ВМО-регулярность в решётках измеримых функций и интерполяция классов Харди

Оглавление
Введение 3
Интерполяция аналитических пространств......................... 3
ВМО-регулярность в решётках на пространствах однородного
типа..................................................... 14
Интерполяция пространств, порождённых
квазирегулярным проектором............................... 16
Теорема о короне и аналитическое разложение единицы 20
Сводка основных результатов....................................23
Общая характеристика работы....................................27
Содержание работы..............................................29
1 Общие сведения 36
1.1 Решётки измеримых функций..................................36
1.1.1 Основные определения и свойства................36
1.1.2 Алгебра решёток измеримых функций..............41
1.1.3 Решётки со смешанной нормой....................44
1.2 Объекты гармонического анализа.............................48
1.2.1 Пространства однородного типа и максимальные операторы ..................................................48
1.2.2 Веса Макенхаупта...............................50
1.2.3 Ар-ограниченные отображения
и операторы Кальдерона-Зигмунда...............52
1.2.4 А2-невырожденные отображения .......................54
1.3 Разное.....................................................59
1.3.1 “Шары” класса Ар...............................59
1.3.2 Теорема Гротендика и теорема о неподвижной точке 62
1.3.3 Пространства тина Харди и АК-устойчипость .... 63
аі/
1
Оглавление 2
2 Задача о короне 67
2.1 Век горнозначная задача о короне.........................67
2.2 Приложение: аналитическое разложение единицы.............73
2.3 Снизь между ХА и Нос задачами о короне...................76
2.4 Н2 задача о короне.......................................82
3 ВМО-регулярность 87
3.1 Основные свойства ВМО-регулярности.......................88
3.2 Множества Аг-мажорант....................................91
3.3 Основной результат о делимости...........................93
3.4 Самодвойственность и делимость ВМО-регулярности .... 98
3.5 Известный вспомогательный результат.....................102
3.6 ВМО-регулярность и ограниченность
стандарных операторов гармонического анализа............105
3.7 ВМО-регулярность решеток X (1°).........................107
3.8 ВМО-регулярность дня пар решёток........................109
4 Интерполяция пространств X® 119
4.1 Весовое разложение Кальдерона-Зигмунда и метод БургсйнаИ9
4.2 Интерполяция............................................127
5 Интерполяция пространств типа Харди 136
5.1 Ограниченная АК-устойчивость............................137
5.2 Связь с ВМО-регулярностью...............................142
5.3 АК-устойчивость в случае весовых классов Харди..........144
5.4 АК-устойчивость с дополнительной переменной.............150
5.5 Весовая и векторная АК-устойчивость.....................157
5.6 АК-устойчивость решеток, обладающих некоторыми свойствами суммирования..........................................164
5.7 АК-устойчивость решёток Ьр(.)...........................170
Список литературы 175
Введение
Интерполяция аналитических пространств
Пусть X и У — квазибапаховы решётки измеримых функций на окружности Т с мерой Лебега (все основные используемые понятия будут формально введены далее в главе 1). В них естественным образом вводятся аналитические подпространства Хл и У л, Ха = X ПУ+ и Ул = У П Х+, состоящие из сужений на границу аналитических функций из класса Смирнова, которые лежат также в X и У соответственно. Например, аналитические подпространства для классов Лебега Ьр — это просто классы Харди (Ьр)л = Нр. Как устроены интерполяционные пространства между Хл и Уд? Разумеется, для всякого интерполяционного функтора Т в категории банаховых пространств верно соотношение
КО) с (/■((*, У))Ь-
Обратное включение, т. е. равенство
Т((ХЛ,УЛ)) = (Т{{Х,У)))А,
мы будем называть “правильной”, или “хорошей” интерполяцией для пары (Ха, У л) по понятным причинам; это явление ещё называется устойчивостью интерполяции Т для пары пространств (Ха, Уа)- Для пространств Лебега Ър (вещественная и комплексная интерполяция которых, как хорошо известно, в рассматриваемых далее случаях снова даёт пространства Лебега) эти соотношения для вещественной интерполяции (при естественном выборе показателя г) принимают вид
(НР,Н,)Г, = НГ1 1 = 1^.+ 1 (1)
3
Введение
4
для комплексной интерполяции, соответственно,
(Нр, Н,)0 = Hr, i=,lr*+£. (2)
Для пары (Хл, Ул) хорошая интерполяция (с произвольным методом Т) легко получается, если эта пара является ретрактом пары [X, У) в категории пар банаховых пространств, т. е. если существует некоторый линейный ограниченный проектор Р : X + Y i-¥ Хл + Ул> одновременно проектирующий X на Хл и Y на Ул, т. е. если пространства Ха и Y а дополняемы в X и Y соответственно, с одним и тем же проектором. Разумеется, во многих интересных случаях это не выполнено; например, как хорошо известно (см., например, |12|), пространства Нр не дополняемы в Lp при р € {1,оо}. Поскольку проектор Рисса [Р проектирует пространства Lp на Нр при 1 < р < оо, при 1 < p,q < оо пара (Нр, Н^) является ретрактом пары (Ц„ Iи поэтому на ней любой интерполяционный метод устойчив. В частности, при 1 < р, q < оо соотношения (1) и (2) автоматически выполнены. Но нередко бывают интересны как раз крайние значения показателей. П. Джонс ещё в начале 80-х годов прошлого столетия показал (см. (19), [18], [15]), что хорошая интерполяция имеет место для обычных пространств Харди Н,„ 1 ^ р ^ оо, и вещественного и комплексного методов интерполяции т. с. в интерполяционном смысле шкала пространств Н7, при 1 ^ р ^ оо ведёт себя так же, как и шкала пространств Lp.
Интерес к вопросам, связанным с интерполяцией аналитических пространств, усилившийся к концу 80-х, обусловлен, и частности, исследованиями свойств диск-ал1*ебры С л и классов Харди Нг как банаховых пространств; см. обзоры |5G| и [17, Chapter 1G). Упомянем работу Ж. Бур-гейиа [20] 1984 г., где, в частности, для диск-алгебры С а был установлен аналог теоремы Гротендика о том, что всякий ограниченный оператор из С л в L] является 2-суммирующим. С. В. Кисляков в [25) 1989 г. нашёл простые доказательства для этих результатов, фактически основывающиеся на интерполяции для весовых пространств 11,,. В то же время К. Шу (используя некоторые идеи Ж. Пизье) в [46| привёл простые доказательства упомянутых теорем П. Джонса о правильной интерполяции в шкале Нр.
Примерно в это время стало понятно (первым это заметил, по-видимому, Ж. Пизье в работе (39)), что естественным подходом к иодоб-
Введение
б
ным вопросам для вещественной интерполяции является исследование К-замкнутости соответствующей пары. Вещественные интерполяционные пространства описываются в терминах К-функционала
K(tJ-,X,Y) = M{\\g\\x + t\\h\\y \f = g + h}, t> О, /€Х + У.
Подиара (F, F) пары (X, У) банаховых пространств называется К-замкнутой в (Х.У), если K(t,f;E,F) ^ CK(t, /; X, У) для всех t > 0 и / € Е + F с некоторой константой С, не зависящей от Z и /. Свойство К-замкнутости допускает следующие простые переформулировки (см., например, (14]), из которых ясна ого связь с интерполяцией и аппроксимацией.
• Это свойство зачастую наиболее удобно. Для всякого разложения функции f € Е + F в сумму / = до + Л о, А) € X, Л0 G У, найдётся разложение в сумму / = g + h, g 6 Et h 6 F, такое, что IMU ^ С\Ш\х и Му < ОЦ/iollv c некоторой константой С, не зависящей от /, до, /го-
• Для всякой функции / 6 X П У найдётся одновременное хорошее приближение 9 6 EOF в X и / с некоторой константой С, не зависящей от /, т. е.
II/ - .9IIу ^ Cdistv(/, F).
• Для всякой функции J 6 (Х/Е) П (У/F) найдётся такая функция g € X П У, что / “ г/ е F П F, т. е. функция g представляет класс функции / в соответствующих фактор-пространствах, и выполнены оценки НяКх < C\\f\\x/E и \\д\\у ^ С||/||у/г С некоторой константой С, не зависящей от /.
Естественно, из К-замкнутости пары (XA,YA) в паре (X, У), которую мы, следуя статье [27], будем называть АК-устойчивостью (аналитической К-устойчивостью) пары (Х,У), вытекает хорошая вещественная интерполяция для этой нары. Отметим ещё одно интересное свойство. Под-пара (E,F) пары (X, У) называется ретрактной подпарой пары (X, У), если для всякого элемента / € Е + F существует линейный оператор
Введение
6
Т : X + У -* В + F, такой, что ||T|U_>* ^ С, ||Г||у.>F < С и Т/ = /, для некоторой константы С, не зависящей от /. Легко видеть, что если пара (Z5, F) является рстрактной подпарой пары (А', У"), то пара (£, F) К-замкнута в (А, У), но неясно, верно ли обратное утверждение в общем случае. Нетрудно проверить, что для хорошей интерполяции (любым интерполяционным методом) достаточно, чтобы пара (Л'л, Ул) была рстрактной подпарой пары (А, У) (см., например, |22, Corollary 2.1|).
Ж. Пизье (см. [39), [38], [40]) показал в 1991 г., что для классов Харди AK-устойчивость имеет место, а также получил некоторые векторнозначные и некоммутативные обобщения этих результатов. Эти результаты также охватывают случай показателей, меньших единицы. Примерно в то же. время К. Шу в |48] также получил некоторые результаты для хорошей вещественной интерполяции векторнозначных классов ТТр. Далее, К. Шу показал в [47], что для перестановочно инвариантных банаховых решёток А и У пара (Ал, Уд) является рстрактной подпарой пары (А, У), и, таким образом, для таких решёток, и, в частности, для пар классов Харди Нр при 1 ^ р < сх>, имеется хорошая интерполяция. П. Мюллер в [35| (см. также (34]) получил хорошую комплексную интерполяцию между Hi и Н» с помощью комплексных мартингалов
Н. Варопулоса. С. 13. Кисляков и К. Шу в |59| показали, в частности, как можно получить ретрактпость пары (Hi,Не») в паре (Li,Loo) только из усиленной некоторым образом АК-устойчивости пары (Lb L^) (а именно, из AK-устойчивости пары (Li (l°°), L«, (/д°)); ниже; мы подробнее рассмотрим нары такого вида).
А что с весовыми пространствами Харди, образованными из весовых пространств Лебега Lp (?/;) = {/ | w~]f € Lp} с соответствующей квазинормой? Мы будем рассматривать только весовые пространства Харди Нр {т) с весом log?/; € Lj; тогда их можно определить как
н„ W = w-% = {w'g I g е нр},
где W — внешняя функция, такая, что |W| = ги почти всюду. В 1990 г. М. Цвикель, Дж. Е. Маккарти и Т. Вольф показали в [б], что пространство Нр (и*>1НЧ), 0 < 0 < 1, 1 ^ р < оо, является интерполяцион-ным пространством степени 0 для пары (Нр (щ), Нр (ил)) (как стало ясно несколько позже, для весовых пространств Харди это свойство эквивалентно хорошей вещественной или комплексной интерполяции соотвст-
Введение
7
ствующих весовых классов Нр(ги), т. е. соотношениям вида (1) или (2)) тогда и только тогда, когда выполнено условие log Є DMO. Они также показали, что если это условие на веса не выполнено, то пространство Нр всё равно может оказаться интерполяционным для пары
(Нр(і!ь),Нр(и/і)), что, конечно, ещё ничего не говорит о возможности хорошей интерполяции для этой пары для каких-то интерполяционных функторов: хотя но известной теореме Аронш айн а-Гальярдо (см., например, [3, 2.5|) тогда найдется функтор, реализующий такую интерполяцию для этой конкретной пары, неясно, будет ли у него хорошая аналитическая интерполяция для других пар. Далее, С. 13. Кисляков и К. Шу показали в [23|, что то же самое условие log^JJ является необходимым и достаточным для хорошей вещественной или комплексной интерполяции для пары (Нр (щ), Н<, (u’j)) и при разных показателях 1 ^ р, q ^ оо, а также получили некоторые результаты для векторнозначных классов Харди.
ВМО-регулярность — относительно новое понятие, которое в явном виде было введено И. Кальтоном в [21| в связи с рассматриваемым вопросом (в болсс общей постановке), хотя, как стало ясно позднее, оно неявно играло роль и в более ранних работах. Решётка X (пока, по-прежнему, речь идёт об измеримых функциях на окружности) называется ВМО-регулярной, если для всякой функции / Ф 0 найдётся мажоранта у Є X, 9 ^ 1/1, такая, что \\g\\x < ™\\f\\x и logy € DMO, || logpHsMO ^ С, где константы т и С не зависят от /. Определение пространства ВМО см. в §1.2.1. Н. Кальтон, в частности, доказал (см. [21, Theorem 5.12|), что если решётки X и У суперрефлексивны и решётка X ВМО-регулярна, то хорошая комплексная интерполяция для пары (Хд,Ул), т. е. соотношение
(XA,YA)e = «X,Y)t)A, (3)
имеет место при некотором (эквивалентно, при всех) 0 < 0 < 1 тогда и только тогда, когда решётка У также ВМО-регулярна. Кроме того, при тех же ограничениях на решётку X её ВМО-регулярность эквивалентна ограниченности проектора Рисса Р в пространстве Х'Л\Х п при некотором 0 < а < 1. Отсюда видно, что условие ВМО-регуляриости встречается довольно часто. Также в (211 приведены некоторые обобщения этих результатов на векторнозначный случай. Таким образом, ВМО-
Введение
8
регулярность оказалась тесно связанной с хорошей комплексной интерполяцией. Однако, несмотря на всю общность результатов Н. Кальтона, следует отметить, что суперрефлексивность — тяжёлое условие, которое исключает из рассмотрения едва ли не самые интересные случаи решёток L| и Lqo. Сня ть эти ограничения в характеризации соотношении (3) пока не удалось. Однако, о чём пойдёт речь чуті, далее, для результата о связи ВМО-регуляриости решётки X с ограниченностью проектора Рисса Р и пространстве а при некотором 0 < а < 1 достаточно лишь
свойства Фату, и сам этот результат в действительности устанавливается вещественными методами и имеет место для широкого класса сингулярных интегральных операторов вместо Р на общих пространствах однородного типа вместо 7.
Чтобы охватить случай пространств вскторнозиачных функций, естественно работать с квазибанаховыми решётками измеримых функций на измеримом пространстве (Т, т) х (П,/і), где а-конечное пространство (Гі,/х) играет роль пространства “побочных” переменных. Тогда условие II log/7І|вмо определении ВМО-регулярности следует понимать как
равномерное условие но второй переменной, т. е.
ess sup II logp(-,w)||BMO < С.
wGii
Естественно определить В МО-регулярность для пары решёток следующим образом: пара решёток {X, Y) измеримых функций на измеримом пространстве ї х П называется ВМО-регулярной с константами (С,/л), если для любой пары функций (/,#), / Є X, у Є Y, отличных от нуля, существует такая пара функций (u,v), и Є X, v Є У, называющаяся ВМО-мажорантой для пары (/,«?), что ||u||x ^ т||/||х. ІМІУ < ™1Ы!у и esssupw€n ||log(w(-,ai)/u(-,w))||nMo ^ С. С. В. Кисля-ков в обзоре |22| показал, что ВМО-регулярность пары решёток является достаточным условием для АК-устой ч и воет и и хорошей вещественной н (при некоторых ограничениях — значительно менее тяжёлых, чем у Н. Кальтона в [211) комплексной интерполяции аналитических пространств. Легко проверить, что при наличии ВМО-регулярности вопрос об АК-устойчивости некоторой пары легко сводится к вопросу об АК-устойчивости весовой пары (Ь^ (а), LfX) (и)), где в роли весов выступают соответствующие ВМО-мажоранты. На последний вопрос ответ, как уже
Введение
9
говорилось, известен. Вот более детальное рассуждение: если пара решёток (Л, К) ВМО-регуляриа с константами (С,7п), то для любой пары функций / € X, g € У, такой, что / 4- g € X^ -f Уд, и соответствующих ВМО-мажораит u ^ |/|, v ^ |<7|, имеем / -{- g € Н,*, (а) 4- Н^, (?;). Пара (Loc (гт), Loo (и)) АК-устойчива с константой, зависящей только от величины
и(-,ю)
ess sup
wGlî
log
< с, (4)
вмо
поэтому найдутся такие функции Р е Нто (?/) с Хл> С € Н«, (ц) С Ул, что / + у = Р -Г С, и имеют место оценки
|lm(u) ^ c||/||Lno(tt) < С,
для некоторой константы с, не зависящей от / и д. Отсюда сразу получаем, что
ИЛ1* < IU1luo(u)IMU < «»или*
\\G\W < IGlu.wMy < ст\\д\\у.
Таким образом, пара (X, У) AK-усгойчива, если она ВМО-регулярна.
Ранее в 1997 г. С. В. Кисляков показал, что при условии (4) (и только при этом условии) пара (Нр (и), Н7 (v)), 1 < р, q < оо, является ретрактом нары {Lv (м), L7 (v)), причем для фиксированных весов соответствующий общий проектор, называющийся проектором БургсЙпа, действует сразу при всех р и q. Далее, С. В. Кисляков и К. Шу показали в работах |22] и [24), что условие (4) на веса и и v необходимо (и, разумеется, достаточно) для того, чтобы пара (Нр (u), Н7 (v)) была ретрактиой подпарой пары (Lp(u) ,L4 (v)) при всех 1 ^ р, q ^ оо (при крайних значениях показателей настоящей ретракции, разумеется, нет), причём в некоторых случаях это верно и для конечных семейств весовых пространств Лебега (например, при одинаковых показателях; о том, как понимать в этом случае ВМО-регулярность, см. [24]). С помощью этого результата можно очень просто получить устойчивость комплексной интерполяции для ВМО-регулярной пары решёток (X, У), т. е. формулу (3), лишь в предположении, что решётка xl~°Ye обладает норядково непрерывной нормой (см. [24, Corollary 2]).
Введение
10
Нетрудно проверить, что пара (L;, (u), (v)) ВМО-регулярна тогда
и только тогда, когда для весов и и v выполнено условие (4); таким образом, для пар весовых пространств Лебега АК-устойчивость равносильна ВМО-регулярности. Верно ли это для произвольной пары кпа-зибанаховых решёток — пока остаётся открытым вопросом, для которого, впрочем, есть некоторое количество частных положительных результатов. В 2001 г. С. В. Кисля ков получил в [50) следующий критерий. Свойство Фату решётки X означает замкнутость единичного шара Их = {/ 6 X | 11/Ца- ^ 1) по мере, т. е. относительно сходимости но мере на множествах конечной меры, что эквивалентно следующему естественному свойству: если последовательность /п 6 X такова, что /„ ->■ / ПОЧТИ ВСЮДУ И WfnWx ^ 1, TO / € X И II/II.Y ^ 1- Свойство (*) также довольно естественно — оно обеспечивает, среди прочего, невырожденность пространства Хл и означает, что для каждой функции / е X, / ф 0, найдётся мажоранта g € X, g ^ |/|, такая, что log.9(*,ù>) € Lj при почти всех о} € 12. Обозначим через Ç = 1Р№) решётку 1}> с весом j ■-» ,V.
Теорема С. Пусть пространство (Г2, р) дискретно (т. е. мера р состоит из не более чем счётного числа атомов) и банахова решётка X на Т х П удовлетворяет условию (*). Следующие условия эквивалентны.
1. Решётка X ВЫО-регулярна.
2. Для некоторого (эквивалентно, для всех) г € [1, оо) и А > 1 пара (*л(О.Нво(*Г)) К-замкнута в (X (Г), Loo (fx°)) (гп- е• пера (X (/’ ), Lj» (Ç0)) АК-устойчива).
Результаты такого вида естественно называть критериями ВМО-регулярности в терминах АК-устойчивости с дополнительной переменной. Наиболее интересным следствием из этого результата является самод-войственность ВМО-регуляриости, т. е. то, что в условиях этой теоремы решётки X и X' ВМО-регулярны лишь одновременно. Решётка Х\ по-рядково сопряжённая с решеткой X, состоит но определению из таких измеримых функций «7, что /т \fg\ < оо при всех / из X. Используя самодвойственпость ВМО-регулярности, С. В. Кисляков получил в (50) характеризацию ВМО-регуляриости решётки X в терминах ограниченности проектора Рисса (или оператора гармонического сопряжения) в
Введение
11
решетке Ха1\ л при некотором (эквивалентно, при всех достаточно малых) 0 < а < 1. Г1о сравнению с упоминавшимся результатом Н. Кальто-на (21| суперрсфлексивность не нужна и достаточно лишь условия Фату. Доказательство теоремы С (а точнее, перехода от 2 к 1 в ней) потребовало привлечения теоремы о неподвижной точке и нетривиальной техники построения некоторого аналитического разложения единицы. Далее, в [51] С. В. Кисляков показал, что условие К-замкнутости в этой теореме эквивалентно условию замкнутости пространства Ха (^г)*ЬН0С (1%°) в пространстве X (1Г) + Ьоо (/£°) при всех ?* > 0 (таким образом, и в теореме С можно брать любые показатели 0 < г < ос), а в [27] он же с помощью этого результата доказал (снова в предположении дискретности пространства 11), что АК-устойчивость вытекает из некоторого ослабления требования ВМО-регулярности для пары (эго повое свойство получило название слабой ВМО-регулярности), а также привёл некоторые обобщения теоремы С. В работе [27] также продемонстрировано, как самодвойствсн-ность свойства ВМО-регулярности для банаховых решёток влечет так называемую делимость этого свойства (т. е. то, что из ВМО-регулярности решёток ХУ и У следует ВМО-регулярность решётки X). Упомянутая слабая ВМО-регулярность для пар банаховых решёток (А/\ У) вводится так: требуется, чтобы дли некоторой ВМО-регулярной пары (Е, Г) н числа а > 0 пара (ХаЕуУлЕ) была ВМО-регулярна. В условиях теоремы С на решётки X и У это свойство эквивалентно любому из следующих двух условий.
• Пара (ХЬ\,УЪ\) ВМО-регулярна.
• Решётка ХУ' ВМО-регулярна.
Там же (в [27]) доказано, что при тех же ограничениях на измеримое пространство П слабая ВМО регулярность для пар обладает самодвой-ствешюстыо и делимостью, а также достаточна для хорошей аналитической интерполяции, и высказана гипотеза о том, что слабая ВМО-регулярность для пар эквивалентна обычной.
Итак, мы видим, что для решёток измеримых функций на окружности (в действительности на измеримом пространстве Т х 12, но роль пространства П в этих вопросах в какой-то мере вспомогательная) имеется развитая теория, в которой переплетены интерполяция аналитических подпространств типа Харди и фундаментальные свойства решёток,
Реграктность
(Ха,Уа)МХ.¥)
Хорошая комплексная интерполяция
<хА. уа>
Ы*0
Частичная ретрактность (ХЛ,Уд)в (X, У)
Гйм ч
• хПтМ) і
, ; (хИ.х^Хр^
І
Хорошая интерполяция (ХЛ,УА)
(ХО^.М/П)
Замкнутость
Хд+УдвХ+У
Хорошая вещественная интерполяция
(ха,уа)
І 1*0*)
Интерполяция аналитических пространств на окружности и ВМО-регулярносгь: что известно на момент написания работы. Пунктирные и точечные стрелки означают, что данный переход известен (или справедлив) только при некоторых ограничениях, либо лишь в отдельных нетривиальных случаях.
Введение
13
породивших эти подпространства, центральное место среди которых занимают различные варианты ГШО-регулярности. В части этой работы мы развиваем и дополняем упомянутую теорию, не покидая окружности. Мы докажем гипотезу, упомянутую в предыдущем абзаце (и даже более общее утверждение для пространств с мерой однородного типа, о котором написано ниже). Кроме того, мы обобщим теорему С на случай г = оо и на случай произвольною сг-консчного (не обязательно дискретного) измеримого пространства (П,/х) (что требует лишь изменения одной технической детали в оригинальном доказательстве в работе [50); это изменение, впрочем, но лежит на поверхности). При этом мы несколько разовьём технику работы с АК-устойчивостыо и ВМО-регулярностью из работ |50) и (27| и докажем, что в условиях теоремы С (без предположения о дискретности пространства П) ВМО-регулярность решётки X также эквивалентна АК-устойчивости нары (Л^/1), Loo 000))- Мы также приведем прямое доказательство С. В. Кислякова для случая г = оо в теореме С. Из этого случая легко получается следующее интедоснос следствие: если при некоторых дополнительных предположениях пара (Хд, Уд) является ретрактом (X, V') в катеогории пар банаховых пространств, т. е. пространства Хл и УА дополняемы в решётках X н У соответственно одним и тем же проектором, то пара (X, У) ВМО-рсгулярна. Это немного напоминает методы работы [211, где также использовалась дополняемость для перехода к ВМО-регулярности.
Мы приведём полное доказательство сформулированного в [22] утверждения о том, что хорошая интерполяция степени 0 < 0 < 1 пары весовых пространств Н7, па измеримом пространстве Тх Q влечёт ВМО-регулярность этой пары. До этого оно имелось в [23| лишь в случае одной переменной, т. е. когда измеримое пространство Q состоит из одной точки. Обобщение этого доказательства получается естественным, но не вполне тривиальным образом. Наконец, мы покажем, что условие АК-устойчивости пары (L^.), L«,), в которой фигурирует пространство Лебега Lp(.) с переменным показателем р(-), влечёт некоторые слабые условия гладкости типа логарифмического условия Гельдера для показателя р(-); в частности, из них следует, что для кусочно-логарифмически-гёльдеровых показателей р(-), 0 < ess inf р( ) < esssupp(-) < ос (например, для кусочно-постоянных показателей р(-))> рассматриваемая АК-устойчивость пары (Ц(.), Loo) эквивалентна отсутствию разрывов у по-
Введение
14
казатели /;(•), а значит, ВМО-регуляриооти решетки I*.,. Мы также приводим новые доказательства некоторых известных утверждений. К сожалению, на вопрос о необходимости условия ВМО-регулярности для хорошей вещественной интерполяции и общем случае пока ответ получить не удалось, однако разработанные методы также интересны в связи с некоторыми другими приложениями. Однако, главные, на взгляд автора, результаты работы состоят в том, что, как оказалось, можно покинуть окружность и развить содержательную теорию 13МО-рсгулярных решеток измеримых функций на пространствах с мерой однородного типа (например, на Кп). Приступим к описанию этой части работы.
ВМО-регулярность в решётках на пространствах однородного типа
Ценность упомянутых в предыдущем разделе результатов состоит ещё и в том, что ВМО-регулмрпые решётки (пока по-прежнему на окружности, точнее, на измеримом пространстве ТхО) встречаются удивительно часто. Сформулируем одно общее утверждение (которое упоминалось ранее), подтверждающее это, и в то же время дающее представление о том, как строить решётки, не являющиеся ВМО-регуляриыми (для этого удобнее всею добиваться нарушения условия 3 ниже). Предположим, что решётка X банахова и обладает свойством Фату. Пусть ещё зафиксировано число 0 < $ < 1.
Теорема А. Следующие условия эквивсьгентны.
1. Решётка X ВМО-регулярна.
2. Решётка X' ВМО-регулярна.
8. Для ессх достаточно малых чисел а, 0 < а < 1, оператор гармо-
В случае решёток на Тх П, разумеется, оператор гармонического сопряжении действует здесь по первой переменной. Тем самым выясняется, что условие ВМО-регулярности для решётки X тесно связано с хорошим поведением оператора гармон и ческою сопряжения на некоторых
пичсского сопряжения ограничен в просіщхінстве
Введение
15
решетках, производных от X, что делает класс В М О-регул ярных решёток интересным и вне связи с интерполяцией пространств типа Харди.
Теорема А — глубокий результат. Впервые он был доказан в (50|, причём одним из основных моментов в рассуждении была теорема Ки Фана-Какутани о неподвижной точке для многозначных отображений. Другим, как казалось, существенным моментом был комплексный анализ: хоти пространства пида Хл не входят в формулировку, в доказательстве использовалась сформулированная ранее теорема С. В настоящей работе мы, среди прочего, докажем теорему А чисто вещественпыми методами. Автор нашёл этот способ доказательства, решая (и решив) упомянутый рапсе вопрос о связи между слабой ВМО-регулярностыо и обычной. Самое важное, однако, состоит в том, что вещественные методы позволяют покинуть окружность и доказать результат для других пространств с мерой - таких, на которых естественно вводится класс ВМС). Сформулируем основной результат в случае пространства Еп. По аналогии с окружностью, назовём квазибаиахову решётку X измеримых функций на Еп ВМО-регулярной, если для всякой функции 0 ф / Є X найдётся такая мажоранта у ^ |/|, что \\у\\х ^ С\\/\\х и ||код||вмо < С. Мы по-прежисму предполагаем, что решётка X обладает свойством Фату; пусть, как и раньше, задано число 0 < /? < 1.
Теорема В. Следующие условия эквивалентны.
1. Решётка X ВМО-регулярна.
2. Решетка X' ВМО -регулярна.
3. Максимальный оператор Харди-Литлвуда ограничен в пространстве при всех достаточно малых значениях числа а,
О < а < 1.
4. Все сингулярные интегральные операторы, типа Кальдерона-Згіг-мунда ограничены в пространстве а^ при всех достаточно малых значениях а, 0 < а < 1.
5. Одно из преобразований Рисса