Оглавление
Введение..................................................... 3
1 Метод фредгольмова отображения в теории нелинейных
краевых задач. 15
1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.............. 15
1.2 Схема Ляпунова - Шмидта (общая)........................ 17
1.3 Фредгольмовы функционалы............................... 20
1.4 Фредгольмовы уравнения с параметрами................... 22
1.5 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная).................... 23
1.6 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта........... 25
1.7 Дискриминантные множества.............................. 28
1.8 Алгоритм вычисления главной части ключевой функции и
ключевого уравнения, асимптотическое представление решений.................................................. 29
1.9 Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений......................... 31
2 Бифуркационный анализ фредгольмовых уравнений с многомерным вырождением при понижении симметрии параллелепипеда и нарушении потенциальности. 36
2.1 Вычисление главной части ключевой функции в случае ба-
зиса ритцевской аппроксимации, состоящего из собственных векторов........................................... 36
2
2.2 Вычисление главной части ключевой функции в случае базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из корневых векторов.................................................... 40
2.3 Построение базиса ритцевской аппроксимации, состоящего
из корневых векторов................................... 44
2.4 Бифуркационный анализ в случае особенности 2-мерной сборки................................................. 47
2.5 Строение ключевого отображения для слабо неоднородных
и слабо несимметричных уравнений....................... 53
2.6 Локальная параметризация дискриминантного множества для слабо неоднородных и слабо несимметричных уравнений в случае двухмодового вырождения........................ 56
Бифуркационный анализ двухмодовых прогибов слабо неоднородных упругих балок и пластин. 59
3.1 Двухмодовые прогибы слабо неоднородных упругих балок
на упругом основании................................... 59
3.1.1 Случай однородной балки.......................... 60
3.1.2 Случай слабо неоднородной балки.................. 65
3.1.3 Вычисление интегральных коэффициентов............ 67
3.1.4 Примеры описания каустик......................... 71
3.2 Двухмодовые прогибы слабо неоднородных упругих балок на упругом основании в условиях нарушения потенциальности....................................................... 73
3.2.1 Случай однородной балки.......................... 74
3.2.2 Прогибы неоднородной балки в условиях нарушения потенциальности..................................... 81
3.3 Двухмодовые прогибы слабо неоднородной упругой пластины Кармана.......................................... 85
3.3.1 Однородная упругая пластина...................... 85
3.3.2 Неоднородная упругая пластина..................... 87
3.3.3 Вычисление интегральных коэффициентов............. 90
3.3.4 Случай нарушения потенциальности.................. 94
Литература...................................................102
4
Введение.
Тема диссертации связана с актуальной, но мало исследованной проблемой "многих мод" , под которой подразумевается задача бифуркационного анализа упругих систем вблизи критических состояний с многомерными вырождениями (с вырождениями по нескольким модам). Акцент сделан на слабо непотенциальные системы.
Типичные упругие системы являются, как правило, консервативными и поэтому соответствующие модельные краевые задачи допускают применение вариационных методов [12], [13], [21], |52]. Но иногда приходится рассматривать упругие системы, находящиеся под воздействием некон-сервативиых сил [5]. В таких случаях соответствующие краевые задачи не являются вариационными и для.их исследования требуется применение "общих" методов анализа (непотенциальных) уравнений. В случае же слабо иепотенциальных систем (мало возмущенных потенциальных) имеется возможность использования тех разработок, которые существуют в потенциальном случае.
В данной диссертационной работе рассмотрены два модельных примера слабо иепотенциальных краевых задач теории упругих балок и пластин. В их исследовании использованы конструкции общей теории нелинейных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах [б], [28], [48], позволяющие осуществлять полное решение задачи о бифуркации прогибов упругих систем из критических состояний с многомерными вырождениями. Под полным решением бифуркационной задачи подразумевается: описание (локальное) топологии дискриминантных множеств (для соответствующих уравнений равновесных состояний упругих систем), описание всех допустимых наборов бифурцирующих прогибов и получение асимптотических формул для ветвей бифурцирующих проги-боз.
Автор диссертации в своих исследованиях отталкивался от работ Д.В.
5
Костина [33], [34], в которых был предложен алгоритм вычисления формул асимптотического представления ветвей равновесных конфигураций слабо неоднородных упругих балок и пластин на упругих основаниях вблизи критических состояний с двухмодовыми вырождениями. Для соответствующих функционалов энергии ему удалось описать строение каустик (дискриминантных множеств уравнений прогибов) и проанализировать влияние характера неоднородности на формы прогибов.
Автором диссертации рассмотрен другой тип возмущения уравнений равновесий балок и пластин, связанный с нарушением потенциальности уравнений [71] и понижением симметрии [72]. Предложенный в диссертации вычислительный алгоритм использует элементы вычислительного алгоритма Д.В. Костина и фактически является его обобщением и развитием.
Количество "управляющих" параметров в рассмотренных здесь уравнениях больше, чем в аналогичных уравнениях, рассмотренных в работах [30]-[34].
В диссертации рассмотрены примеры модельных уравнений, в которых сочетаются два типа возмущений, связанных с нарушениями однородности и потенциальности. Первый пример относится к теории упругих балок, в нем рассмотрено уравнение
х € [0, тг], при локализизации параметров к — 5 + £1, а = 4 4- £2, = q(x) := 1 -Ь^о 70е) (£>Фь^1>^2 — малые параметры) при краевых
условиях
где ю — функция прогиба (уравнения подобного рода можно рассматривать также на произвольном отрезке [а, 6]). Второй пример относится к теории упругих оболочек: рассмотрено обобщенное уравнение Кармана
ТО(0) = ^(0) = = = °’
(у2)
6
для равновесных конфигураций прямоугольной пластины
A(qAw) - [w, ip] 4- Xwxx 4 ewx = Aip 4 ~[г^, w] = 0, x, у € П„, (v3)
q — q(x,y) := 1 4- 5o'y(x)y)i при краевых условиях
w = Aw = tp = = 0|па: Па = [0, a] x [0, lj. (t»4)
Через w и ip обозначены функции прогиба и напряжения пластины (длинны а и ширины единица), Д — гармонический оператор Лапласа, [w, ip] := WxxVyy + ЩуРхх - 2 wXy(pxy, Л — параметр нагрузки.
Потенциальные краевые задачи теории упругих систем допускают, при соответствующих операторных трактовках уравнений, постановку в виде вариационной задачи
V\(x) —♦ inf,
в которой V\(x) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функци-оналов (3], [35], [58], заданное на банаховом пространстве Е, А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). Фред гол ьмовость функционала означает, по определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения /д : Е —* Е, где F — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение
^(x)h = (f(x),h),
где (•, •) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Я, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, F, Я}, и используется обозначение f — gradV.
7
В рассмотренных примерах имеется нарушение потенциальности и соответствующее операторное уравнение приобретает следующий вид:
f(x) := grad V(х) + е Щх) = О
(параметры здесь опущены).
Безусловно, 11 функционально-операторная оболочка" придаст представленному здесь подходу универсальность и широту, выводящие разработанную методику исследований за рамки, очерченные рассмотренными примерами.
Анализ уравнения осуществлен посредством "двумерного усечения" — сведением (методом Ляпунова-Шмидта) к изучению ветвления решений ключевого уравнения на координатной плоскости
0(С А,е) := grad W(S, А) + Не(0 = О, £ е R2, где W(£, А) — ключевая функция, отвечающая функционалу
— потенциалу исходного уравнения при г = 0. Слагаемое #£(0 — неио-теициальное отображение (возмущение).
Так как исходное уравнение нечетно и нарушение потенциальности происходит лишь за счет внесения в него малого несамосопряженпого линейного слагаемого Ве(х) то ключевое уравнение приобретет
малое неиотенциалыюе слагаемое #с(£)> главная линейная часть которого (по управляющему параметру е) является галеркинской аппроксимацией (по модам е^).
Структура ключевой функции двух и более переменных в задачах о прогибах балок и пластин ранее исследовалась в работах Б.М. Дарин-ского, К).И. Сапронова [20] и Д.Б. Костина.
Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новой модификации бифуркационного анализа нелинейных краевых за-
8
дач теории упругих систем, приспособленную для применения в условиях понижения дискретной симметрии и нарушения потенциальности. Достижение цели осуществлено через разработку нового вычислительного алгоритма, локальное описание геометрии сечений дискриминантных множеств, классификацию раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций и получение формул асимптотического представления ветвей бифурцирующих конфигураций.
В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляют модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Разработана новая модификация спектрального метода Ляпунова-Шмидта, приспособленная для бифуркационного анализа слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений в условиях двухмодового вырождения и понижения симметрии; описано строение главной части ключевого уравнения.
2. Получена локальная параметризация дискриминантных множеств (для параметрических семейств слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений) в условиях двухмодового вырождения; получены графические изображения 2(1- и 3(/-сечений дискриминантных множеств и получено описание раскладов бифурцирующих решений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.
3. Выведена асимптотическая (по закритическим приращениям пара-
9
- Київ+380960830922