Содержание
Обозначения ...................................................... 4
Введение ......................................................... 5
Глава 1. Некоторые сведения теории линейных отношений и упорядоченных пар линейных операторов..........................20
1.1. Основные понятия теории линейных отношений................20
1.2. Основные понятия теории упорядоченных пар операторов ... 23
1.3. О представлениях линейных отношений на конечномерных пространствах ....................................................25
1.4. Об условии непустоты резольвентного множества упорядоченной пары линейных операторов в конечномерных пространствах 28
Глава 2. Состояния обратимости дифференциальных операторов с граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений.................................................34
2.1. Постановка задачи.........................................34
2.2. Условия нахождения дифференциального оператора в заданном состоянии обратимости......................................37
2.3. Случай упорядоченной пары линейных операторов......49
Глава 3. Непрерывная обратимость и фрсдгольмовость дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями...............................................52
3.1. Постановка задачи.........................................53
3.2. Теоремы о непрерывной обратимости и фредгольмовости ... 55
3.3. Примеры...................................................73
2
Глава 4. Состояния обратимости дифференциальных операторов с неограниченными периодическими операторными коэффициентами ...............................................77
4.1. Постановка задачи.......................................77
4.2. Состояния обратимости...................................79
Литература.....................................................97
3
Обозначения
К — множество вещественных чисел;
1&+ = [0,оо) — множество неотрицательных вещественных чисел;
С — множество вещественных чисел;
X — банахово пространство над полем К Є {К. С};
ЕпЛХ — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, определенных на пространстве Х\
КегЛ — ядро линейного отношения Л\
1тЛ — образ линейного отношения Л\
0 (А) — область определения линейною отношения Л\ р(Л) — резольвентное множество линейного отношения А; сг{А) = К\р(*4) — спектр линейного отношения А\
1 — тождественный оператор;
||а: — норма вектора х.
4
Введение
Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и граничными условиями, заданными при помощи линейных отношений, исследованию дифференциальных уравнений с многозначными импульсными воздействиями и дифференциальных уравнений (операторов) с периодическими коэффициентами.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах долгое время отражали известные монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [20], Х.Массера, X. Шеффера [46], авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.
“Авторы отчетливо сознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы“. (Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн, стр 12)
“... мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения А (в уравнении вида х 4- Ах = /г - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы, конечно, огромный интерес, особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных“. (X. Массера, X. Шеффер, стр. 11)
В последние семнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов, теорией разностных операторов (как непрерывного аргумента, так и дискретного), спектральной теорией ли-
нейиых отношений. Новые подходы развивались в работах А.Г. Баскакова [3, 4, 8], Ю.Д. Латушкина [56, 64], Ф. Ребигера, Р. Шнаубельта [65], А. Фави-ни, А. Яги [59], Д. Хенри [48], М.С. Бичегкуева [13, 14], В.М. Брука [16-18], Г.В. Демиденко [24].
Рассматриваемому дифференциальному уравнению сопоставляется линейный дифференциальный оператор, действующий в подходящем функциональном пространстве. Изучение его спектральных свойств осуществляется:
1) с привлечением полугруппы разностных операторов Хоулэнда, генератором которой является исследуемых оператор;
2) сопоставлением изучаемому дифференциальному оператору разностного оператора, действующего в подходящем пространстве векторных последовательностей. Этот разностный оператор обладает рядом свойств исследуемого дифференциал},ного оператора (их ядра имеют одинаковую размерность, образы одновременно замкнуты и имеют одинаковую коразмерность и т.д);
3) с привлечением спектральной теории линейных отношений на фазовом пространстве, если исследуемое дифференциальное уравнение рассматривается на конечном промежутке, а краевые условия заданы линейным отношением.
Необходимость в использовании спектральной теории линейных отношений возникает также при изучении дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Изучению таких дифференциальных уравнений посвящено большое число работ, в частности, монографии А. Фа-вини, А. Яги [59|, Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [23].
Дифференциальные уравнения на конечном промежутке с граничными условиями, заданными парой линейных операторов на конечномерном фазо-
вом пространстве изложена в монографии Ф. Аткинсона [2]. В ней отмечалось (стр. 9): ‘В высшей степени желательно было бы развить соответствующую теорию для уравнений в частных производных и их аналогов; однако дискретная теория, и, тем более, синтез двух теорий, представляются здесь очень слабо развитыми“
Таким образом, развиваемая в диссертации теория краевых задач для абстрактных параболических уравнений является актуальной.
В диссертации определение и исследование дифференциальных операторов осуществляется с использованием семейства эволюционных операторов.
Пусть Л — это или некоторый отрезок числовой прямой [а, 6], или вся числовая прямая К. Символом Л обозначим множество Л х Л. Отображение Ы : Д —> ЕпйХ, где ЕпЛХ — банахова алгебра линейных ограниченных операторов на банаховом пространстве А, называется (сильно непрерывным) семейством. эволюционных операторов на Л, если выполнены следующие условия:
1) Ы(£,£) = / — тождественный оператор для любого £ € Л;
2) ££(£, 5)^(5, т) = и(Ь, т) для всех £, 5, т из Л;
3) отображение (£,а) ■—> и{Ь^)х : А —* X непрерывно для любого х € Х\
4) Бир ||£У(£,а)|| = М < оо.
Отметим, что в случае, когда Л является отрезком, условие (4) можно убрать, в силу принципа равномерной ограниченности.
Если семейство и определено лишь на множестве Д+ = {(£,$) 6 Д,£ > а}, то тогда оно называется семейством эволюционных операторов «вперед».
Эволюционные семейства операторов естественным образом появляются
7
в связи с представлением решений абстрактной задачи Коши
от
— = А(1)х, *еЛ, (1)
х($) — х0 Е П(А(б')), t>s1t,з6J, (2)
в предположении, что область определения £>(.4($)) оператора А($) плотна в X для каждого 5 Е Л.
Будем говорить, что семейство эволюционных операторов 1А : Л —* ЕпЛХ решает абстрактную задачу Коши (1), (2), если для любого £ Е Л существует плотное в X подпространство Х5 из £>(Л($)) такое, что для каждого Хо Е Х$ функция х(£) = Ы(£, $)хо дифференцируема при всех £ > з, х(£) Е /}(Л(£)) и выполнены равенства (1), (2). В этом случае также будем говорить, что семейство и соответствует задаче (1), (2).
Если функция / : Л —♦ X принадлежит линейному пространству ад X) локально суммируемых измеримых по Бохнеру (классов) функций, определенных на Л со значениями в X, то (слабым) решением уравнения
(1/Т
— = Л(£)х Н- /(£), £ Е М (3)
(при условии, что семейство и на Л решает задачу Коши (1), (2)) называется любая непрерывная функция х, удовлетворяющая при всех (£, з) Е А равенствам
I
х(£) = £•/(£, $)х(6') +1Ы(Ь.т)/(т) дт. (4)
Особо отметим, что рассмотренные в диссертации линейные операторы строятся по произвольному эволюционному семейству операторов и для них тем не менее применяется термин «дифференциальный оператор».
Каждому семейству эволюционных операторов Ы : А —> ЕпдХ можно сопоставить линейный оператор Стпах : Е(Стах) С -£д(Л, X) —> £ц(Л, X), который определяется следующим образом. Непрерывная функциях : Л —► X
- Київ+380960830922