Оглавление
Список методов суммировании 3
Введение 8
Глава 1. Абелевы взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и методов Чезаро разных порядков 26
1.1 Методы суммирования дискретными средними Рисса (Яс/,2) . . 26
1.2 Методы суммирования дискретными средними Рисса (Яг/,а) порядка а при о > 2............................................42
Глава 2. Абелевы взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и других классических методов суммирования (кроме методов Чезаро) 47
2.1 Взаимосвязь с методами Абеля, Эйлера и Бореля.............47
2.2 Взаимосвязь со специальными методами Вороного..............53
Глава 3. Тауберовы взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса и методов суммирования Чезаро 71
3.1 Тауберовы условия для методов одного порядка...............71
3.2 Тауберовы условия для меюдов суммирования дискретными с]>едними Рисса четного порядка...............................8*1
Список литературы 95
2
Список методов суммирования
В приводимом списке содержатся определения всех рассматриваемых в работе методов суммировании и некоторые их свойства, выраженные в типичных для теории рядов терминах (эти термины также определяются в списке).
Везде далее, если не оговорено противное, а — фиксированное неотрицательное действительное число; п — неотрицательное целое число; {ап}£5) последовательность действительных чисел; 5^ а„ — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится
fi
от 0 до +оо). Пусть $п = ai ~~ частичные суммы ряда £ап.
?=о
Пусть Г2 — метод суммирования числовых рядов, то есть правило, но которому ряду Ylan мы сопоставляем (или нет) некоторое число. Суммируемость ряда 5üftr> к числу S методом Ü обозначается кратко: 51 а„ = S(Ü). Запись = S означает, что ряд сходится в обычном смысле к числу S (то есть lim $„ = S).
fl—»DC
1. [36. стр. 125-127] Ряд называется суммируемым методом Чезаро порядка q к числу S (запись 53ач = 5(С, о)), если
lim с;; = 5,
/1-*0с
іде
Здесь и в дальнейшем
2. (36, стр. Мб] Ряд 53 ап называется суммируемым методом суммирования дискретными средними Рнсса порядка а к числу 5 (запись Y(l» = S(Rd. а)), если
lim я;; = 5,
/»-юс
где
//=0
Иногда будем писать кратко — метод дискретных средних Рисса. Заметим, что
lim К = $*=> Ит Кп = S.
п-*оо /»->оо
Тогда в силу того, что
в дальнейшем будем использовать именно эту последнюю форму определения. То есть
Ц «7, = а) ■» Ит * ]Г (п - I/ + 1)“ аи = 5.
' ' 1/=0
3. [36, стр. 20] Ряд 53 а» называется суммируемым методом Абеля к числу 5 (запись 53 ап = 5(А)), если степенной ряд
f(x) = 53о"х"
сходится для 0 < X < 1 и
НтД*) = 5.
аг->1-0
4. [36, стр. 224] Пусть <у > 0 — фиксированное действительное число. Ряд 53 ап называется суммируемым методом Эйлера порядка </ к сумме
5 (запись 53 °п = .$(£,<?)), если
4
ОС
т=0
где
(М) - _________
(<7+1)т+1
5. |3б, стр. 229] Ряд 52 а„ называется суммируемым экспоненциальным методом Бореля к числу 5 (запись ^аГ1 = 5(В)), если ряд
/1=0
6. [36, стр. 229] Ряд 52 и»! называется суммируемым интегральным методом Бореля к числу 6’ (запись 52 ап = •Ь’(В')), если ряд
Отметим, что определения методов (0,0), (ШЛ)) и (Е, 0) совпадают с обычным определением сходимости ряда.
7. [25, 36, с. 88] Пусть р„ > 0, рц > О, Р„ = ро + рт + Ь рп.
Ряд 52 ап называется суммируемым методом Вороного (И7, рп) (на Западе более известных, как методы Нерлунда) к числу 5 (запись 52 ап — 5(И2рп)), если
сходится для всех положительных X и
сходится для всех положительных X и
где
Рп8О Н- Рд-1^1 + - • • + Ро$„
Ро + Р\ + • * * + рп
Р„Щ) + Рп-1(1\ + -Н Рра-п Рп
5
Хорошо известно [36, стр. 141. стр. 148], что метод Чезаро (С, а) и метод суммирования дискретными средними Рисса {11(1,0) являются методами Вороного (IV, рп) и (И7, г/д), соответственно, где
и
Яп - (п + I)5 - п3.
Рассмотрим некоторый метод суммирования 12.
Суммируемость ряда 53 а„ к числу 5 методом 12 будем обозначать кратко Х>„ = 6Т(П).
8. Будем говорить, что метод П является аддитивным, если из того, что I] а>1 = й(Г2) 11 того» мто 51 Ь„ = &(П) следует, что £3(ап + Ьп) = & + 5г(П).
9. Будем говорить, что метод О обладает свойством линейности, если, во-первых, он является аддитивным, а во-вторых, для любого числа С и любого ряда 53 л« такого, что 53 о,п = 5(П), имеем 53(С • ап) = С • 5 (П).
Отметим в частности, что все методы, определенные в пунктах 1-7, обладают свойством линейности.
10. Пусть О. и Л — два метода суммирования рядов. Тогда будем говорить, что имеет место включение методов суммирования 12 С Л, если из того, что
53 ап = $(П) следует, что 53 «п = £(Л).
И. Метод П называется регулярным, если имеет место включение методов суммирования (С. 0) С П.
12. Методы Г2 и Л называются эквивалентными, если имеют место включения методов суммирования Г2 с А и А С Г2.
13. Будем говорить, что метод П сильнее метода Л, если выполняются следующие включения А С 12 и 12 £ А.
14. Имеют место следующие важные включения методов суммирования:
а) (С, а) С (С, /9) при 0 < а < в [36, стр. 131];
6
б) (С, а) С (.4) при о > 0 [36. стр. 140];
в) (С, 0) С (Е, </) при <I > 0 |36, стр. 225);
г) (£,д) С (В) С (В') при ц > 0 |3б, стр. 230].
Отмстим, что все эти включения нельзя обратить без дополнительных условий на ряд.
7
- Київ+380960830922