О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода с особенностями в ядре

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ В НИХ 18
§1.1 Свойства класса основных функций ........................18
§1.2 О пространстве обобщенных функций .......................30
§1.3 К теории приближения в пространствах основных и обобщенных
функций ..................................................... 33
§1.4 Аппроксимирующие операторы в пространстве основных функций .. 40 Глава 2
К ТЕОРИИ РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА С ОСОБЕННОСТЯМИ В
ЯДРЕ 49
§2.1 О разрешимости исследуемых уравнений ...............50
§2.2 Непрерывная обратимость интегрального оператора третьего рода .. 57 §2.3 Постановка задачи приближенного решения уравнений и
вспомогательные результаты ..............................60
§2.4 О классических прямых методах решения исследуемых уравнений .. 65
Глава 3
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА С ФИКСИРОВАННЫМИ
ОСОБЕННОСТЯМИ В ЯДРЕ ' 76
§3.1 “Полиномиальные” методы.............................76
§3.2 “Сплайновые” методы.................................88
§3.3 Оптимизация прямых проекционных методов ............97
§3.4 Заключительные замечания и дополнения ..............101
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 105
ЛИТЕРАТУРА 106
2
Введение
Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с фиксированными особенностями в ядре вида
К и у — известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами “гладкости” точечного характера, х(Ь) — искомая функция, а интеграл понимается в смысле конечной части по Адамару (см., например, [2, с. 144-150]).
Актуальность темы. Теория интегральных уравнений была и остается одной из центральных областей математики и ее приложений. К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра первого и второго родов, сингулярных интегральных уравнений. Подробный обзор установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях [12,46], в специальных обзорных работах [27,58,67], а также в монографиях [10,11,13, 26, 28, 30. 45, 48, 49, 56, 57, 59, 60. 6*2, 66] и др. В то же время ряд важных задач теорий плазмы [85], упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см., напр., [47,80] и библиографию к [80]), а также теорий уравнений смешанного типа (см. [7-9]) и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом (см. [68]) приводит к интегральным уравнениям Фредгольма третьего рода:
где Л — числовой параметр, коэффициент */(£) — непрерывная функция, имеющая на отрезке [а, Ь] конечное множество нулей степенного
где * £ / = [-1,1], Ь3 6 (-1,1), Ш; Е N 0‘ = 1,0; РиР2 6
(е€[а,Ц), (0.0.2)
3
порядка; K(tys) и y(t) — известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами “гладкости”, a x(t) — искомая функция. Первые результаты но уравнениям третьего рода, по-видимому, принадлежат
Э. Пикару [81], именно он назвал уравнения вида (0.0.2) интегральными уравнениями третьего рода. Им было рассмотрено модельное уравнение вида (0.0.2), где u[t) = t, а < 0 < b, K(t,s) и y(t) — аналитические функции. Методом сведения к сингулярному интегральному уравнению он указал необходимые и достаточные условия существования аналитических решений. Дальнейшие исследования уравнений третьего рода были продолжены в работах Ш. Платрие [82], А.Р. Хволеса [78], В. Шмайдлера [83], В.А. Морозова [61], Х.Г. Бжихатлова [7-9], В.В. Короткова [50, 51], П.Н. Денисенко [32]. Во всех этих работах решение рассматриваемых уравнений отыскивается в классических пространствах (аналитических, непрерывных, интегрируемых или других функций) и при этом не привлекается аппарат обобщенных функций. Обнаружилось, что очень часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода, являются специальные пространства обобщенных функций типа D или типа V. Под D (соответственно V) понимается пространство обобщенных функций, построенных при помощи функционала “дельта-функция Дирака” (соответственно “конечная часть интеграла по А дам ару”). Впервые в пространстве обобщенных функций уравнения третьего рода исследовалось Г.Р. Бартом и Р.Л. Варноком [80]. Их исследования были продолжены и развиты в работах B.C. Рогожина и С.Н. Расламбекова [71—74]. Г.Р. Барта [79], Н. Сукаванама [84], К.Б. Бараталиева [6], С.Н. Расламбекова [69,70]. Все эти работы посвящены теории Нетера для соответствующих уравнений третьего рода в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Подробный обзор полученных результатов и библиографию можно найти в монографии U.C. Габбасова [19]. В диссертации Абдурахмана |1] исследовано уравнение с особым дифференциальным оператором в главной части. В предположении, что исходные данные являются точечно “гладкими”, построена теория Нетера для соответствующих уравнений в классах гладких и обобщенных
4
функций. В статье Д. Шулаи |85] рассмотрено уравнение третьего рода с коэффициентом cos t, имеющим на промежутке интегрирования конечное множество нулей. Считая, что ядро интегрального оператора гёльдерово, а правая часть из класса Мусхелишвили, методами теории сингулярных интегральных уравнений установлены необходимые и достаточные условия разрешимости исследуемых уравнений в классе Мусхелишвили.
Уравнения третьего рода точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных методов их приближенного решения в пространстве обобщенных функций является актуальной задачей. Первые результаты в этом направлении получены в работах Н.С. Габбасова [14-19], который исследовал уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка. Им были предложены и обоснованы как классические, так и специальные прямые методы решения этих уравнений. При этом по решению общих уравнений третьего рода в пространстве типа D получены в определённом смысле окончательные результаты, а в классе типа V подробные исследования проведены в частных случаях в зависимости от характера нулей коэффициента уравнения. В статье В.А. Золотаревского [44] некоторые результаты Н.С. Габбасова (1990 г.) в частном случае пространства типа D перенесены на уравнения третьего рода в комплексной плоскости. Диссертация С.А. Соловьевой [75] посвящена приближенному решению общих уравнений третьего рода в пространстве типа V. Используя соответствующие результаты и методы, предложенные U.C. Габбасовым, ею построены и обоснованы оптимальные по порядку точности прямые проекционные методы решения изучаемых уравнений.
Дальнейшее развитие теории уравнений третьего рода с регулярными ядрами и упомянутые выше прикладные потребности привели к необходимости исследования интегральных уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре. В статье В. Янга и М. Цуи [87] исследовано уравнение с коэффициентом, имеющим простые нули, и ядром с особенностью в начале промежутка интегрирования. Считая исходные данные точечно “гладкими”, построено точное решение в виде
5
ряда в пространстве производящих ядер. Показано, что частичные суммы (т.е. приближенные решения) порождают монотонно убывающую последовательность погрешностей. В работе Л. Фермо [86] рассмотрено уравнение с коэффициентом, имеющим на бесконечном промежутке интегрирования лишь один нуль степенного порядка меньше единицы. При этом ядро интегрального оператора имеет слабую особенность, а правая часть уравнения является достаточно гладкой. В зависимости от промежутка интегрирования исследуемое уравнение третьего рода редуцировано либо к одному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, либо к системе двух таких фредгольмовых уравнений. Приближенные решения последних построены методом Нистрёма (т.е. соответствующим вариантом квадратурного способа). Установлены оценки погрешности и доказана сходимость приближенных решений к точному в некотором пространстве непрерывных весовых функций. В указанных работах аппарат обобщенных функций не привлекается. Первые результаты по разрешимости уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в классе обобщенных функций получены Н.С. Габбасовым [20].
Таким образом, вопросы разрешимости уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций исследованы недостаточно. В частности, задача построения, обоснования и оптимизации методов приближенного решения таких уравнений в классах обобщенных функций, по существу, до сих пор оставалась открытой.
Цель работы — построение полной теории разрешимости уравнений третьего рода с коэффициентом, имеющим в промежутке интегрирования конечное множество нулей степенного порядка, и ядром, имеющим особенности произвольного степенного порядка на концах рассматриваемого отрезка; разработка и теоретическое обоснование методов приближенного решения уравнений Фредгольма третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций.
В диссертации, следуя Л.В. Канторовичу и Б.Г. Габдулхаеву, под теоретическим обоснованием приближенных методов понимается следующий круг задач: а) доказательство теорем существования и единственности
б
решения приближенного уравнения; б) установление оценок погрешности приближенного решения; в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости;
г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных уравнений;
д) оптимизация по порядку точности предлагаемых приближенных методов.
Методика исследований. При выводе и обосновании полученных
в диссертации результатов существенно используются теории обобщенных функций, операторов Нётера, приближения функций и общая теория приближенных методов анализа. При этом подходы и рассуждения, применяемые в работе, основываются на использовании результатов и методики исследований, предложенных в упомянутой выше монографии научного руководителя.
Научная новизна. В диссертации изучены функциональные свойства основных пространств, используемых в исследованиях, и построены специальные элементы теории приближения в этих пространствах, приспособленные к приближенному решению уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре. Для исследуемых уравнений построена полная теория разрешимости в пространстве обобщенных функций (фредгольмовость, условия разрешимости, атгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения). На базе этих результатов дано теоретическое обоснование вычислительных схем на основе ряда классических прямых методов, предложены и обоснованы специальные прямые методы решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций. Решена задача оптимизации прямых проекционных методов решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре, при этом разработаны оптимальные по порядку точности “полиномиальные” и “сплай новые” методы решения этих уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Предложенные методы и полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в классах обобщенных функций, а также при
7
решении конкретных прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода.
Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета ('2009 — 2011 гг.), на молодежной научной школе-конференции “Лобачевские чтения — 2009” (Казань), на Республиканских научно-практических конференциях “Наука, технологии и коммуникации в современном обществе” (Набережные Челны, 2009 — 2011 гг.), на международных Казанских летних научных школах-конференциях “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” (Казань, 2009, 2011 гг.), на Саратовской зимней школе “Современные проблемы теории функций и их приложения” (Саратов, 2010 г.), на Воронежской весенней математической школе“Понтрягинские чтения — XXI” (Воронеж, 2010 г.), на международной конференции “Теория приближений”, посвященной 90-летию Сергея Борисовича Стечкина (Москва, 2010 г.) и на VI международном симпозиуме “Ряды Фурье и их приложения” (Ростов-на-До ну, 2010 г.). Основные результаты диссертации в целом докладывались и обсуждались в Казанском федеральном университете (КФУ) на семинаре кафедры теории функций и приближений (2010 г., руководители — проф. Ф.Г. Авхадиев, доц. Ю.Р. Агачев), в Наборежиочелпинском государственном педагогическом институте на семинаре кафедры математического анализа (2010 г., руководитель — проф. Н.С. Габбасов), в филиале КФУ в г. Набережные Челны на семинаре кафедры высшей математики (2011 г., руководитель — проф. Н.С. Габбасов), в КФУ на совместном заседании кафедр математического анализа и теории функций и приближений (2011 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]- [24], [35]- [41]. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановка задач и определение общего подхода к исследованиям, соответствующие результаты получены лично диссертантом.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 114 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 87 наименований.
8
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Введение включает в себя обоснование актуальности темы исследования, обзор работ по теме диссертации и краткое изложение полученных результатов.
Первая глава посвящена изучению функциональных свойств основных пространств, необходимых в дальнейших исследованиях, и построению специальной теории приближения в этих пространствах.
В §1.1, следуя 3. Пресдорфу [66] и В.Б. Дыбину [34], вводится класс У = С{™Ыр) хочетПЮ “гладких” функций; изучаются некоторые его свойства. В частности, доказаны теоремы о вложении банаховых пространств.
Пусть С = С(1) — пространство непрерывных на / = [-1,1] функций с обычной тах-нормой и т € N. Через С*/0т* = С{т.Ц0} обозначается класс функций д Е С, имеющих в точке £о € (—1,1) тейлоровскую производную порядка т.
Пусть р € Через С{р\ 1} обозначается пространство функций д € С, имеющих левые тейлоровские производные ^**(1) {г = 1,Ь1) в точке I = 1, причем в случае р ^ [р] ([•] — целая часть) существует конечный предел
Л = А(р) = (р] — (1 Ч-з1§п([р) —р)), (2(1) = ^Нт (2Ц). Далее образуется основное пространство
Векторное пространство С{р, 1} снабдим нормой
л
1Ы1{р} = 1|59||С + ^1р{1}(1)1.
У ее ее С$Ш(1) = {уе С{т; 0}|Гу 6 С{р; 1}}
9