморфна функція це узагальнення раціональної функції.
У цьому випадку побудуємо послідовність кіл зростаючого радіусу
так, щоб дуги не проходили через особливі точки (Рис. 2.2).
Рис. 2.2. Особливі точки - полюси мероморфної функції
Матимемо
. (2.16)
Тут запис означає, що ми маємо суму по всіх особливих точках , що лежать усередині дуги .
Припустимо, що
рівномірно на . Тоді, згідно з лемою Жордана,
,
крім того
.
тому згідно (2.16) маємо
.
Для обчислення оригіналу функції використовується наступна теорема.
Нехай функція мероморфна і аналітична в деякій напівплощині, за винятком скінченного числа полюсів, тоді оригіналом [41] є функція
,
де лишки обчислюються по всіх полюсах функції .
У дисертаційній роботі запропоновані наступні підходи.
1. Обернення перетворення Лапласа за допомогою теорії лишків, тобто
, (2.17)
де pk - полюси підінтегральної функції u*.
Для визначення полюсів виразу u* , знаходились корені оберненої функції
, (2.18)
для чого запропоновані наст