Дискретные неравенства Харди с переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................. 3
Глава 1. НЕРАВЕНСТВО ХАРДИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С МЕРАМИ .
§ 1.1. Постановка задачи и вспомогательные леммы .. 16
§ 1.2. Блочно-диагональный метод................... 19
§ 1.3. Случай А = V ............................... 20
§ 1.4. Неравенство Харди с тремя мерами ........... 23
Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
§ 2.1. Постановка задачи .......................... 26
§ 2.2. Случай 0 < р < д < оо ...................... 27
§ 2.3. Случай 0 < <? < р < оо ..................... 33
Глава 3. ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
§ 3.1. Предварительные результаты ................. 47
§ 3.2. Случай 0 < р < г/ < оо ..................... 52
§ 3.3. Случай 0 < <7 < р < оо ..................... 57
ЛИТЕРАТУРА .......................................... 65
ВВЕДЕНИЕ
Систематическое изучение неравенств началось с выходом в светиыне классической монографии Г.Г. Харди, Д.Е. Литтлвуда и Г. Полиа [11], где, в частности, рассматриваются две стандартные формы неравенства Харди при 1 < р < оо: дискретное, неравенство Харди
оо (л п \ Р , \р со
Т1=1 \ к— 1 / 4 ' 71=1
верное для произвольных последовательностей неотрицательных действительных чисел {аь}?0, и интегральное неравенство Харди
I {II ,тУ ^ У[шг^ (0.0.2)
выполненное для всех неотрицательных функций / на (0, оо), интегрируемых на любом интервале (0, х) для всех х > 0.
Для 0 < р < оо обозначим 1Р совокупность всех последовательностей а = вещественных чисел таких, что
«ill, - (Ё кг) ’ < °°.
INL :=sup|ft*|.
А;>1
Аналогично, Ьр состоит из всех измеримых на (0, оо) по Лебегу функций (классов эквивалентности но модулю равенства почти всюду) / = /(:?•) таких, что
li/Ik ••= (J \f{x)\pdx) < оо, 0 < р < оо,
1U» := esssup|/(x)|.
х€(0,оо)
-3-
При 1 < р < оо пространства 1р и Ьр являются линейными нормированными пространствами.
Определим линейные операторы
которые называются дискретным оператором Харди и интегральным оператором Харди, соответственно.
Отметим, что константа в обоих неравенствах (0.0.1) и (0.0.2)
является наилучшей из возможных. Из неравенств (0.0.1) и (0.0.2) вытекает, что операторы Харди Ни Н при р > 1 являются ограниченными линейными операторами, действующими из пространства 1р в 1р и из Ьр в Ьр, соответственно, и их нормы равны
В дальнейшем неравенства (0.0.1) и (0.0.2) были существенно обобщены и нашли применения во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Некоторые из этих обобщений и применений изложены в монографиях (5], [30] и [26], а также в историобиблиографической работе [25].
В литературе имеется гораздо больше результатов, касающихся обобщения интегральной версии (0.0.2). Эти два диаметральных случая смыкаются, когда рассматриваются неравенства с произвольными мерами •
Остановимся на развитиии результатов для дискретного неравенства Харди.
По аналогии с интегральным случаем возник естественный вопрос:
и
Бореля.
-4-
найти необходимые и достаточные условия на весовые неотрицательные последовательности {г*п}55-1 и такие, что неравенство
оо / п q / оо
£«. 2> -С ^а>п) (ао-3)
\&=1 / / \п=1
выполняется для всех произвольных неотрицательных последовательностей {ап}~=1 при фиксированных параметрах 0 < р, д < оо.
Первый результат в этом направлении получен К. Ф. Андерсеном и X. П. Хайнигом ([12], Теорема 4.1), которые в 1983 году показали, что если 1<р<<7<оои
/оо \ * / п \7
“Ч£“‘)
то неравенство (0.0.3) выполняется.
Кроме того, в 1985 году X. П. Хайниг ([22], Теорема 3.1) доказал, что если 1 < q < р < оо, £ := 1 — - и
ОО/ОО \ п / П \ q
^ИЕ ЕЧ E4-f/ ^ <оо,
\к= 1 \к=п / \к=1 / )
то неравенство (0.0.3) выполняется с константа С < q*(p')'?В.
В 1987-1991 Г. Беннеттом в серии работ [14], [15] и [16] представлена характеризация неравенства (0.0.3) практически для всех соотношений параметров р и q за исключением случая 0 < q < р < 1, где критерий имел неявный вид. Случай O<<7<I<P<00 независимо и альтернативны: способом был характеризован в 1994 М. С. Браверманом и В. Д. Степановы», [19]. В полном объеме задача о характеризации весового дискретного неравенства Харди для всех соотношений параметров р и q была решена М.Л.Гольдманом в 1998 [20] (см. также [1], [21]).
-5-
Сформулируем полученные указанными авторами результаты в виде следующей теоремы.
Теорема 0.1. (г) Если 1 < р < q < +оо, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда
I . .. . . . I
я
N \ ~р / N /к \ <?'
Л1 := !цр (Е ук~р') (Е им Е уп~р) ) < °°> (° 0-4)
1 / \*=1 \п=1
N>1
или
1 I
оо \ я / N \ 7
А2 := эир 1 ик I ( ^2 ук * ) < °°> (0.0.5)
М~1 \А:=Л/ ) \к= 1
ИЛИ
ОС \ 7 / ОО /оо
А3 := яир I 52 ик ) ^2 у1~р' 52 м" ] ) < °°' (°-0-6)
\Л^АГ / - \k=N \п=к
(гг) Если 0<р<1,р<<7< оо, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда
1
ОО \ с
А\ := вир (У] и* У^(к) < оо. (0.0.7)
*>* \£к )
(Иг) Если 1 < р < оо, д < р, и £ = 1 то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда
„ 1
/ у чЕу . г \ 7
/ОО /ОО \ р / п \ Р7 \
А5 := ЕЕ( Е ** Ч ] < оо- (0 0.8)
\п=1 \Ь=п / \*=1
ИЛИ
оо /оо \ « / г? \ 7
^:= I Е<р (Еи0 (Ё4"ч ) <о°- (о-0-9)
п=1 \Л=п / \£=1 /
-6-