Абсолютно представляющие системы в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью

Оглавление
Введение 4
1 Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные 24
1.1 Предварительные сведения............................................ 26
1.1.1 Преобразования Коши и Лапласа функционалов....................26
1.1.2 Регулярные классы Карлемана ................................. 27
1.1.3 Классические пространства аналитических функций...............28
1.1.4 Некоторые виды областей в С.................................. 28
1.2 Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью 29
1.3 Сильно сопряженные к Аф(С) пространства в случае необязательно выпуклой области.........................................................38
1.4 Сильно сопряженные к Лф(Сг) пространства в случае выпуклой области 44
1.5 Сильно сопряженные к пространствам Аф(О'), порождаемым одним весом 53
2 Абсолютно представляющие системы простейших дробей, их свойства 59
2.1 Основные определения и вспомогательные результаты....................60
2.2 Связь абсолютно представляющих систем простейших дробей и слабо достаточных множеств.................................................... 64
2.3 Существование абсолютно представляющих систем простейших дробей
в А* (С)........................................................... 67
2
2.4 О свободиости абсолютно представляющих систем простейших дробей
в Л*(<?)...........................................................69
2.5 Непродолжаемость абсолютно представляющих систем простейших дробей в подобласть................................................... 70
3 Абсолютно представляющие системы экспонент, их свойства 73
3.1 Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространстве Л/>(<7)..................................................... 74
3.2 Свойство продолжения абсолютно представляющих систем экспонент . 78
3.3 Устойчивость абсолютно представляющих систем экспонент относительно предельного перехода по весовой последовательности..............82
4 Абсолютно представляющие системы экспонент минимального типа 87
4.1 Постановка задачи, основные определения и структура главы..........87
4.2 Пространство непрерывных мультипликаторов..........................92
4.3 Необходимые и достаточные условия для абсолютно представляющих систем экспонент минимального типа.................................... 97
4.4 Существование абсолютно представляющих систем экспонент минимальною типа в Л^(^) .................................................102
4.5 Пример абсолютно представляющей системы экспонент минимального тина в /1^(6’) и неустойчивость абсолютно представляющих систем экспонент относительно предельного перехода по области................105
Список обозначений 111
Литература 112
3
Введение
Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются пространства функций, аналитических в ограниченной односвязной области, с заданными оценками всех производных.
В последнее время возрос интерес к изучению абсолютно представляющих систем (АГ1С) в различного рода пространствах. Эго обусловлено, во-первых, тем, что решению задач, связанных с разложениями в ряды но фиксированной последовательности функций из различных пространств, в анализе всегда уделялось особое внимание. Во-вторых, развитие теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах позволило найти новые подходы к изучению некоторых других важных вопросов, связанных, например, с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений (в частности, уравнений типа свертки), задачей Коши для уравнений в частных производных, задачей конструктивного построения решений таких уравнений п. наконец, проблемой продолжения по Уитни.
Впервые понятие абсолютно представляющих систем было введено Ю. Ф. Коробейником в |17| под влиянием работ А. Ф. Леонтьева. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [30), рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в произвольной ограниченной выпуклом области комплексной плоскости, рядами экспонент и была установлена возможность такого представления. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), основы которой были заложены в цикле работ К). Ф. Коробейника [ 17|— |22] и которая развивалась, главным образом, в его работах и работах ого учеников А. В. Абанина [2|- (б|, Ле Хай Хоя |47|, С. Н. Мелихова [33), В. Б. Шерсткжова [42), И. С. Шрайфеля [43) и др. Существенный вклад в развитие
4
данного направления внесла, исходя из несколько иных позиций, основанных на использовании аппарата достаточных множеств, уфимская школа по теории функций (см. работы В. В. Напалкова [35] и А. В. Сскерина [36] и др.)
Ю. Ф. Коробейником был разработан один из основополагающих методов изучения АПС в локально выпуклых пространствах, базирующийся на теории двойственности. Одновременно с этим были введены и исследованы различные свойства АПС элементов полного отделимого локально выпуклого пространства такие, как внутрь-продолжаемость (см. [21], [3]) и устойчивость относительно предельного перехода (см. [22], 13]).
Основным модельным пространством при изучении свойств АПС. для которого к настоящему времени получены результаты завершенной) характера, выступало про странство Фреше всех функций, аналитических в области. При этом в наибольшей степени, что естественно, исследованы АПС экспонент (или обобщенных экспонент) и простейших дробей. Другие пространства аналитических функций (с заданным ростом вблизи границы или с заданной граничной гладкостью; аналитических на компактах и др.) изучены пока не в такой глубокой степени. Доста точно полный обзор результатов в данном направлении имеется в [5]. Еще раз подчеркнем, что одни и те же свойства АПС не определяются полностью топологической структурой или набором элементов. Поэтому изучение АПС в различных пространствах представляет интерес как с точки зрения каждого конкретного пространства, чак и дня развития общей теории АПС. Одними из малоизученных в данном отношении являются пространства аналитических в ограниченной области функций с заданной граничной гладкостью. Насколько нам известно, кроме установленного М. У. Муллаевым [34] факта существования АПС экспонент в пространстве всех функций, аналитических в ограниченной области комплексной плоскости и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, а также функционального критерия для АПС простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью, полученного Б. А. Державцем [13], других исследований для них не проводилось. Последнее касается свойств, вопросов существования и описания минимальных в духе А. Ф. Леонтьева АПС экспонент; тех же задач для АПС простейших дробей. В
5
частности, и связи с отсутствием (см. [23)) ЛИС простейших дробей в пространстве всех функций, аналитических в области, существование таких систем в близких пространствах функций с заданной граничной гладкостью в той же области имело бы важное значение.
В связи с вышеизложенным нам представляется актуальной задача о систематическом изучении абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в весовых пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью (гладкость регулируется оценками роста всех производных).
Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированной выше задачи:
— определение и изучение некоторых свойств весовых пространств аналитических функций с заданной граничной гладкостью; описание топологически сопряженных с ними пространств;
— применение полученных результатов к исследованию вопроса о существовании абсолютно представляющих систем экспонент и (или) простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью;
— исследование свойств продолжаемости и устойчивости относительно предельного перехода по весовой последовательности или по области для абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью;
— описание абсолютно представляющих систем экспонент минимального типа в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью.
Методы исследования. В диссертационной работе используются классические методы функционального и комплексного анализа, теории двойственности и теории целых функций. При исследовании абсолютно представляющих систем в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью применяются подходы и результаты, развитые ранее Ю. Ф. Коробейником и А. В. Абаниным.
Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к задачам представления аналитических функций рядами простейших дробей и экспонент, а также разрешимости уравнений типа свертки. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Южном федеральном университете, Сибирском федеральном университете, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВИЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском, Новосибирском, Саратовском университетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.
Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Южного федерального университета, на Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2009, 2011 гг.), на Международной кофереиции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.), на Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, 2011 г.), а также на Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2011 г.).
Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в [53|- [59].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 59 наименований. Определения, предложения, теоремы и следствия имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Объем диссертации — 117 страниц машинописного текста.
Обзор главы 1. Как правило, первоосновой изучения АПС экспонент и простейших дробей является наличие подходящего описания сопряженных пространств с помощью преобразований Лапласа и Коши, соответственно. Поэтому в первой главе, носящей для основного в настоящей диссертации исследования АПС вспомогательный
характер, речь пойдет об описании сильно сопряженных к весовым пространствам аналитических функций с заданной граничной гладкостью. Ранее эта задача изучалась в работах [11| и [13], на некоторых моментах которых мы сейчас остановимся. Отметим, что все результаты из указанных работ получены для областей из С", но мы ограничимся лишь интересующим нас одномерным случаем.
Согласно определению из [111 (см. также |14)) возрастающая последовательность положительных чисел {Мк}&1 называется регулярной, если выполнены следующие условия:
а) ті < тк-і • тк+1 ;
b) sup < +00 ;
fc€W \ Шк )
\
c) И III ГО* = +00 ,
к—* оо
Мк . ^ тут
где тк := —, к Є N.
Через VR := {{Л/?}£і : п = 1, 2,... J обозначено семейство регулярных последовательностей. удовлетворяющих условиям
К I A4, «-оо; VQ > 0, Vn Ura = 0.
І Іолагается
ЛАП rk
hn(r) := inf rk’l\ <bn(r) := inf — (r > 0).
Пусть i4°°(G) — пространство функций, аналитических в ограниченной одпосвяз-пой области G С С, все производные которых непрерывны вплоть до 0G. В [11] и 113] для семейства 9Я и области G определяются следующие пространства
A,(G) := {/(г) 6 4“(G) : ll/ll,, := sup sup < +оо};
4(OT,G) := proj.4n(G);
п—оо
Ни(G) := {/«) € Aq((.G): |/|n := sup |/(Ç)| КШ,ÔG)) < +оо};
ÇGcG* }
Я(9Л,С) := ind //„(G),
П—‘ОО
где Л0(сС) — пространство всех функций, аналитических в дополнении cG компакта G до расширенной комплексной плоскости и исчезающих в бесконечности,
8
а /■>(£, 0(7) — расстояние от точки £ € сС до дС. Если дополнительно (7 — выпуклая область, то в [11] и [13] вводятся пространства целых функций с ограничениями на рост в бесконечности
„,(0) {ЯОЕ Я(С): 11/1, , < -но};
£(9Л,<7) := 1пс1 /Уп(<7),
я—со
где #с(0 = 8ир11е(£,г) — опорная функция компакта С.
Первым центральным для нас моментом в |13| является результат об описании сильно сопряженного к Л(ШТ, (7) пространства как пространства //(9Я,С?) для любой ограниченной, сильно звездной области с дважды гладкой границей, а вторым (см. также [ 111) — описание сопряженного как пространства целых функций /?(9Л,6’). когда (7 выпукла.
Основной целью главы 1 является распространение в одномерном случае результатов |11| и [13] на области С более общего вида и, в частности, получение более удобных для приложений описаний сильно сонряжеиЕ1ых пространств, что является основой для глав 2, 3 и 4. Заметим, что в рамках настоящего исследования на гладкость границы никаких ограничений не накладывается.
В целом, применяемые нами методы хорошо известны и основаны на теореме Е. М. Дынькина о исевдоаналитическом продолжении гладких функций. Болсс общую, чем в предыдущих работах, ситуацию удалось исследовать, главным образом, за счет перехода к одномерному случаю и уточнения ряда оценок.
В первом параграфе приводятся некоторые известные определения и результаты, касающиеся классов Данжуа-Карлемана, а также классических пространств аналитических функций. Во втором параграфе вводятся весовые пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и исследуются их свойства.
Пусть (7 — ограниченная односвязная область комплексной плоскости С. Символом С°°((7) обозначается пространство всех функций, аналитических на С и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы дС.
Обозначим через V семейство всех неубывающих выпуклых на [0, ос) функций <р.
9