Квантовые аффинные алгебры и янгианы

Оглавление
Введение 4
Глава 1. Квантовые аффинные алгебры 11
1. Реализации алгебры ) 11
1.1. Реализация Дринфельда................................... 11
1.2. Стандартная реализация.................................. 13
1.3. ЯЬЬ-реализация.......................................... 15
2. Связи между реализациями 17
2.1. Универсальная 7^-матрица................................ 17
2.2. Стандартная реализация и реализация Дринфельда .... 18
2.3. От стандартной к ЯЬ/^-реализации........................ 21
2.4. От ЯХ/£-реализации к реализации Дринфельда.............. 22
3. Универсальная 7^-матрица и весовая функция 24
3.1. Борелевские подалгебры в ия(Л^)......................... 25
3.2. Проекции................................................ 27
3.3. Пополнения ............................................. 28
3.4. Соотношения между коумиожениями и универсальной 77-матрицей .................................................... 29
3.5. Универсальная весовая функция .......................... 31
4. Сложные токи 32
4.1. Определения............................................. 32
4.2. Аналитические свойства.................................. 33
5. Вычисление весовой функции 35
5.1. Обозначения............................................ 35
5.2. Основные результаты.................................... 37
5.3. Вычисление остальных проекций.......................... 38
5.4. Связь ЯЬЬ-реализации со сложными токами ................ 41
6. Примеры 44
2
7. Приложение 1 47
7.1. Доказательство теоремы 5.1............................ 47
7.2. Вспомогательные утверждения .......................... 49
7.3. Доказательство теоремы 5.2............................ 57
Глава 2. Янгианы 59
8. Начальные сведения 59
8.1. Янгиан У(д1п)......................................... 59
8.2. Представления янгиана У(д1п).......................... 61
8.3. Функтор............................................... 64
9. Редукция к элементарным модулям 67
9.1. Параболическая индукция............................... 67
9.2. Стандартные модули.................................... 70
10. Операторы Желобенко 72
10.1. Определение.......................................... 72
10.2. Сплетающие операторы................................. 76
11. Вектора старшего веса 84
11.1. Коммутативный случай................................. 84
11.2. Антикоммутативный случай ............................ 89
12. Гипотеза 94
13. Приложение 2 94
3
Введение
Диссертация посвящена изучению квантовых аффинных алгебр и янги-анов. С одной стороны, оба типа исследуемых объектов являются квази-треугольными алгебрами Хопфа, что позволяет использовать их теорию представлений при решении различных задач квантовой и статистической физики. С другой, как квантовые аффинные алгебры так и янгиа-пы являются деформациями алгебр токов над универсальными обертывающими алгебрами классических алгебр Ли. Это замечание позволяет применить для их изучения многочисленные техники разработанные для классических алгебр Ли.
Квантовые аффинные алгебры допускают три различные реализации с разными структурами алгебр Хопфа. Первая из них — “стандартная” реализация — задается при помощи образующих ГПевалле и соотношений, определяемых соответствующей матрицей Картана. Стандартная реализация содержит малое число образующих, но, к сожалению, крайне неудобна для использования в приложениях. Вторая реализация — это “новая реализация” Дринфельда, впервые описанная в (13] при помощи производящих функций (токов Дринфельда) и соотношений на них. Реализация Дринфельда позволяет использовать методы комплексного анализа при изучении алгебры. Более того, именно в ней описываются все конечно-мерные представления квантовой аффинной алгебры. Наконец, третья — это реализация в терминах /-операторов, основанная на подходе, развитом в школе Л. Д. Фаддеева. В тексте мы для краткости будем использовать ее жаргонное название — і?//-реализация. При этом подходе образующие собраны в матричнозначные производящие функции, удовлетворяющие уравнению Янга-Бакстера (см. [18], [41]). Простота ко-умиожения в # Л/./-реализации позволяет строить новые представления, как тензорные произведения уже известных. По этой причине именно Я//-реализация широко используется в физических моделях.
Считается общеизвестным, что описанные реализации квантовых аффинных ачгебр изоморфны, несмотря на то, что точные доказательства существуют лишь для алгебр д1п-серии. Для алгебры Сд(з1п) изоморфизм
между стандартной реализацией и реализацией Дринфельда был описан в работе [6], связь между реализацией Дринфельда и Я££-реализацией была установлена в [7). Изоморфизмы всех трех реализаций для алгебр ид($ 1„) позднее появились в работе [19].
В случае квантовых скрученных аффинных алгебр &££-реализация требует дополнительных соотношений. Хотя считается, что три реализации остаются изоморфными и в случае скрученных алгебр, пока что нет полного понимания, как в точности должны выглядеть изоморфизмы. Изоморфизм между стандартной реализацией и реализацией Дринфельда алгебры /Уд(Л2^) был установлен в [33], кроме того, в работе [44] был частично установлен изоморфизм между ЯЬЬ-реализацией и реализацией Дринфельда.
В первой главе настоящей диссертации дается полное описание трех реализаций алгебры ия(А^')1} описываются изоморфизмы между всеми реализациями и связи между тремя структурами алгебр Хопфа. Особое внимание уделено следующему факту: каждая реализация обладает “минимальным” (или почти минимальным в случае скрученных алгебр) набором образующих, и расширенным набором образующих. Для этих наборов, по всей видимости, должен существовать аналог теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта. В стандартной реализации такими наборами являются соответственно образующие Шевалле и базис Картана-Вейля (см. [34]). В реализации Дринфельда эти функции выполняют токи Дринфельда и так называемые “сложные токи” (см. [8]). Наконец, в ЯЬЬ-реализации гауссовы координаты, находящиеся непосредственно над или под диагональю, образуют минимальный набор, а вес гауссовы координаты дают уже расширенный набор. Заметим, что эти расширенные наборы играют ключевую роль при вычислении универсальной весовой функции. В данной работе устанавливается связь между проекциями сложных токов и гауссовыми координатами для алгебры ич{А^) в духе того, как это было проделано для ич($[п) в работе [32].
Кроме того, в первой главе диссертации вычислена универсальная весовая функция для алгебры /УДА^). Универсальной весовой функцией квантовой аффинной алгебры называют семейство функций со значени-
1бсз градуирующею элемента и с нулевым центральным зарядом.
5
ими в борелевской подалгебре, удовлетворяющее определенным коалгеб-раическим соотношениям. Это семейство используется как для построения решений ^-разностных уравнений Книжника-Замолодчикова [43] так и для построения собственных векторов Бете в процедуре Бете-анзатца [35, 42]. Общая конструкция весовых функций для квантовых аффинных алгебр была предложена в работе [15]. Эта конструкция использует существование двух различных типов борелевских подалгебр в квантовых аффинных алгебрах. Первый тип связан со стандартной реализацией Шевалле, тогда как второй происходит из реализации Дринфельда. Как было показано в [15], универсальную весовую функцию квантовой аффинной алгебры можно представить как проекцию произведения токов Дринфельда на пересечение Борелевских подалгебр обоих типов.
В настоящей диссертации мы применяем подход, предложенный в статье [15], и в результате получаем явную формулу для универсальной весовой функции квантовой аффинной алгебры в терминах об-
разующих Дринфельда. Наряду с вычислением проекции произведений токов Дринфельда, представляющей весовую функцию, мы также вычисляем проекции на остальные пересечения борелевских подалгебр, что позволяет нам получить интегральное представление для сомножителей универсальной Я-матрицы алгебры ия(А^) — элемента тензорного квадрата алгебры, играющего ключевую роль в описании ее /?££-реализации и связывающего различные структуры алгебр Хонфа.
Вторая глава диссертации посвящена теории представлений янгианов. Здесь мы развиваем идеи, предложенные Хорошкиным и Назаровым в работах [25] — [28]. Янгиан У(д1п) является деформацией в классе алгебр Хопфа (см. [13]) универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли полиномиальных токов д(п[д]. Будем называть два конечно-мерных представления алгебры У(д(п) эквивалентными, если одно получается из другого подкруткой на автоморфизм вида (8.10). С точностью до эквивалентности все неприводимые конечно-мерные представления ян-гиана У(д1п) были описаны в [13]. Согласно этой классификации каждый неприводимый конечно-мерный У (дС)-модуль с точностью до эквивалентности определяется набором многочленов Дринфельда. Позднее аналогичные результаты, относящиеся к теории представлений сдвину-
тых янгианов и Ж-алгебр были получены в [3].
Рассмотрим подалгебру янгиана У(д1п), состоящую из элементов, инвариантных относительно всех автоморфизмов вида (8.10). Эта подалгебра называется специальным янгианом алгебры д(ш и изоморфна ян-гиану У($1Г1) специальной линейной алгебры Ли 51„ С д1п, введенному в [12. 13]. Таким образом, два У(д!п)-модуля эквивалентны, если и только если изоморфны их ограничения на специальный янгиан. Значит, наборы многочленов Дринфельда соответствукуг неприводимым конечномерным представлениям янгиана У (5^).
В работах [25, 26] был построен функтор £т из категории дГт-модулей в категорию У (д1п)-модул ей. Этот функтор возник как композиция ранее известных функторов Дринфельда (см. [12)) и Чередника (см. [4, 2]). Эту конструкцию можно понимать, как “поднятие” (вЬт, д1п) двойственности Хау (см. [20, 21]) на уровень янгианов, либо как переформулировку централизаторной конструкции Ольшанского (см. [39, 40)). Применение функтора £1П к модулем Верма алгебры д!гл дает серию стандартных представлений янгиана У(дГп). Затем, опираясь на теорию операторов Желобенко в алгебрах Микельссона (см. [45, 40, 24, 31]), были построены сплетающие операторы между стандартными У(д1л)-модулями. В итоге, в статьях [29, 30] было показано, что все с точностью до эквивалентности неприводимые конечно-мерные У (д ^-модули могут быть получены, как образы сплетающих операторов, построенных в (25, 20]. Подход, предложенный в [25, 20), приводит к более явному, чем в [13], описанию У(д(п)-модул ей. Аналогичный результат для представлений квантовых аффинных алгебр был получен ранее в работе [1].
Назовем представление янгиана У (д1п) полиномиальным, если оно изоморфно подфактору тензорного произведения векторных представлений янгиана У(д1„). Все У(д17,)-модули, построенные в [25, 26] полиномиальны. Более того, любой полиномиальный У(д1л)-модуль можно получить при помощи конструкции, описанной в [25, 26]. В данной диссертации мы рассматриваем модификацию £р>д функтора £ш, основанную на (ир?7, д(п) двойственности Хау (см. [14], [16], [23]). Эта модификация приводит к более широкому классу рациональных У(д(п)-модулей. Мы называем представление янгиана У(д(п) рациональным, если оно изо-
7
морфно подфактору тензорного произведения векторных и ковекторных представлений У($(п). Неприводимые рациональные представления алгебры У($0, ассоциированные с косыми диаграммами Юнга изучались в работе [38]. Используя параболическую индукцию, мы раскладываем образы модулей Верма алгебры дГт относительно функтора £р>я в тензорное произведение векторных представлений яигиана. Затем, используя технику разработанную для скрученных янгианов У(зо2П), У(2Р2?г) в работах [27, 28], мы строим сплетающие операторы между построенными тензорными произведениями и вычисляем образы старших векторов под действием сплетающих операторов. Далее, опираясь на результаты, полученные в [29], мы замечаем, что при определенных условиях на параметры построенных модулей, образ некоторого сплетающего оператора является неприводимым рациональным У(д1п)-модулем. В конце мы формулируем гипотезу, состоящую в том, что все неприводимые рациональные У(д1п)-модули могут быть получены таким образом.
Опишем более подробно структуру диссертации. В первой главе диссертации изучается квантовая скрученная аффинная алгебра 1/я(А^). В первом параграфе дается полное описание трех реализаций алгебры ия(Л^). Во втором — описываются изоморфизмы между всеми реализациями и связи между тремя структурами алгебр Хопфа. В начале третьего параграфа описываются борелсвскис подалгебры различных типов, затем определяются операторы проекции на пересечения борелевских подалгебр, далее обсуждаются некие естественные пополнения алгебры имЧ\ и наконец, дается определение универсальной весовой функции. Четвертый параграф посвящен сложным токам. Сложные токами называются некоторые производящие функции элементов естественного пополнения квантовой аффинной алгебры, соответствующие составному корню алгебры Ли 5(3. Сложные токи играют ключевую роль в вычислении универсальной весовой функции алгебры ия{А^). Также в четвертом параграфе обсуждаются аналитические свойства различных произведений токов Дринфельда. Здесь речь идет о наличии нулей и полюсов матричных элементов алгебры, соответствующих этим произведениям, что позволяет рассматривать произведения токов Дринфельда и сложные токи, как мероморфные операторнозначные функции на левых
8