РАЗДЕЛ 2
Основные модели и методы
исследования задач динамики твердого тела,
имеющего неподвижную точку
В этом разделе описана механическая модель задачи о движении твердого тела под
действием потенциальных и гироскопических сил, определяемая уравнениями
Кирхгофа–Пуассона [263, 327]. Указана связь этих уравнений с уравнениями
Д.Гриоли–М.П.Харламова [237, 319]. Приведена аналогия задачи о движении
гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и задачи о движении
тела в идеальной жидкости. Сформулированы результаты из теории интегрирующего
множителя Якоби [325] и метод инвариантных соотношений [254, 255]. Приведен
анализ общих случаев интегрируемости уравнений Кирхгофа. Рассмотрены решения
С.А.Чаплыгина [235, 279], П.В.Харламова [242]. Описан метод годографов прямого
кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой [244]. Даны
определения прецессионных, изоконических, асимптотических движений гиростата.
2.1. Уравнения Д.Гриоли
Наиболее общие дифференциальные уравнения задачи о движении твердого тела с
неподвижной точкой под действием потенциальных и гироскопических сил, которые
допускают три первых интеграла, получены в 1963 году итальянским механиком
Д.Гриоли [319]. В векторном виде они таковы
(2.1)
где – вектор момента количества движения; – единичный вектор оси симметрии
силового поля; , – скалярные функции компонент вектора ; – скалярная функция
компонент вектора угловой скорости и вектора ; – гирационный тензор; , .
Обозначим через – компоненты гирационного тензора , тогда компоненты вектора
имеют вид
(2.2)
Уравнения (2.1) допускают три первых интеграла
, , . (2.3)
Здесь , – произвольные постоянные.
2.2. Уравнения Г.Кирхгофа
Пусть в уравнениях (2.1) и интегралах (2.3)
, , . (2.4)
Тогда из (2.1), (2.3) получаем
, , (2.5)
, , . (2.6)
Отметим, что – вектор гиростатического момента; – вектор, сонаправленный с
вектором обобщенного центра масс гиростата; , – постоянные симметричные матрицы
третьего порядка.
Остановимся на механической интерпретации уравнений (2.5). Рассматривается
движение гиростата, представляющего собой систему твердых тел, которая состоит
из тела–носителя произвольной формы и закрепленных в нем тел симметричной
формы, вращающихся равномерно вокруг своих осей симметрии [252]. Пусть тело
намагничено и заряжено. Обозначим через напряженность магнитного поля, через –
центр ньютоновского притяжения, через – центр кулоновского притяжения и
предположим, что они лежат на оси, проходящей через неподвижную точку и вектор
. Текущий элемент тела характеризуется вектором , – элементарный заряд,
определяемый вектором ; – вектор намагниченности (см. рис. 2.1),
характеризующий диполь тела . Отметим, что тела свободны от электрических
зарядов и не намагничены.
Рис. 2.1.
Обозначим через угловую скорость тела , – единичные векторы общих для тел и
осей , , и – осевой и экваториальный моменты инерции тела . Полагаем, что тела
с массой равномерно вращаются относительно осей с угловыми скоростями . Тогда
момент количества движения гиростата таков [252]
, (2.7)
(2.8)
Вектор называется гиростатическим моментом. В формуле (2.8) для выражение –
момент количества движения тела : . Интегрирование ведется по объему
тела-носителя .
В силу постановки задачи гироскопические силы возникают при лоренцовом
воздействии магнитного поля с напряженностью на движущиеся в неподвижном
пространстве электрические заряды. Токи самоиндукции считаются отсутствующими.
Потенциальные силы возникают при взаимодействии электрических зарядов с
электрическим полем с центром в точке , магнитов с магнитным полем, а также при
ньютоновском притяжении масс с центром в точке . При этом сила Кулона равна ,
сила Ньютона – , где и – постоянные кулоновского и ньютоновского притяжений.
Выпишем потенциал рассматриваемой системы [43, 44, 264, 318, 345]
. (2.9)
Здесь – потенциал ньютоновского притяжения, – потенциал кулоновского
притяжения, – потенциал магнитного притяжения. Найдем
(2.10)
Здесь вектор характеризует центр масс гиростата, – это масса механической
системы, – напряженность электрического поля, – магнитный момент, ,, , , тензор
вводится в соотношениях (2.8). Тензор определяется равенством
. (2.11)
Поскольку тела не заряжены и не намагничены, интегрировать в формулах (2.10),
(2.11) следует только по объему тела-носителя . На основании формул (2.9) и
(2.10) имеем
(2.12)
В соотношениях (2.12) называют вектором обобщенного центра масс гиростата.
Момент сил Лоренца, вызванный движением электрических зарядов в магнитном поле,
вычисляется следующим образом [318]
(2.13)
Здесь через обозначена единичная матрица третьего порядка.
В соответствии с теоремой об изменении момента количества движения и
соотношениями (2.7), (2.12), (2.13) имеем
(2.14)
Уравнения (2.14) – уравнения Кирхгофа–Пуассона имеют первые интегралы
(2.15)
Если обозначить , то , – гирационный тензор. Тогда из уравнений (2.14) будут
следовать уравнения (2.5). История формирования уравнений Кирхгофа и различные
формы этих и обобщенных уравнений изложены в работе [263].
Пусть в уравнениях (2.14), (2.15) , , . Тогда получим задачу о движении
тяжелого твердого тела, описанную уравнениями Эйлера–Пуассона
, (2.16)
с интегралами
, , . (2.17)
Если в (2.14), (2.15) положить , , то имеем задачу о движении тяжелого
гиростата
(2.18)
Задачу о движении гиростата под действием