Движение двух вязких несмешивающихся жидкостей

ОГЛАВЛЕНИЕ
0.1. Введение........................................................ 6
Часть I Движение двух несжимаемых жидкостей........................... 12
§ 1. Введение......................................................... 12
1.1. Постановка задачи. Определение пространств..................... 12
§ 2. Модельная задача с плоской границей раздела жидкостей с учётом сил поверхностного натяжения........................................ 18
2.1. Вспомогательные предложения................................. 18
2.2. Явное решение модельной однородной задачи и его оценка...... 19
2.3. Теоремы о мультипликаторах Фурье в пространствах Гёльдера . . 23
2.4. Оценка решения задачи (2.2.1)............................... 31
2.5. Задача для неоднородной системы Стокса...................... 38
§ 3. Модельная задача без учёта сил поверхностного натяжения.......... 50
3.1. Постановка задачи и формулировка теоремы существования .... 50
3.2. Предварительные рассуждения................................. 52
3.3. Однородная задача. Явное решение.............................. 59
3.4. Доказательство теоремы 3.3.1................................ 63
3.5. Доказательство теоремы 3.1.1................................ 72
§ 4. Линейная задача с учётом сил поверхностного натяжения............ 79
4.1. Вспомогательные утверждения. Формулировка результатов 79
4.2. Априорные оценки решения задачи (1.1.7)....................... 82
4.3. Разрешимость задачи (1.1.7). Построение регуляризатора...... 92
§ 5. Локальная разрешимость нелинейной задачи в весовых пространствах Гёльдера............................................................101
5.1. Весовые гёльдеровские пространства. Формулировка локальной
теоремы существования для нелинейной задачи..................101
5.2. Весовые оценки для линейной задачи (1.1.7) ...................106
5.3. Разрешимость линеаризованной задачи на конечном интервале
времени......................................................115
5.4. Доказательство разрешимости нелинейной задачи (5.1.1).......127
§ 6. Глобальная разрешимость для нелинейной задачи без учёта сил поверхностного натяжения..............................................134
6.1. Формулировка основного результата ............................134
2
6.2. Линейная задача с замкнутой границей раздела жидкостей 136
6.3. Линеаризованная задача.......................................138
6.4. Глобальная разрешимость задачи (1.1.1) при о = 0.............139
§ 7. Глобальная разрешимость задачи с учётом сил поверхностного натяжения .............................................................146
7.1. Постановка задачи. Формулировка основного результата ........146
7.2. Энергетическая оценка решения................................151
7.3. Линеаризованная задача.......................................158
7.4. Глобальная разрешимость задачи (7.1.3), (0.1.3)..............160
§ 8. Задача термо-кагшлляриой конвекции..............................169
8.1. Постановка задачи и формулировка результатов.................169
8.2. Линеаризованные задачи.......................................172
8.3. Разрешимость задачи (8.1.2) .................................177
8.4. Задача во всём пространстве с постоянным значением температуры на бесконечности 187
§ 9. Движение двух несжимаемых жидкостей в приближении Обербека-Буссинеска.........................................................189
9.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов........189
9.2. Линеаризованные задачи.......................................192
9.3. Оценки решений задач (7.3.3), (6.2.4) и (9.1.4)..............194
9.4. Локальная разрешимость задачи (9.1.2) .......................199
Часть И Движение двух сжимаемых жидкостей............................207
§ Ю. Локальная разрешимость задачи для двух жидкостей в соболевских пространствах......................................................207
10.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов........209
10.2. Однородная модельная задача с плоской границей раздела жидкостей ............................................................215
10.3. Однозначная разрешимость неоднородной модельной задачи . . . 224
§11. Задача для одной жидкости в гёльдеровских пространствах.........228
11.1. Введение. Постановка задачи..................................228
11.2. Однородная задача (11.1.4) в полупространстве ...............230
11.3. Разрешимость неоднородной модельной задачи в полупространстве ..............................................................245
11.4. Разрешимость линейной задачи в ограниченной области..........246
11.5. Однозначная разрешимость задачи (11.1.2).....................257
3
§ 12. Разрешимость в весовых гёльдеровских пространствах задачи об эволюции двух жидкостей.................................................266
12.1. Формулировка основного результата..............................260
12.2. Оценки решения однородной модельной задачи с плоской границей раздела жидкостей в гельдеровских пространствах..................268
12.3. Теорема существования для неоднородной модельной задачи . .. 285
12.4. Задача (12.1.1)................................................289
§ 13. Модельная задача для термо-капиллярной конвекции для двух жидкостей ..............................................................290
13.1. Постановка задачи..............................................290
13.2. Линеаризованные задачи.........................................292
Часть III Движение двух жидкостей разных типов ........................294
§14. Введение..........................................................294
14.1. Постановка задачи..............................................295
14.2. Формулировка результатов.......................................297
§ 15. Модельная задача.................................................300
15.1. Однородная модельная задача....................................300
15.2. Неоднородная модельная задача..................................311
§ 16. Задачи (14.1.4) и (14.2.2).......................................314
16.1. Линеаризованная задача (14.2.2)................................315
16.2. Нелинейная задача (14.1.4).....................................323
Заключение.............................................................324
Список литературы......................................................326
4
Обозначения
N - множество натуральных чисел;
Е - вещественная прямая;
Е± = {х Є Е| ± х > 0};
Еп - евклидово пространство размерности ті Є М;
Е| = {х Є Е3| ± хз > 0};
С - комплексная плоскость;
Е£ = Е3 х (0,7і), Е^ = Е2 х (0,Т) 0 < Т ^ оо;
_ в~ и £>+,
£)± = Е^ х (0,Г);
П+ С Е3 — ограниченная область, Г = 0“ = Е3 \ П+ или ограни-
ченная область, содержащая П+;
£ = д(П+ и Г и О”) — заданная замкнутая поверхность, 5 П Г = 0; <#=П±х(ОіТ)іТ> О,
Изт = и (3^ при наличии £;
Аг = и если 5 отсутствует;
1/2(^) ~ пространство функций ц, заданных в области ^ и имеющих конечную норму
ІМІ2.П 5 ІМІЬ^П) = |и(х)|2сІ2:) ' ;
= ~ пР0ИЗВ0Дная от функции и по х, где мультииндекс
а = (ат,... ,ап) порядка \а\ = сщ 4- ... 4- ап имеет целые неотрицательные компоненты а,-, і = 1,..., п), Т>ьи - производная от функции и по
Вектора и векторные пространства отмечаются жирным шрифтом. Нумерация констант своя для каждого подпараграфа.
5
0.1 Введение
Задача о неустановившемся движении двух вязких несмешивающихся жидкостей с неизвестной замкнутой поверхностью раздела принадлежит к классу задач со свободными границами. Теория этих задач для уравнений Навье-Стокса насчитывает в своем развитии лишь около трёх-четырёх десятилетий, хотя их постановка восходит к классическим работам 19-ого века. Большинство авторов, работающих в этом направлении, рассматривает стационарные задачи. Это относится и к задаче о движении конечного объема одной жидкости в другой.
Впервые задача, описывающая стационарное движение двух несжимаемых жидкостей, изучалась в работах Ж. Адамара [1) и В. Рыбчинского [2]. Ими было получено аналитическое решение системы Стокса, соответствующее осесимметричному падению сферической капли с постоянной скоростью. Стационарное движение двух жидкостей со свободной замкнутой поверхностью их раздела исследовали В. Я. Ривкинд [3]-[5] и И. Бемельманс [6]. В работах был сделан расчет движения и формы капли в жидкой среде [3, 4|. Однако доказательства существования единственного решения нелинейной задачи о капле, падающей с постоянной скоростью, у обоих авторов содержат пропуски и неточности. Чуть позже к этой задаче обратился В. А. Со донников [7, 8]. В предположении, что плотности жидкостей близки друг другу, он дал корректное доказательство разрешимости задачи о стационарном падении (подъёме) капли в бесконечной жидкой среде. Решение получено как возмущение состояния покоя, при этом было отмечено, что дифференциал Фреше соответствующего оператора не является обратимым, и поэтому задача требует более тонкого рассмотрения.
Нестационарные задачи о движении жидкостей со свободными границами являются более трудными для исследования. Они изучены в меньшей степени. Общая формулировка этих задач следующая (см. [9]): найти область П* С Кп(п = 2,3), занимаемую жидкостью с вязкостью V > 0 и плотностью р > 0 в момент времени * > 0; найти векторное поле V = (гц,-,г>п) и функцию давления р, удовлетворяющие начально-краевой задаче для уравнений Навье-Стокса:
Т- 1/Дг? + (г; • Х7)у + = /, V • г; = 0 в 17*, £ > 0, (0.1.1)
гф=о = 'Ыя), х ^ По, ^1х€5 = 0, Тп|Ге = а Пп. (0.1.2)
Здесь £>« = д/дЬ, V = (д/дхид/дх2уд/дхз), 5 — твердая поверхность, Г* = — свободная поверхность, / — поле внешних сил, 'Оо — начальное поле скоростей в заданной области Г2о, Т - эго тензор напряжений с элементами
Тов = -6*р + р(ду{/дхк + дУк/д:г*), к < п;
б
п — вектор внешней нормали кГ{ в точке х, а > 0 — коэффициент поверхностного натяжения, Н(х,{)/(п— 1) — значение средней кривизны поверхности Г£ ( Я < 0 в точках выпуклости Т1 наружу жидкости); точкой обозначено скалярное произведение в Мп.
Кроме того, относительно свободной поверхности Г£ предполагается, что на ней находятся все время одни и те же частицы жидкости. С помощью этого предположения исключается возможность переноса массы через поверхность Г*. Аналитически это записывается так: при £ > О Г£ состоит из таких точек #(£,£), соответствующий радиус-вектор которых ж(£,£) является решением задачи Коши
Т>гх = V(х(£),£), ж|£=о = £> £€Г0, * > 0, (0.1.3)
где Го = ЭПо\£ — заданная в начальный момент поверхность.
Нестационарное движение тяжелой вязкой жидкости над твердым дном £ изучалось в работах Т. Била [10, 11) и Ж. Ален [12]. В трехмерном случае для задачи (0.1.1)—(0.1.3) при а = 0 была доказана локальная по времени однозначная разрешимость в пространствах Соболева [10], а при а > 0 и малых начальных данных была получена и глобальная разрешимость в этих пространствах [11]. Без ограничения на размер начальных данных Ж. Ален установила локальную теорему существования этой задачи при а > 0, п = 2 [12].
Наиболее продвинута задача о движении изолированного объема несжимаемой жидкости. В этом случае поверхность 5 отсутствует, а свободная граница Г замкнута. Так, В. О. Бытев [13] и О. М. Лаврентьева [14] рассмотрели задачу (0.1.1)—(0.1.3) в кольце с двумя свободными границами, при этом вектор ио считайся аксиально симметричным. В [13] было показано, что при о = 0 0.1 в некоторых случаях может расширяться до бесконечности. Для о > 0 в [14] было установлено, что может превратиться в круг при £ = £о < оо и сохранять эту форму для всех £ > £о-
Задачу (0.1.1)—(0.1.3) для односвязной области П£ с замкнутой границей Гг, изучает в своих работах В. А. Со донников. В пространствах Соболева -Слободецкого И^2,1(0 х (0,Т)), П С Мп, п < д < оо, при а = 0 он доказал локальную по времени разрешимость задачи в п = 2,3, и дал достаточные условия продолжимости решения на бесконечный интервал времени £ > 0 [72]. Через 20 лет Й. Шибата и С. Шимизу повторяют его результаты в анизотропных пространствах , п < q < оо, 2 < р < оо, операторными методами. Для сг > 0 В. А. Солонниковым было доказано существование глобального решения в И^'Ч^3) ПРИ начальных данных, близких к равновесным [15]. В [16] он установил, что решение системы (0.1.1)—(0.1.3) с / = 0 при £ —► оо стремится к некоторому не зависящему от £ решению, описывающему
7
вращение жидкости как твердого тела. В статьях [17, 18] им дано подробное доказательство разрешимости задачи (0.1.1)—(0.1.3) в общем случае на некотором конечном интервале времени, зависящем от данных задачи. Аналогичный результат в пространствах Гёльдера при а > 0 был получен этим автором совместно с И. Ш. Могилевским [19, 20].
Что касается задачи о движении двух жидкостей, то для случая несжимаемых жидкостей модельные нестационарные задачи с заданными неподвижными границами раздела изучали В. Я. Ривкинд и Н. Б. Фридман [21]. В полной постановке эта задача впервые изучалась в ранних работах автора [22]—[26]. В конце 80-х - самом начале 90-х для неё была получена локальная разрешимость в пространствах Соболева - Слободецкого при наличии поверхностного натяжения и без него. Там использовалась техника вышеупомянутых работ для одной жидкости. Чуть позже, также на основе работ В. А. Солонникова, Н. Танака [27] предпринял попытку исследовать глобальную разрешимость для малых данных вблизи положения равновесия в тех же пространствах. В гёльдеровских классах эта задача впервые рассматривается в данной диссертации.
Упомянем, кроме того, результаты Й. Гиги и Ш. Такахаши [28, 29], а также А. Нури, Ф. Пупо и И. Дёмэ [30, 31] о существовании глобальных слабых решений для уравнений Стокса и Навье-Стокса, описывающих движение двух несжимаемых жидкостей с различными вязкостями и плотностями, но без учёта поверхностного натяжения. Отмерим также, что в 1993 году вышла книга Д. Д. Джозефа и Ю. Ренарди [32], посвящённая одновременной динамике двух несмешивающихся жидкостей, где приведены постановки задач, фотографии экспериментов и их компьютерные имитации.
Последние годы снова возрос интерес к рассматриваемой задаче, видимо, потому что с одной жидкостью уже был достигнут некоторый прогресс. Так С. Шимизу в [34], [35] начинает с анализа в задачи дифракции для системы Стокса для двух жидкостей с одинаковыми плотностями без учёта сил поверхностного натяжения. Я. Прюсс и Ж. Симоне ищут условия аналитичности решений при £ > 0 нелинейной задачи с учётом поверхностного натяжения, когда начальная поверхность раздела близка к полуплоскости [36], [37]. Г. Абельс, наоборот, исследуег ситуацию, когда существуют только обобщённые решения, и оценивает хаусдорфову меру границы раздела [38].
Что касается сжимаемой жидкости, то задачу о движении конечной массы баротропной жидкети рассматривали В. А. Солонников и А. Тани [39]. Они получили существование единственного решения этой проблемы в Соболевских пространствах на малом промежутке времени.
Пусть при £ = 0 жидкость заполняет известную область П С К3. Через Г обозначим границу этой области дС1. Для £ > 0 нужно найти свободную
8
границу Г4 = сИ2*, поле скоростей г^(гг, = (г>1, г»2, ^з) и Функцию плотности р(х,£) > 0 жидкости, удовлетворяющие начально - краевой задаче для системы Навье - Стокса:
р(Т>іУ + {у • V)«) - V • Т = р/,
Ар + V • (ру) = 0 в А, г > О,
«и=о = «о(*). р|«=о = Ро(з)> X еп,
Тп|г* = сНп — реп на А,
((3.1.4)
(0.1.5)
где тензор напряжений задаётся формулой
I - это единичная матрица; а р, р! - коэффициенты динамических вязкостей; р(р) — давление жидкости, заданное известной гладкой функцией плотности; f заданное поле внешних сил, ре = ре(х, Ь) — функция внешнего давления при х € З£3, £ > 0, ро и у0 начальные значения платности и скорости жидкости, п вектор внешней нормали к П*, о ^ 0 коэффициент поверхностного натяжения; Н(х, €) — удвоенная средняя кривизна поверхности Г*. Запись V • Т
ОТ"*'
обозначает вектор с компонентами (V • Т);- = у = 1,2,3.
Чтобы исключить потерю массы через свободную границу, предположим, что Г( состоит из точек х(£,£), удовлетворяющих задаче (0.1.3). Это условие позволяет нам избавиться от неизвестной границы путём перехода от эйлеровых координат {т} к лагранжевым {£} точно так же, как это было делается для несжимаемой жидкости. Только теперь якобиан преобразования не равен единице. Для функций плотности р и скорости и в лагранжевых координатах мы получаем задачу, где можно проинтегрировать уравнение для плотности. В результате мы получаем систему относительно только скорости жидкости и, .
Проблему о движении двух сжимаемых жидкостей без поверхностного натяжения изучал А. Тани [40] в 80-х годах прошлого века. Задача с неизвестной границей двух сред и с учётом поверхностного натяжения впервые исследуется в данной работе как для случая сжимаемых [41], [42], так и для случая разнородных жидкостей [43].
Структура диссертации:
Диссертация помимо введения содержит 3 части, разделённые на параграфы и подпараграфы. Нумерация параграфов сплошная но всей работе. При нумерации формул первая цифра означает номер параграфа, вторая -номер подпараграфа, а третья - номер формулы в подпараграфе. Результаты диссертации опубликованы в работах [20], [41]—[57].
9
В первой части мы изучаем задачу о движении двух несжимаемых жидкостей. Локальную по времени однозначную разрешимость этой задачи после перехода к лагранжевым координатам мы получаем в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности (§5). Доказательство проводится в несколько этапов. Сначала в параграфе 2 мы анализируем модельную задачу с плоской поверхностью раздела и с коэффициентом а ^ 0 в обычных гёльдеровских классах функций. В §3 мы исследуем модельную задачу с плоской границей при о — 0. Задача с замкнутой границей раздела рассматривается в §4. Там доказывается её однозначная разрешимость для любого конечного промежутка времени. В §5.2, 5.3 проводятся оценки для линейной и линеаризованной задач в весовых пространствах Гёльдсра, откуда уже выводится разрешимость нелинейной задачи.
Далее, при условии малости начальных данных удаётся получить и глобальную разрешимость задачи в полной постановке (§§б, 7). В конце этой части мы рассматриваем задачи с учётом температуры (§§8, 9).
Вторая часть посвящена сжимаемым капиллярным баротропным жидкостям. В параграфе 10 мы доказываем существование в пространствах Соболева- Слободецкого единственного решения задачи об одновременной эволюции двух сжимаемых несмешивающихся жидкостей на конечном временном промежутке, величина которого зависит от данных задачи. Далее мы исследуем задачи о движении одной (§11) и двух (§12) сжимаемых жидкостей и тоже доказываем их локальную однозначную разрешимость, но уже в гёльдеровских классах функций. На этой основе в параграфе 13 мы изучаем задачу термо-капиллярной конвекции для двух сжимаемых жидкостей.
В третьей части исследуется задача о движении двух разнородных жидкостей в пространствах Соболева - Слободецкого. Основной результат — это локальная однозначная разрешимость этой задачи, причём сжимаемая жидкость может быть как внутри, так и снаружи несжимаемой. Как и в раньше, мы начинаем с анализа линейной модельной задачи с плоской границей раздела между жидкостями. В начале 15-ого параграфа мы получаем для неё явное решение в пространстве образов Фурье-Лапласа в случае однородных уравнений и выводим его оценки. Затем строим решение неоднородной задачи. В 16-ом параграфе мы схематично приводим доказательство разрешимости нелинейной задачи.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
Для двух несжимаемых жидкостей:
1) Существование глобального решения задачи в полной постановке при малых начальных данных как в случае отсутствия капиллярных сил, так и при их наличии.
2) Существование локального по времени единственного решения задачи
10
в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности, при этом интервал времени, на котором существует решение, зависит от данных задачи.
3) Однозначная разрешимость для линейной задачи с замкнутой границей раздела жидкостей на любом конечном интервале времени в обычных гёльдеровских классах функций.
4) Точные гёльдеровские оценки явного решения на бесконечном промежутке времени для линейной задачи с плоской границей раздела без учёта сил поверхностного натяжения.
5) Локальная однозначная разрешимость задачи термо-капилляриой конвекции для капли в жидкой среде.
6) Существование единственного решения двухфазной задачи в ограниченной области в приближении Обербека-Буссинеска на малом интервачПе времени.
Для одной сжимаемой жидкости:
7) Существование локального по времени единственного решения задачи об эволюции жидкости, ограниченной замкнутой свободной поверхностью, в гёльдеровских классах функций.
8) Существование единственного решения линеаризованной задачи на любом конечном промежутке времени.
Для двух сжимаемых жидкостей:
9) Локальная однозначная разрешимость задачи о движении пузырька в газообразной среде в пространствах Соболева - Слободецкого и в пространствах Гельдера со степенным весом на бесконечности.
10) Построение и оценка явного решения модельной задачи с плоской границей раздела в обоих пространствах функций на бесконечном промежутке времени.
11) Локальная однозначная разрешимость задачи, моделирующей термокапиллярную конвекцию для пузырька в сжимаемой среде.
Для двух равнородных жидкостей:
12) Однозначная разрешимость задачи об эволюции капли в газообразной среде, или пузырька в жидкости, на малом промежутке времени в пространствах Соболева - Слободецкого.
13) Существование решения для линеаризованной задачи на любом конечном промежутке времени.
14) Построение и оценка в соболевских пространствах явного решения модельной задачи с плоской границей раздела жидкости и газа на бесконечном промежутке времени.
Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту профессору В. А. Солонникову за плодотворные дискуссии и полезные советы.
11
Часть I
Движение двух несжимаемых жидкостей
1 Введение
В этой части мы будем изучать неустановившееся движение двух несжимаемых жидкостей разделенных замкнутой неизвестной поверхностью Г*. Жидкости занимают всё пространство Е3. На границе раздела Г* мы будем учитывать силу поверхностного натяжения.
Техника, разработанная в работах [17]—[20] для изучения движения капли в пустоте, оказывается применимой и для исследования движения капли в жидкой среде. Это исследование для пространств Соболева - Слободецкого было проведено в (22]—[26]. Там была установлена локальная однозначная разрешимость задачи о движении двух жидкостей, разделенных замкнутой неизвестной поверхностью, с учетом поверхностного натяжения (<т ^ 0). Ранее эта задача в упрощенных постановках рассматривалась в статье В. Я. Ривкин-да и Н. Б. Фридмана [21]. В частности, ими было доказано существование обобщенного решения нелинейной нестационарной задачи с заданной неподвижной границей раздела двух жидкостей.
В части I мы исследуем разрешимость различных задач, описывающих эволюцию двух несжимаемых жидкостей, в гёльдеровских классах функций.
1.1 Постановка задачи. Определение пространств
Дадим математическую формулировку задачи о движении двух жидкостей, схематично изображённом на рисунке.
12
R3
Пусть в начальный момент времени t = О жидкость с вязкостью i/+ > О и плотностью р+ > О занимает ограниченную область С R3, а жидкость с вязкостью и~ > 0 и плотностью р“ > 0 находится в области Hg > окружающей По • Обозначим дПд через Го.
При t > 0 необходимо найти границу раздела Pt между областями П+ и Qt“, а такжо поле скоростей v(x,t) = (^1,г>2,^з), функцию р, отклонение от гидростатического давления Р0> Для обеих жидкостей, которые удовлетворяют следующей начально-краевой задаче:
Vtv + (v • V)v - z/^V2^ 4- -rrVp = f, V-v=0, в ПГ U П?\ t > 0,
px
^|t=o = vQ, b Hq U Hq , V ►O, p >-0, (1.1.1)
|x|—>oo |x|—*oo
[v]\Tt = lim v(x) - lim u(z) = 0, [Tn]|pt = crHn.
x—*хо€Г|, x—»хоСГ«,
хеП+ x€at"
Здесь Vt = 3/dt, V = (310X1,813x2,313x3), v±,p± - ступенчатые функции вязкости и плотности, соответственно, f - заданное поле массовых сил, v0 -начальное распределение скоростей, Т - это тензор напряжений с элементами
Tik = S-р + ^(dvi/dxk Н- dvk/dxi), i,k = 1,2,3;
р* = v±p±, öf - символ Кроиекера, а > 0 - коэффициент поверхностного натяжения, п - внешняя нормаль к П+, Н(х, t) - удвоенная средняя кривизна Гг (Н < 0 в точках выпуклости Г* в сторону Пр). Мы предполагаем, что в R3 введена декартовая система координат {х}. Точка означает декартово скалярное произведение.
Будем подразумевать суммирование от 1 до 3 но повторяющимся индексам. Мы будем обозначать вектора и векторные пространства полужирным шрифтом.
13
Чтобы исключить перенос массы через поверхность Г£, мы считаем, что частицы жидкости не покидают Г£. Это означает, что Г£ состоит из таких точек х(£,£), радиус-вектор которых ж(£,£) является решением задачи Коши
(здесь ,и(£,£) - поле скоростей в лагранжевых координатах) и воспользуемся хорошо известным соотношением
где Д(£) обозначает оператор Бельтрами-Лапласа на Г£. В локальных координатах 5і,52, введённых на поверхности Го, он имеет вид:
В результате этих преобразований и проецирования последнего граничного условия в (1.1.1) на касательные плоскости сначала к Г£, а затем к Г = Г0 мы придём к задаче для п, д = р(Хп, £) с заданной поверхностью Г. Если угол между п и внешней нормалью по к Г острый, то полученная система эквивалентна следующей:
[«]!<*.= О, [/х±П0П8и(и)п]|ог = 0 (<3т = Г х (0,Т)),
[п0 • Ти(и, я)и]\Ст - ап0 • /\(Ь)Хи\Ст = 0.
Здесь мы использовали следующие обозначения: = АУ, А - матрица
алгебраических дополнений к элементам
(1.1.2)
Нп = А(і)х = Д(£)Х.и (£,£),
(1.1.3)
где {<?а/9}а/3=1 ~ матрица, обратная к матрице метрического тензора {(/а/з}* /3=1,
Ъги - и^Ч2ии + = /(Хи,£),
Р:
Уи • и = 0 в (2* = По х (0,Т),
(1.1.5)
14
якобиевой матрицы преобразования (1.1.2), вектор ть связан с п0 соотношением
п =
По; = а;-п(тг-а;), Що; = а;—п0(п0-а;) - проекции вектора а; на касательные плоскости к Ге и к Г, соответственно; - это тензор с элементами
(Ти(™, д))^ = -5‘д + (§и{ги))ч = А]кдиіі/д(к + Аікдші/д^к-,
#о(0 = п0 • Д(0)£ - удвоенная средняя кривизна Г; Л(£) - оператор, получающийся из оператора Бельтрами-Лапласа дифференцированием его коэффициентов по Ї.
Исследование задачи (1.1.5) основано на изучении её линеаризации. Поэтому сначала рассматривается следующая линейная задача:
Т>ьу - ^Ау + -4:Ур = /, V • V = г в П“иП+, Ь > О,
Р±
тф=о = Щ в П“ и П+, и ► О,
М—ОС
МІГ = о, [П0Тп]|г = 6, 6 • п = 0, (1.1.7)
[п • Тп]|г — ап • I Агу<М' = 6' + а ^ £<!£',
где f,r,b, Ь\ В, — заданные функции.
Специфика задачи (1.1.7) заключается в наличии интегрального члена ап • АрУ&'. При а > 0 эта задача некоэрцитивна, поскольку в последнем краевом условии присутствуют два члена разных порядков, ни один из которых не может быть рассмотрен как старший по отношению к другому. Доказательство разрешимости тем не менее проводится методом построения регуляризатора на основе априорных оценок и существования решения задачи с плоской границей, как и для линейных параболических уравнений [65]. Поэтому в параграфе 2 мы анализируем модельную задачу (1.1.7), где поверхностью раздела жидкостей является плоскость {яз = 0}. Знак коэффициента а при этом играет существенную роль: при а ^ 0 оценки, полученные в п.2.5, становятся невозможными. Основой доказательства служат теоремы о мультипликаторах Фурье в пространствах Гёльдера (§2.4, см. также [19], [44]). В §3 мы изучаем модельную задачу с плоской границей раздела при а = 0.
Задача (1.1.7) с замкнутой границей раздела рассматривается в §4. Там доказывается её разрешимость для любого конечного промежутка времени в гёльдеровских классах функций. Далее, в §5.2, 5.3, проводятся оценки для линейной и линеаризованной задач в весовых пространствах Гёльдера.
Ап0
|Ап0|
(1.1.6)
15
В §5.4 мы доказываем локальную по времени разрешимость нелинейной задачи (1.1.5). На этом основании мы получаем существование глобального решения при малых начальных данных сначала в отсутствии поверхностного натяжения (§6), а затем и при его наличии (§7).
В последних параграфах этой части мы рассмотрим движение двух жидкостей с учетом температурного фактора. Сначала мы допустим зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры, а потом учтём температурную зависимость массовых сил. Так задача термо-капиллярной конвекции изучается в §8, а движение двух несжимаемых жидкостей в приближении Обербека-Буссинеска - в §9.
Напомним определение функциональных пространств Гёльдера.
Пусть £2 - область в Еп, п Є М; для Т > 0 положим т = П х (0,Т); наконец, пусть а Є (0,1). Обозначим через Са,а/2(С?г) множество функций /, заданных в С}т, с нормой
1/1&“/2) = \f\Qr + </>сТ/2)
где
*Є(0,Т) хеп
Введём следующие обозначения:
функций / с конечной нормой
|г|+2л=А:
|г|-Ь2$=Л:-1
Символ Ск+а'к2а(С)т) обозначает подпространство Ск+а,~2° (С)т), элементы которого / обладают свойством: Т>\/14_0 = 0, г = 0,..., ♦
10
Определим С*+а(П), к Е Ми{0}, как пространство функций /(я), х Е П, с нормой
|/|Г*) = Е 1^x71«+</>Ги)-
|г|<*
Здесь
</>Га) = Е ^х/>п} = Е зир гсл*) - - уг-
|г|=л- |г|=Ь35,1/60
Нам понадобится следующая полунорма с а, 7 € (0,1):
т(7.1+а) __ / д(7.1+«) , / г\ (■1±-2_2) дт \JfQr +{1/1,От »
где
</>&|+в> = шах тах 1ЯЦ~ ~ ^+/1?’ГН.
е,г€(0,Т) *,у€П |я - у|7|£ - т|(1+а"^)/2
Известна оценка
</)&1+а) <
Будем считать, что / Е С^7,1+^(^т), если
|/|&1+а) < <*>•
Если / при этом равна нулю при £ = 0, то мы будем писать: / Е С^1,1+С^[(^т)-Наконец, если функция / имеет конечную норму
\П%? = <ЛЙ>Г + 1/1«г* У 6 (0,1), /X € [0,1),
где
і/ІІлр =
І/ІОт + Шїсгт- если/І > о,
|/|<3т-і если /х = О,
мы полагаем, что она принадлежит гёльдеровскому пространству С1}^(С}т)> Мы считаем, что векторнозначная функция является элементом гёль-деровского пространства, если все её компоненты принадлежат этому пространству, и её норма определяется как максимум норм её компонент. Это же касается и тензорных функций.
Если вектор Ь Е С1+а>к^ (Єт) и Ь п = 0, то будем писать: Ь Е (рт)-
Положим: Вт = 0,т и Я? и
. „(*+*,*$*) __ , л^+а,^) , *.{к+а,ф)
\J\Dt -\J\q- 4 •|Лд+
1/1иП±а> = 1/1^-+а) + 1/1^+0)-
17
2 Модельная задача с плоской границей раздела жидкостей с учётом сил поверхностного натяжения
В этом параграфе мы будем изучать задачу (1.1.7) для случая плоской границы раздела. Мы построим явное решение этой задачи с однородными уравнениями в пространстве Фурьс-образов и докажем его принадлежность соответствующим классам Гёльдера. Затем рассмотрим неоднородную задачу.
Эти исследования в гёльдеровских классах функций были проведены автором совместно с В. А. Солонниковым и опубликованы в [44].
2.1 Вспомогательные предложения
Введём обозначения: 7)^ = х (О, Г), И? = и= П&2х(О, Т), Т е (0, со].
Рассмотрим задачи Неймана и Дирихле:
считая, что ро, Рт достаточно хорошо убывают на бесконечности, а функция #о, по меньшей мере, ограничена. Тогда решения этих задач, как известно, выражаются в виде потенциалов простою и двойного слоёв. В работе [74] доказано следующее предложение (лемма 7.2):
Лемма 2.1.1. Для решения задачи (2.1.1) справедлива оценка
Следствие 2.1.1. Решение задачи (2.1.2) подчиняются неравенствам:
(2.1.2)
2
т=1
(2.1.4)
(2.1.5)
Здесь V' = (д/дх\,д/дх2).
18
Доказательство следствия. Действительно, где р - решение
задачи Неймана (2.1.1) с р0 = д0- Дифференцируя (2.1.1] по хТ, т = 1,2, и применяя оценку (2.1.3), получаем:
/_фт\ (*•!) _ / д2р ч (<*.§) < г / дд0 \ (°0 \ дяг / \ дхздхт / ^ і \ &ег / х,к2
и
<ИС < е ф 7< 4 § <йоі><~’}.
что доказывает (2.1.4).
Оценка (2.1.5) получается из представления з(:г, £) в виде потенциала двойного слоя. Неравенство
<*)2?<сЫЙ?. (2.1.6)
хорошо известно (см., например, [77|). Кроме того, из принципа максимума следует, что
Бир |д(я,*)-д(ж,т)| < эир \qoix\t) - д0(я\т)|, хен^. геК2
а значит, (д)^+ ^ с(4о)£^- Отсюда и из (2.1.6) следует (2.1.5).
2.2 Явное решение модельной однородной задачи и его оценка
Далее мы будем изучать модельную задачу с плоской границей раздела жидкостей. Сначала мы рассмотрим однородную задачу. Неизвестными являются вектор скорости V = (г>і, г>2, г;з) и функция давления р, удовлетворяющие задаче дифракции для однородной системы Стокса:
Т)ьу — і/+Л« + — О, V • V = 0 в х (0, оо),
Т>гу — + ~^Р — О, V • V = 0 в = МІ х (0,оо),
V , * = "По в ЕіиИ^, V ^0, (2.2.1)
|х|—*оо
N1^=0 = °.
±(&ур дщ4 Оха)
= Ь0(х’,і)) /9=1,2;
хз=0
19
-р + 2р:
ди%
дХ:
Ч-аА'
хз=0
хз=0
бт =
£
= 63 + сг ^ Б (1г = 63 на Е^,.
Здесь А = V-V - оператор Лапласа, Е± = {±23 >0}, Е^> = Е2 х (0, оо), х' = (жьх2), А' = д2/дх\ + д2/дх2, положительные константы */+,1/“,р+,р~ - это коэффициенты вязкости и плотности верхней и нижней жидкостей, соответственно, д± - это ступенчатая функция динамической вязкости, р* = г/+р+ в Е+, и д± = в Е1. Заданные функции &*, г = 1,2,3, В обращаются в 0 при £ = 0 и достаточно хорошо убывают при \х\ —*• оо.
Сделаем преобразование Фурье по касательным пространственным переменным (21,22) = х' и преобразование Лапласа по Ь согласно формуле
оо
№,Х3,3) = Iе-‘11Кх,г)е-™'Чх'<И, Кез> 0, £ = (&,&). (2.2.2)
0 1*2
Задача (2.2.1) перейдёт в систему обыкновенных дифференциальных уравнений
-(^ + О^-^хР = 0,
<14 , « , 1 <*Р
<1x1 и± 3 ^3
<Е/3 _ _
Ь 1£\У1 + 1?2^2 = 0)
ахз
= 0,
(2.2.3)
± х3 > 0,
с граничными условиями
V
|х3|-*эо ±
°’ йи-о.
^+2м±ё,
^ ом ^ — 1} 2,
хз=0
— сг£2у-з = зЬ3 + сгБ,
(2.2.4)
х3—0
где £2 = 1,± = Р4 — Р-
х3—*0± жз—*0±
20
Построим явное решение задачи (2.2.3), (2.2.4). Запишем общее решение системы (2.2.3) для двух полупространств:
V = С? ( 0 | е*г±Хз + С} ( ±г± ) етг±хз + ( 11 | е*№з,
V % / V А ) V ТК1 /
р = —С^/г^е^*3 при ± £3 > 0. (2.2.5)
Здесь С? свободные постоянные, г* = у/+ £2, |£| = у/$ + ^1, Г1РИ этом мы считаем, что | axg^/z\ < 7г/2 для Уг Е С.
Подставим решение (2.2.5) в граничные условия (2.2.4) и решим полученную систему. Решение системы (2.2.3), (2.2.4) запишем в виде, удобном для оценок:
V = ыер*13 + У±е^> ±хз > 0, р = Ч- |е|)Ф±ет|€|хз, ±13 > о, (2.2.С)
где
ш = ф± =
С^т =
Ы3 =
В формулах (2.2.7) мы использовали обозначения: с1 = ^161 + ^2^2» = 63 Н—В,
Р = (^ + р-)^+1!|£{^|(^г+ + ^г-)+^-(г+г-- + |?|2)}
+^|3. (2.2.8) д = ^+(г++|4|)+^-(г- + |^()) </ = /Х+(г+- |£|)-^_(г_ - |£|).
Лемма 2.2.1. Если Яез = а ^ ао > 0, £ Е К2, то для функции -Р(£,£) (ель
V* =1 *2 I **, е? =
V =РК1
/
± _
*± ______
1£1
+ Ш) - ^[(/>+ + р-)» + Шя т Иу + ^К13]},
г =1,2, (2.2.7)
№
- ^т{д+ф+ + ДГФ- - (д+ - М_)о’з}
/Х+Г+ + ц~гт
Л*д' _ 1#35 Рд Р
21
(2.2.8)) справедливы оценки
ір(€,*)і ^ с(м2+а*1+<^|з),
ЯР
< с(и3/2 + И|4| + ^2),
0€ г
эр
дв
Кроме того,
< с(|5|+?2),
д2Р
двд^г
< с(|в| +С2)1/2, Г =1,2.
2^ = Р 4-ІІР
36 16 2’
причём функции
^і(6«) = ^•{“{І?І(/і+2г+ + ^_гг_) + Р+/И62}} + 4/Р>~16«; +3*166,
Рг(6в) = 4р+р з
г+г~
удовлетворяют, неравенствам:
\Рі\ < ФіІ6 + <^2), |Р2КФІ(И + е2)1/2.
ЗР„
36
ЗР/з
^ С(И + *І6)>
< с(|з| + ?2)1/2,
32РХІ
ЗзЗб
<с, 3 = 1,2.
Следствие 2.2.1. Имеют место оценки
д2Р
36 <96
33Р
0*і Iі
^ СІІІ1+
16
< ф+^).
+ <7
1б),
Лізр . ,1/2 зр . . Лі з2р і, |3/2
+ & м+§1эз6н +
3636
&р
|5|1/2г)
ЭР
£1£м+
д2р
3636
ЗзЭбЗб к12 < с|Р|.
16
22
(2.2.9)
(2.2.10)
(2.2.11)
3 г+г_ >6 Я
(2.2.12)
(2.2.13)
(2.2.14)
Доказательство леммы 2.1.1. Так как при £ Е М2, Res = а > О,
д.к’У+.-У ааМ> н«г!с±£>01
9 <7
причём со от £ и s не зависит, то
|Р| > |.|Re{(p+ + „> + 4f ^ + >‘~V +«.VKI^±f +
I. Q Q |S| )
> 4c0£2|s|.
Далее, при |s| ^ £2 имеем: ст|£|3 < сг£2^ ^ 4^7з1Р1>
(„-+Р-Ц.Р < ,р| + ^I.||^t1+<К||.|^-|^- + .и»
< \Р\ + с(И£2 + И3/2К|) + а|£|3 ^ с(|Р| + \»\\Р\^),
откуда |s|2 с|Р|.
Если же |s| < £2, то
И2 ^ 1*1€а<^;1П
<4£13 ^ (p+ + p-)N2 + |P|+cl(N42 + N3/2l«l)<|P|(^i^: + i + ^),
и неравенство (2.2.9) доказано. Неравенства (2.2.10) - (2.2.12) устанавливаются с помощью элементарных оценок Р, Рь Р2 и их производных. Лемма доказана.
2.3 Теоремы о мультипликаторах Фурье в пространствах Гёльдера
Мы оценим решение задачи (2.2.1) с помощью метода, применённого в работе В. А. Солонникова и И. Ш. Могилевского [19] к модельной задаче, возникающей при изучении движения изолированной жидкой массы. Он предполагает применение теоремы о мультипликаторах Фурье в пространствах Гёльдера [79]. Приведём некоторые результаты из [19] и [79].
Будем рассматривать функции f(x\t) переменных х' = (ац,^) и t, заданные в Ж.3 и обращающиеся в ноль при t ^ 0.
Пусть со Е Со°(Е), suppcj С [0,1], /0* to(z) dz = 1, и пусть
( Л (—1 )A l~1n! .z.
~~ ^ ^!(n “ &)& fc
23
с некоторым натуральным п. Обозначим через Уг(/г) (К > 0) оператор усреднения но переменной ут (т = 1, 2) с ядром
оо
Х-(Л)/(їЛ*) = I / 1Ы ~ гет,Ь)ффАг,
—со
(здесь Є[ = (1,0), е2 = (0,1) ), а через Уо(к) - оператор усреднения по переменной і:
-С»
СЮ
Положим У (к) = У1(к)У2(Н)Уо(Н2) и У*(Л) = ][^У(/12-*). Как показано в
*=о
[79| (см. также работу К. К. Головкина [64)) в пространстве С,,^2(К2)) норме
Ш 1,1/2
^2 эквивалентны нормы
Г - Ё»5{‘^1^(1~(ади} +
+а{*'и*'11=1у,(вди
при различных тт , удовлетворяющих неравенствам тп^Шг > I, тпо> 1/2.
Обозначим через Р/ преобразование Фурье функции }{х'^) по всем переменным, так что /(£,$) = Р/а, где
/а = е-“/, а — Н.е 5 ^ 0 И /д = ^_1/(£, 5).
Рассмотрим образ оператора свертки при преобразовании Фурье-Л ап ласа
5«, в) = в) (2.3.1)
Как установлено в [19], из результатов работы [79] (в частности, из эквивалентности норм (/)к2^ и 11/11^2^) вытекает следующая теорема.
Теорема 2.3.1. Пусть / 6 С,,,^2(]И^0) и пусть функции и и / связаны соотношением (2.3.1). Если существуют неотрицательные целые числа ^0,^1,^2 и положительная постоянная Со, не зависящая от к, такие, что
оо оо оо
г№) = /%/% /||До(«,)Д,(у1)А2(»){(Ч-)Ы X
о Уо 0 У1 О
хК(^,5н)^(77,г7о)}||ь2(Кз)4^ ^ с0/г5, (2.3.2)
п У2
24
/N
где /3 > -I, sh = a + ф = Fi/j - преобразование Фурье функции я^(а/, t) = ^(£i)^(a?2)^(t), АДУ;)# “ конечная разность функции g(x\t) по переменной Xj с шагом yj, j = 0,1,2 (хо = £), то
к>£Г < “M'it-
В следующей теореме, которая является обобщением теоремы 2.2 из [19], приводятся ограничения на функцию К, гарантирующие выполнение неравенств (2.3.2).
Теорема 2.3.2. Предполооюим, что при Res ^ 0 функция K(^,s) удовлетворяет неравенствам
\K{a)S)\^cR-™> дК
ЭК
%
—т—1
<9£о
-т-2
дм
>
—771—3
(2.3.3)
в которых т = 1,2, Я = >/|s| 4- £2, т ^ 0, ^ пусть, кроме того,
дК
^=m,a)+V№&,8),
(2.3.4)
г<?е <^(£) - однородная порядка 0 функция от и гладкая па единич'пой
окружности £? + = а и Къ тпаковы, что
\Kq\ ^ сЯ
-771-1
дК,
9Kq < cR~m~3, а2яг, I
^0 д£од£,21
=£ cR-m-2,
< cR-m~\
9 = 1,2.
(2.3.5)
Тогда, если V, > т 4- 2 = 1,2) и > | + то
г№)^сЛт а = 0,1,2).
Доказательство. Из условий теоремы следует , что д2К
(2.3.6)
<9£i<9?2
&К
dSodtidt2
< c2{R-m~2 + |£Г1Д-т-1) < гсг^Г^-™"1,
< с3(д~т“4 + |€Г1д-т-3) < гез^г1^-”1-3.
25
(2.3.7)
Оценок (2.3.3) и (2.3.7) достаточно, чтобы вывести (2.3.6) при ^ = 1,2, повторив дословно доказательство теоремы 2.2 из [19]. Поэтому мы рассмотрим лишь случай j = 0. Следуя доказательству упомянутой теоремы, представим Г^°)(7С) в виде:
2 <*г0+1 <*»1+1 <*»2+1
ІІ0)№ = Е /•%/%/ \Ыуо)Му^2Ы{^оГ х уо І у і I
^ 7? л ч |. (Іуо ^г—^
2-й -^10*1*2 >
У2 *0>*1.*2 = 1
где = а + ^г, = 0, (12 — 1, <і3 = оо. Предположим, что хотя бы один
из индексов іі + 1 или І2 + 1 равен трём. Тогда, как и в теореме 2.2 из [19], можно воспользоваться неравенствами \\Ак(ук)/\\і.2 ^ Ук\\§^\\ь2 или же || Д*(ід)/Иі,2 ^ 2||/||і,2 (в зависимости от того, принадлежит ук промежутку (0,1) или (1,оо)) и с помощью оценок (2.3.3) (не прибегая к оценкам ^|~|^) показать, что
|Ло*і*2І ^ скт.
В случае <£1+1 = ^2+1 = 1 этого рассуждения оказывается не достаточно, поскольку оценки (2.3.7) не гарантируют сходимости возникающих интегралов. Рассмотрим отдельно члены с с^1+1 = (1І2+\ = 1. Имеем:
00 і і
[%[%1 ||А0(2/о)А1(г/1)Л2(2/2){Ы")^(^лЖгг,Ы}||^з)%
1 Уо 0 У\ 0 У 2
1 1
^4/4|/\\ЫУ1)ЫУ2){ЫиоК(1,знЖч,т,0)}\\^КЗ)^, (2.3.8) 0 Уі о 1 1 1
/-%/-%/ ||А0(2/о)Аі(у,)А2(ї/2){(і%Г^(|,з^1%)}||І2(ЕЗ)-%
о о ^ о
1 1
21%[ 11Л1^)А2(ы|-{КГ^(|,^Жг;,%)}||,2%. (2.3.9) о Уі о
Оценим правую часть (2.3.8). Выразив конечную разность по гц через произ-
26
водную, получим:
і і
4 /4| /і|Ді(з/і)А2М{(і%Г^(^^,%)}||і2(й3)-%
О 2/1 0 2/2
і
О 1 2/2
1 Л
81 ||а2ы{(чоГ^^(^л)}||
<^2 1,2 (КЗ) 3/2
У 2
В первом члене правой части мы можем снова выразить конечную разность через производную и с помощью (2.3.3) оценить её норму через
16
МК3)
оо
< 16С4
(//ы
2і^о
д2ф 2 <І77о <іГ] \!/2
И2 -оо
дтдъ (\т]о\ + т?2)т
) кт
+
оо
+ 16сг
(//м-
дір
сіт)о б!} \1/2
К2 -оо
&)! (М + т?2)т+1
\ ч*
-) ЬГ ^ С*}1т-
Точно так же с помощью (2.3.5) доказывается оценка:
<іу2
< с/іт.
Наконец, из формулы
&2{У2)д&Мл) = 9{у)&2{У2Ыг]) + 1/5(77 + е2у2)Д2 (2/2)5(77), где е2 = (0,1), следует, что
|| Дг (52) {(І77о) "‘Фф (т?)1<2 (^, «л)} II и <
/-2
^ ||(1%)'/0^2(^,«й)Д2Ы<5(7?)||
+ зир Іу7(77)І||Д2(г/2){(І77оГ2/'А'2(|, «л)}|Е,-
27
Функция у{г}) ограничена; кроме того, из формулы
Аг{у2)ч>{п) = <р(т1 + е2у2) - ¥>(»?) = J ■ <1/,
I
где / - контур, соединяющий ТОЧКИ Г) И 77 + е2У2> имеющий длину |/[ ^ ТГг/2 и отстоящий от начала координат на расстояние, равное тт(|т}|, |?7 + е2у2\), следует неравенство
|Л2Ы^)1 < 1Лтах|У^)| ^
Таким образом, при любом а € (1/2,1)
|А2(у2)<р(т?)| (2тах|у(г))|)1~“(|г|шах|У^(77)|)а
СУ2 (ГГ- + 1 —г) (2.3.10)
МГ)а Ь7 + е21/20’/
и
Ма |у + е2у2|'
<1у2
8/1 ‘У || Д2 (у2) {(1т7о) и'>‘ф1рК-1 (^, } ||
о
1 оо
^ . _ С <!?/•> / /*
^3/2
У2
сЛ-+Л-/||(//ы-*
0 У2 1X2 -оо
с1т7о <177 \V2
X •' • • Л‘'т
(М + у2)т+1
поскольку
) ^ с/1т,
оо
с1г/о <1Т7 <
11 ЫгщШг)о)\
|у+ е2у2|2“(|у0| + у2)т+1
К2 -оо
7 / Г Ы21/°М2<1у Г Ы2|/°М2с*у \ ,
7 V 7 м2а(Ы + »/2)т+1 7 |у+е2у2|2“(ы + |у+е2у2|2)"‘+1; 0
-оо |т?|^|7/+е2У2| М>И+е22/г|
оо
£ / /1ПлГ^№Гп,77п)Г+8ир№Г77 + г,Пп)1М^-^^—V <С.
[ [ы2и°(\Ф(г),г)о)\2 + + г,у0)|2)
%/ к/ |2 ^1
’ 'иЛ ' М2“(Ы + г/2)т+1
1*2 -оо
Точно так же оценивается и правая часть (2.3.9), если только щ удовлетворяет условию теоремы (наличие лишней производной ПО 77о приводит в худшем случае лишь к увеличению показателя степени |т70| + 7?2 в знаменателе). Доказательство неравенства (2.3.6) закончено. □
28
Докажем теперь утверждение, аналогичное теореме 2.3 из [19].
Теорема 2.3.3. Если удовлетворяет условиями теоремы 2.3.2 с га ^
—3, то при Ие з ^ ао > 0 для достаточно больших
г^($)|<^т+3. 1 =0,1,2, где выражение Р задаётся формулой (2.2.8).
(2.3.11)
Доказательство. Если у = 1,2, то (2.3.11) устанавливается с помощью оценок (2.3.3), (2.3.7), (2.2.13), (2.2.14) так же, как в теореме 2.3 из [19]. При 3 — 0, как мы видели в предыдущей теореме, достаточно оценить сумму
А 2Ы Л, { Чо) ^ ^1" йУ2
дт)\дщ
РЦъ)
1 ~
+4 у||Д2(2/2)^-{( і%Г^}||
&У2
Ьа(К*) 3/2 • 2/2
(2.3.12)
Рассмотрим второй член. Воспользуемся неравенством
^М|.>|3/2 + ы¥+<^^ .
С : ~ ~-------
где II = 0,1,2, а также
№01
М>/2’
№*)| а /г
< слы±1С1,с(ы+г,—
дПи Р
'|5Лр/^2+<7^? (!
с/гто+3
(Ы + ??2)
т+3 ) 2
ё 'г 1 и + ірі \р\)
< с(а0)/іт+3( 1
+
(Ы + т?2)^ ' (Ы + ^Ы
2с(а0)Лт+3
)
Ох = 1,2),
' ЫЩЫ+тП“**
вытекающими из (2.3.3), (2.2.10). Они влекут за собой оценку:
.» » г.г. *(!•»»>
-й.4
<І2/2
т р\\1*ф) 3/2 У2
^ сЛт+3.
29
Далее представим в виде:
д Щ,вн) = ^(КгЦвн) ЫЪзкЖ
дт П1^)
\ Р(2,8а) Р(1з,)Р +
+1р^)К2(л>^л) VI р2(%,3/1)К
}
Р(1*н) М Р&зн) Р
= к-1{м^,зн) + <р(т?)М2(^, аЛ) + ^м3( в*)},
и отметим, что функции М» удовлетворяют неравенствам:
<9М(2,в,;)
йт]2
М1/2(Ы + >?2)
скп+4
т+3
Ы(Ы +»?2)
т-4-3 >
I — 1,2,3,
(2.3.13)
вытекающим из (2.3.5), (2.2.9) и (2.2.12). Оценивая и А2(у2)^[ с по-
мощью (2.3.10) при а Е (1/2,1), получим вследствие (2.3.13):
I
/
о
ЛзЫ^о)1^
д К
дщР
<1У2
2Й_11И^$М45л))
ЫЩу1/2
|ь + ши|и|Ы">^№м.)|
Ф^<«<Ь»1и+
Ь2
+
К2 -оо
х(|Л^2(|,«л)|2 + |М3(^,вЛ)|2) с^ос!^} ' ^ с(а0)й’ Первый член правой части (2.3.12) можно оценить аналогично, если учесть,
.го+З
что
д КЦзь)
дг]0 Р(%, эн) дМ,(%,8к)
< ,-2,^11 , 1^1 1РИ^ <*">+»
" 1|Р| +|Р| |Р|^Ы(Ы + ^’
дг)2
дчщ^и)
дг)2дт]0
+ С/1Ш+4
М3/2(Ы + *}2)
с/гт+4
т-гЗ 5 2
М2(Ы + ^2)
т+З ’ 2
□
30
2.4 Оценка решения задачи (2.2.1)
Докажем следующее предложение.
Теорема 2.4.1. Пусть в (2.2.1) функции 61,62, 63, В достаточно хорошо урывают при |х| —\оо, причём bTa = bre~at Є С'1+а,і^£ї(Е^0), т = 1,2, 6з0 Є C(7,1+0t)(R2o), Ва Є CQ'^(E^) с a,7 Є (0,1), a > 0. Тогда для функций ра = F~lp из (2.2.6) и и>а = F~1oj из (2.2.7) справедлива оценка
/ , ч(2+л,1 + §) Лл,§) Г Y-к. (1+а,!±а) х(а)
( oJrIo + \Vp<i)£)3> ^ С\ / ,\^a)R2, + (V Оза)^^
г—1
+ (6за>Й!+“) + {^1§)}. (2'4Л)
Здесь я' = (3i,x2), ^ = (9/da?i,d/&r2)» w = (wi,W2,w3).
Доказательство. Предположим, что В = 0, и запишем функции |^- (т = 1,2) при £3 > 0 в виде:
= F-V(r+ + кі)*г*+е-ю*»] = иТ +
где
Ur = F-1 [rfr^L+e-l«l13],
u = (2.4.2)
/-w* /-w
dr = І?гЬз, T =1,2, d = І£і&1 + І&&2,
L+ = ^ V + Ш-г++ ISI^),
M+ = ^+(r+ + ^ {(p+ + р-)й + |g|g - rV + £|fl»}.
(7 S
Кроме того,
|g = ^-1[-М+(г+ + |?|)|Є|Ф+е-'«'«]
= -F'^ds^L+e-M13 -djM+e~MX3}
где <23 = |£|b3.
31