След и представления элементов С*-алгебр комбинациями специального вида

Оглавление
Обозначения 4
Введение 7
0.1 Актуальность, проблематика и цели работы............... 7
0.2 Содержание диссертации................................ 12
0.3 Основные результаты, полученные в диссертации......... 18
0.4 Апробация работы...................................... 20
1 Представления элементов С*-алгебр комбинациями специального вида 24
1.1 Определения, обозначения и предварительные сведения . 29
1.2 О представлении элементов алгебры фон Неймана в виде конечных сумм произведений проекторов..................... 41
1.3 Представление косоэрмитовых элементов алгебры фон Неймана в виде конечных сумм коммутаторов проекторов . . 61
1.4 Представления коммутаторами проекторов: конечномерный случай................................................ 70
1.5 Проекторно-выпуклые комбинации в С*-алгебрах со свойством унитарной факторизации.............................. 77
1.6 Проекторно-выпуклые комбинации в С*-алгебрах и проблема инвариантного подпространства....................... 81
2 Перестановочность проекторов и характеризация следов на С'-алгебрах 90
2.1 Новые признаки коммутирования проекторов............... 94
2.2 Характеризация следа на алгебре фон Неймана............111
2
2.3 Характеризации следов неравенствами Пайерлса-Боголюбова
и Араки-Либа-Тирринга.................................126
2.4 Характеризации следов неравенством Юнга
и неравенствами монотонности для степенных
функций...............................................136
2.5 О проблеме У. Хаагерупа о еубаддитивных весах на И7*-
алгебрах..............................................143
3 Интегрирование относительно следа и топология сходимости по мере на полу конечной алгебре фон Неймана 150
3.1 Об одном свойстве некоммутативных /^-пространств . . 153
3.2 След и слабая мажоризация на полуконечных алгебрах
фон Неймана...........................................158
3.3 Об одной лемме Ф. А. Березина.........................162
3.4 О минимальности топологии сходимости но мере на конечных алгебрах фон Неймана................................169
3.5 Непрерывность умножения для двух топологий, ассоции-
рованных с полуконечным следом на алгебре фон Неймана180
3.6 Свойства топологий tTi и tWTi локальной сходимости по мере 186
3.7 Характеризации конечных, счетноразложимых, непрерывных, атомических и конечномерных алгебр фон Неймана 197
3.8 Мажорируемая сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана и свойство Банаха-Сакса.................211
Список публикаций автора по теме диссертации и литература 227
3
Обозначения
А - замыкание множества Л\
Ьіпц^Л - вещественная линейная оболочка множества Л\
Ті - гильбертово пространство;
{£,77) - скалярное произведение векторов £, rj из Ti\
I - тождественный оператор в пространстве Ti\
B(Ti) - алгебра всех ограниченных операторов в Н]
JC(H) - идеал всех компактных операторов в 3(H)] tr - канонический след на В{Н)\
- последовательность 5-чисел оператора X Є В(Н)\
(1 < Р < оо) - идеал Шэттена-фон Неймана в В{ТІ)\
(т(Х) - спектр оператора X € В(Ті)\
X о Y - йорданово произведение операторов X, У Є В(Н)\
[Х,У] - коммутатор (лиево произведение) X, У € В(Н)\
Ran {А) - множество значений оператора А\
Кег (А) - нулевое подпространство (ядро) оператора А\
Дпог - множество нормальных элементов С'-алгебры Л\
Asa - множество эрмитовых элементов С*-алгебры А:
ЛчЬ - множество косоэрмитовых элементов С*-алгебры А\
А+ - конус положительных элементов С*-алгебры А\
Арг - множество проекторов С*-алгебры А\
A'd - множество идемпотентов С’-алгебры А\
Л1<і+рг - множество всех неупорядоченных пар из ,4ld, один из элементов которых является проектором;
4
Аьр - множество полуортогональных проекторов С*-алгебры А\
Ап - множество унитарных элементов унитальной С*-алгебры А:
Авут - множество симметрий унитальной С*-алгебры А\
Ату - множество обратимых элементов унитальной С*-алгебры А\
АТ - идеал области определения следа т на С*-алгебре А\
Аг - г-шар алгебры А в С*-норме || • ||;
Р1- = I - Р для Р е А'(\ где I - единица унитальной алгебры А]
Р ~ (3 (соответственно, Р < С2) для Р, (3 е Арг Р = и* и и <3 = £/£/* с некоторым и е А (Р ~ Я для некоторого Я < <Э> Я € *Дрг);
V - коммутант подмножества V С В(Н);
{7г, 5э} - универсальное представление С*-алгебры А\
М = 'п(А)" - универсальная обертывающая алгебра фон Неймана С*-алгебры А;
С*(Т>) (соответственно, IV*(V)) - унитальная С*-подалгебра (подалгебра фон Неймана) в В(Н), порожденная множеством V С В(Н)\
2(Л4) - центр алгебры фон Неймана М;
М* - преддвойственное пространство алгебры фон Неймана М;
М.+ - конус неотрицательных элементов М*;
Мр - редуцированная алгебра фон Неймана, Р е Мрт\
£ - семейство всех счетноразложимых проекторов из М\ т - точный нормальный иолу конечный след на алгебре фон Неймана М\ М - *-алгебра всех т-измеримых операторов;
Л4о - идеал т-компактных операторов в М\
Р(М) - идеал элементарных операторов в М\
М ° - множество нормальных элементов *-алгебры М\
— sa -—'
M - множество эрмитовых элементов -алгебры М\
М* - конус положительных элементов *-алгебры М\
М0 - конус положительных элементов идеала Mq\
si(X) (соответственно, 5г(Аг)) - левый (правый) носитель X Є М\
fit(X) - невозрастающая перестановка оператора X Є М\
Мрг - множество всех Р Є Мрт с т(Р) < оо;
Ьр(Л4.т) - некоммутативное Lp-пространство Лебега (0 < р < со), ассоциированное с (М,т)\
tT - топология сходимости но мере т в *-алгебре М ;
Xi X - СХОДИМОСТЬ сети С М. к X Є М в топологии tT\
tTi - топология r-локальной сходимости по мере в М;
Xi X - сходимость сети {Xi}ieI С М к X Є JИ в топологии tTi\
txori - топология слабо т-локальной сходимости по мере в М\
Xi X - сходимость сети С М к X Є М в топологии tWT
Xi X - (о)-сходимость сети {Л*}іє/ С к X е М**]
Хі X (соответственно Xi X) - сходимость сети {Xi}ieI С Л к X Є М в сг-сильной (сг-слабой) операторной топологии;
Р= Д Рі Є Мрг определяется равенством PPL — р| Р(Н, {Рі}ієіСМ
iÇj ІЄІ
V Pi = (A Pi~)L - проектор на Lin [j P{H, {Рі}і<=і С .Mpr;
ІЄІ ІЄ/ ІЄ/
Mn(C) - полная матричная алгебра; p(f) = x/i(l - t) ДЛЯ 0 < t < 1;
Ç - класс всех измеримых вогнутых функций /: R+ —> Е с /(0) = С строго вогнутых на отрезке [0,1];
Ф - класс всех непрерывных возрастающих функций /: М+ —> Ш+ с /(0) = 0 и И m /(і) = оо.
Введение
0.1 Актуальность, проблематика и цели работы
Объектом исследования настоящей работы являются проблемы теории операторных алгебр и теории некоммутативного интегрирования.
Актуальность. Теория операторных алгебр занимает центральное место в арсенале средств современной математической физики и является быстро развивающейся областью исследований, для которой характерно тесное переплетение чисто математического и прикладного аспектов. Это обусловлено тем, что на языке алгебр операторов, их состояний, представлений и групп автоморфизмов удается описывать и исследовать свойства модельных систем с бесконечным числом частиц, изучаемых квантовой теорией поля и статистической физикой.
Основным объектом этой теории являются инволютивные топологические алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве. Основополагающими трудами явился цикл обширных работ Дж. фон Неймана по алгебрам операторов, замкнутых в слабой операторной топологии (30-40-е годы двадцатого века), часть из которых выполнена в соавторстве с Ф.Дж. Мюрреем. Такие алгебры (их вначале называли “кольцами операторов”) именуются теперь 1Т*-алгебрами или алгебрами фон Неймана. Алгебры, замкнутые в топологии нормы, или С*-алгебры, начали изучать в 1943 г. И. М. Гельфанд и М. А. Най-марк [39].
Теория алгебр фон Неймана получила развитие в работах Х.Дая,
7
И. Сигала, Ж. Диксмье, Ш. Сакаи, М.Томита, М.Такесаки, Ф. Комба,
A. Конна и др. и в настоящее время представляет собой обширную и интенсивно развивающуюся часть общей теории банаховых алгебр, богатую интересными и глубокими результатами и связанную со многими разделами математики, теоретической и математической физики. Одним из главных разделов этой теории является схема классификации алгебр фон Неймана, опирающаяся на понятие эквивалентности проекторов и на связанные с ним понятия конечного и бесконечного проекторов. Эти понятия позволяют построить теорию относительной размерности на множестве проекторов, определить конечные, полуко-нечные, собственно бесконечные алгебры фон Неймана и построить на этих алгебрах следы. Структура алгебр фон Неймана позволяет использовать геометрические и топологические методы при исследовании свойств этих алгебр, в то же время важные разделы теории алгебр фон Неймана (классификация проекторов, разложение по типам, полярное разложение, существование функции размерности) имеют чисто алгебраическое происхождение.
Йордановы алгебры самосопряженных операторов (JC- и ЛУ-алгебры) являются вещественными неассоциативными аналогами С*- и И/ж-алгебр; в настоящее время их теория продолжает интенсивно развиваться и находит интересные приложения во многих отраслях математики и квантовой теории. Впервые систематическое изложение теории ЛУ-алгебр было дано в 1965 г. Д.Топпингом [168], хотя алгебраические предпосылки уже имелись в работе Йордана-фон Неймана-Вигнера (70] и в работе фон Неймана [180]. Глубокие результаты в теории йорда-новых банаховых алгебр получили Е. Штёрмер, Е. Альфсен. Ф. Шульц, У. Хаагеруп, Ш. А. Аюпов и др.
При обычном походе, основы которого заложены в работах II. Дирака,
B. Гейзенберга. М. Борна и др., квантовомеханическим наблюдаемым сопоставляются эрмитовы операторы в гильбертовом пространстве квантовомеханических состояний [181]. При алгебраическом подходе вся-
8
кой квантовомеханической системе сопоставляется алгебра наблюдаемых, которая является бесконечномерным векторным пространством над полем действительных чисел, и в ней определены алгебраические операции, позволяющие любым двум наблюдаемым, взятым в определенном порядке, однозначно сопоставить третью наблюдаемую. Одна из таких операций - йорданово произведение наблюдаемых, которое при обычной формулировке квантовой механики равно полусумме двух произведений (эрмитовых операторов, соответствующих двум наблюдаемым), различающихся порядком сомножителей. Ключевую роль в алгебраической теории играет понятие состояния, определяемого как элемент векторного пространства, дуального к алгебре наблюдаемых. В изучении динамического поведения квантовомеханических систем важным является вопрос о сходимости (в том или ином смысле) чезаров-ских средних, составленных из сохраняющих меру преобразований (в частности, абсолютных сжатий) алгебры наблюдаемых, т. е. возникает потребность в различных эргодических теоремах в соответствующих алгебрах. Различные “некоммутативные” эргодические теоремы получили Я. Г. Синай и В. В. Аншелевич, Ш. А. Аюпов, М. Ш. Гольдштейн, Ф. Йедон, Р. Яйте и др.
Оформление общей теории интегрирования относительно унитарноинвариантных мер в полуконечных алгебрах фон Неймана было осуществлено И. Сигалом [149] в 1953 г. Он также осуществил вложение классической теории интегрирования на пространстве с мерой в построенную им схему интегрирования относительно нормального следа, в которой роль измеримых функций играют неограниченные измеримые операторы, присоединенные к алгебре. Теория Сигала нашла эффектные приложения в теории двойственности для унимодулярных локально компактных групп [154] и теоретической физике, инициировала целый поток исследований по “некоммутативной” теории вероятностей. Идеи и методы общей теории интегрирования относительно унитарно инвариантных мер позволили изучить важный класс стати-
9
стических задач, возникающих в теории квантовых измерений, и выходящих за рамки обычной постановки в терминах пространства элементарных событий. Это привело к созданию некоммутативной теории статистических решений. Последовательное построение этой теории осуществлено в трудах А. С. Холево. Дальнейший прогресс в теории некоммутативного интегрирования был стимулирован созданием фундаментальной теории Томита-Такесаки и исследованиями Ф. Комба по теории весов на алгебрах фон Неймана, что позволило описать некоммутативные ^-пространства, ассоциированные с произвольным точным нормальным полуконечным весом. Различные подходы к описанию таких пространств предложены в работах У. Хаагерупа, А. Конна, М. Хилсума, Н. В. Трунова, А. Н. Шерстнева, X. Араки, Т. Масуды, X. Косаки, О. Е. Тихонова (см. монографии [160], [215]). Отметим также исследования Ш. А. Аюпова и И. В. Трунова, связанные с построением теории неассоциативного интегрирования на йордановых алгебрах.
Одновременно с развитием теории некоммутативного интегрирования для весов и неограниченных мер на проекторах продолжались исследования различных классов банаховых и ^нормированных пространств измеримых по Сигалу операторов, являющихся некоммутативными аналогами классических идеальных функциональных пространств: /^-пространств Лебега, пространств Орлича, Лоренца, Мар-цинкевича. Изучались топологии и сходимости, связанные со следом на алгебре фон Неймана. Некоммутативные симметричные пространства измеримых операторов исследовали В. И. Овчинников, Ф.Йедон,
В. И. Нилин, М. А. Муратов, X. Косаки, Ф. А. Сукочев, П. Доддс, Т. К. Доддс, Б.деПагтер и др. В случае алгебры В(^Н) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н класс некоммутативных симметричных пространств совпадает с классом симметричных идеалов компактных операторов, теория которых получила развитие в работах Р. Шэттена, И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна, Б. Саймона, М. Ш. Бирмана, М. 3. Соломяка, С. Квапеня, А. Пелчиньского, Дж. Арази, Ч. Макка-
10
рти, Дж. Линденштраусса и др.
Ф. Йедон [68] определил алгебру локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана и ввел в ней топологию сходимости локально по мере и сходимость локально почти всюду. Сходимость по мере впервые появилось в [149] как ^-сходимость к сходимости почти всюду. Свойства топологий сходимости по мере и локально но мере исследовали также В. Ф. Стаинспринг, Е. Нельсон, Ф. Йедон,
О. Е. Тихонов, М. Терп, В. И. Чилин, М. А. Муратов, Т. Фак, X. Косаки, Ф.А. Сукочев, П. Доддс, Т. К. Доддс, Б.деПагтер, Л.Циах и др. В по-луконечном случае сходимость локально по мере совпадает с грубой сходимостью, введенной в [154]. М. А. Муратовым рассмотрены двусторонние сходимости по мере и почти всюду и установлены их связи с (о)-сходимостью. Ш. А. Аюпов и Р. А. Абдуллаев исследовали топологию сходимости по мере, ассоциированную со следом на йордаиовой алгебре.
Исследования по задачам характеризации следов в классе нормальных весов или функционалов на алгебрах фон Неймана начались в 70-е годы двадцатого века; интересные результаты получили М. С. Матвей-чук, Л. Т. Гарднер, X. Упмайер, Г. К. Педерсен, Е. Штёрмер, Ш. А. Аюпов, Д. Петц, Я. Земанек, О. Е. Тихонов. А. Н. Шерстнев, Т. Сано, Т. Ят-су, ДииьЧунгХоа, К. Чо и др. Недавние продвижения в теории сингулярных следов на идеалах компактных операторов и важные приложения этой теории в некоммутативной геометрии (см. обзоры [82], [86]) привели к задачам характеризации следов в более широких классах весов на алгебрах фон Неймана. Кроме того, есть много внутренних нерешенных проблем теории операторов и теории некоммутативного интегрирования. Например, проблема существования инвариантного подпространства линейного оператора в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве и проблема У. Хаагерупа о том, будет ли каждый нормальный субаддитивный вес на И^-алгебре ст-слабо полунепрерывным снизу [185]. В § 2.5 диссертации дано положительное
И
решение проблемы У. Хаагерупа для случая абелевых И/*-алгебр. В общем случае проблема остается открытой.
Результаты, представленные в диссертации, продолжают исследования в выше перечисленных направлениях. Таким образом, важность решаемых в диссертации задач делает тему диссертации актуальной.
Цель работы. Основными целями настоящей работы являются:
1. Представления элементов широкого класса С*-алгебр в виде конечных сумм произведений проекторов из алгебры.
2. Получение новых характеризаций следов среди линейных функционалов или весов на С*-алгебрах неравенствами.
3. Исследование топологии сходимости по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана и получение новых характеризаций основных типов таких алгебр.
0.2 Содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. В диссертации для лемм, предложений, теорем, примеров, замечаний принята тройная нумерация. Первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер параграфа и третья - помер утверждения внутри параграфа.
Во введении приводится общий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, указываются цели, преследуемые автором при написании работы, перечисляются основные результаты, полученные автором, приводится краткое изложение содержания работы.
Глава I содержит шесть параграфов и посвящена представлениям элементов С*-алгебр в виде конечных сумм произведений проекторов.
В параграфе 1.1 приводятся необходимые сведения из теории операторных алгебр и теории некоммутативного интегрирования относительно полуконечного следа на алгебре фон Неймана.
В параграфе 1.2 двумя различными способами доказано, что если
12
алгебра фон Неймана М. имеет правильный тип (соответственно собственно бесконечна), то каждый оператор X £ М представляется в виде конечной суммы X = Хк, где каждое Хк есть произведение не более, чем трех (соответственно двух) проекторов из М (теорема 1.2.1). Все утверждения неулучшаемы по числу сомножителей. Наименьшая верхняя граница, равная трем, связана с существованием нетривиального конечного следа на конечных алгебрах правильного тина.
Ключевым моментом в доказательствах является найденное в |133, теорема 4] представление элементов собственно бесконечной алгебры фон Неймана М в виде суммы пяти идемпотентов из М. Для алгебры фон Неймана правильного типа доказательство опирается на новое представление операторов в виде конечных сумм попарных произведений проекторов и идемпотентов (лемма 1.2.6).
Из теоремы 1.2.1 вытекают новое доказательство основного результата [212] (см. следствие 1.2.11) и описание йордановой структуры эрмитовой части алгебры фон Неймана (“алгебры наблюдаемых” квантовой механики) в терминах проекторов (т. е. “вопросов” квантовой механики), см. следствие 1.2.13.
Показано, что для произвольной С*-алгебры А с нетривиальным конечным следом множество всех конечных сумм попарных произведений проекторов и полуортогональных проекторов (взятых в любом порядке) из А с положительными числовыми коэффициентами не плотно в А (теорема 1.2.18).
В параграфе 1.3 доказано несколько утверждений о следах и коммутаторах идемпотентов в С*-алгебрах. Некоторые из них усиливают и/или уточняют известные результаты. Показано, что если А - уни-тал ьная С*-алгебра, Р, С} £ Дрг и [Р. 0\ обратим, то и Р о § обратим (теорема 1.3.6). С использованием основного результата параграфа 1.2 - теоремы 1.2.1 - доказано, что каждый косоэрмитов элемент собственно бесконечной алгебры фон Неймана представляется в виде конечной суммы коммутаторов ее проекторов (теорема 1.3.7). В частности, при
13
dim Ті = oo каждый оператор X Є В(Н)^ представляется в виде конечной суммы коммутаторов проекторов. Для сепарабельного Н приведено второе доказательство этого утверждения.
В параграфе 1.4 для полной матричной алгебры в терминах конечных сумм коммутаторов проекторов описано множество операторов с нулевым каноническим следом Lr и описана область положительности следа tr в терминах конечных сумм попарных произведений проекторов (теорема 1.4.2). Показано (следствие 1.4.4), что матрица X Є Mn(C)sa является действительной частью некоторой нильпотентной матрицы тогда и только тогда, когда
X = Y,i\Pk, Qk], Рк,Qk є M„(C)pr.
к
Доказано, что каждая матрица X Є МП(С) представляется в виде конечной суммы X — Xkt ГД° каждое Xk есть йорданово произведение проектора и идемпотента (теорема 1.4.6). Получены приложения к аппроксимативно конечномерным С*-алгебрам (следствия 1.4.5 и 1.4.7).
В параграфах 1.5-1.6 дано решение задачи о представлении элементов С*-алгебр в виде конечных сумм произведений проекторов для широкого класса С*-алгебр. В параграфе 1.5 с помощью индуктивного процесса (1.5.1) построено представление специального вида для элементов С*-алгебр из класса (UF) (алгебра фон Неймана М Є (UF) тогда и только тогда, когда М. не имеет прямых слагаемых конечного типа I (предложение 1.5.2)). Результат является новым и для алгебры
ту
В параграфе 1.6 установлено, что аналогичная задача для алгебры ІЗ (Ті) при 2 < dim Н < оо также имеет положительное решение (теорема 1.6.1). Тем самым дан положительный ответ на вопрос Д. X. Муштари и А. Н. Шерстнева.
Основные результаты по перечисленным темам опубликованы в статьях автора [ ЬЗ, Ь7. Ь8, Ь12, Ь21, Ь29, ЬЗЗ] и в совместной с А. Н. Шерст-невым статье [Ь6].
14
Глава II содержит пять параграфов и посвящена исследованию задач характеризации а) следа в классе всех весов на С*-алгебре; б) следовых функционалов в классе всех положительных линейных функционалов на С*-алгебре; в) коммутативности для С*-алгебр.
В параграфе 2.1 приведены новые признаки коммутирования проекторов (теорема 2.1.3). Найдены достаточные условия перестановочности проектора с унитарным или эрмитовым оператором (теорема 2.1.1 и предложение 2.1.2). Установлено необходимое и достаточное условие, при котором набор проекторов является попарно ортогональным (теорема 2.1.9).
В параграфе 2.2 получены характеризации следов различными неравенствами (теоремы 2.2.6, 2.2.8). В большинстве из них сработали признаки коммутирования проекторов из параграфа 2.1. Выдвинута одна гипотеза о характеризации следов среди всех весов на алгебре фон Неймана и доказана ее справедливость в широком классе весов (теорема
2.2.2).
В параграфе 2.3 получены характеризации следов неравенствами Пайерлса-Боголюбова и Араки-Либа-Тирринга (теоремы 2.3.2 и 2.3.6). В частности, дан положительный ответ на старый вопрос Я. Земаиека [67]. Найдено достаточное условие коммутативности С*-алгебры (следствие 2.3.7).
В параграфе 2.4 приведены характеризации следов неравенствами монотонности (теорема 2.4.4, следствия 2.4.5 и 2.4.6) и неравенством Юнга для степенных функций (теорема 2.4.1).
У. Хаагеруп в 1975 г. поставил следующую проблему: будет, ли каждый нормальный субаддитивпый вес па У/*-алгебре а-слабо полунепрерывным. снизу? В параграфе 2.5 дано положительное решение проблемы для случая абелевых ТЮ-алгебр (теорема 2.5.6) и найден общий вид нормальных субадцитивных весов на этих алгебрах (следствие 2.5.7). Также получено приложение к разложениям сублинейных ожиданий [99[ на измеримых функциях (следствие 2.5.9).
15
Основные результаты по перечисленным темам опубликованы в статьях автора [Ь2, Ь12, Ь14, Ы6, Ь17, Ы9, Ь20, Ь27], и в совместных с
О. Е. Тихоновым статьях [ЫО, Ь32), в совместной с А. С. Русаковым и
О. Е. Тихоновым статье [ЬЗО].
Пусть т — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана М. Глава III содержит восемь параграфов и посвящена изучению алгебраических, порядковых и топологических свойств идеальных пространств т-измеримых операторов.
В параграфе 3.1 получено положительное решение одной задачи А. Н. Шерстнева (1993): “Пусть Х,У € М+ и ХУ € ЬДЛфт). Будет ли Х1'2У Х1^2 принадлежать АДЛфт)?” (теорема 3.1.4). Установлено, что произведение неотрицательных т-измеримых операторов не может быть нильпотентом (следствие 3.1.7). В предложении 3.1.10 для X, У 6 М показано, что
ХУ 6 М0 Х^2УХ1/2 е М1 у!/2Ху1/2 €
В параграфе 3.2 выдвинута гипотеза о слабом спектральном порядке по Харди, Литтлвуду и Пойа, усиливающая теорему 3.1.4. Показано, что если эта гипотеза справедлива для каждой непрерывной полуко-нечной алгебры фон Неймана, то она верна для всех полукопечных алгебр фон Неймана. Доказана справедливость гипотезы для алгебры 8(Н), снабженной каноническим следом т = Ьт (теорема 3.2.3). С помощью этого результата установлено новое свойство вполне симметричных пространств на (#(7^),1г) (следствие 3.2.4).
В параграфе 3.3 получено усиление и обобщение (на все идеалы с унитарно-инвариантной нормой [43, гл. III, §2] в В{Н)) одной леммы Ф. А. Березина [15, гл. III. с. 146] в случае, когда оператор С ограничен (теорема 3.3.5). Найдено одно достаточное условие обратимости самосопряженного оператора (следствие 3.3.4).
В параграфе 3.4 доказана непрерывность естественного вложения метрического идеального пространства на конечной алгебре фон Ней-
16
мана М в *-алгебру измеримых операторов М с топологией tT сходимости по мере (теорема 3.4.4). С помощью этого факта установлено, что топология сходимости по мере является минимальной среди всех метризуемых топологий, согласованных со структурой кольца на М (теорема 3.4.7). Отсюда получается новое доказательство одной теоремы М. А. Муратова [118] (следствие 3.4.11).
В параграфе 3.5 доказано, что оба отображения X ХУ (при фиксированном У) и Y XY (при фиксированном X) tTi~ и tWTi-непрерывны на М (теорема 3.5.1). Получено обобщение “Основной леммы” теории проекционных методов [23, с. 18—19] на полуконечные алгебры фон Неймана (М,т) (теорема 3.5/2).
В параграфе 3.6 установлена непрерывность некоторых операций и замкнутость В ТОПОЛОГИЯХ tri и/или tyrri нескольких известных классов операторов в М (леммы З.б.З и 3.6.7). Доказаны аналоги “теоремы о двух милиционерах” и теоремы Вижье для монотонных сетей из М (лемма 3.6.4 и теорема 3.6.13). Описана область значений невозрастающих перестановок идемпотеитов относительно т (лемма 3.6.8). Показано, что если алгебра фон Неймана М бесконечна, то произведение не является совместно tri- и ^/-непрерывным из М х М\ в М (теорема 3.6.10).
В параграфе 3.7 получены характеризации конечных, счетноразложимых, непрерывных, атомических и конечномерных алгебр в классе всех полуконечных алгебр фон Неймана в терминах топологий t^i и tTi (теоремы 3.7.1 и 3.7.12). При доказательстве теоремы 3.7.1 установлена метризуемость этих топологий для конечной счетноразложимой алгебры М. Любопытно сопоставить этот факт с метризуемостью топологий сильной и слабой операторной сходимости на ограниченных подмножествах счетноразложимой (не обязательно полуконечной) алгебры фон Неймана [75]. Как следствие, результат дает новое доказательство одной теоремы Ю. И. Грибанова [44). Для полуконечных ал-
17
гебр фон Неймана получено частичное обобщение классической теоремы С. М. Никольского (“обратимый” + “компактный” = “обратимый” + “конечномерный” [121]). Для счетноразложимой алгебры фон Неймана показано, что (о)-сходимость последовательности проекторов влечет ее ^/-сходимость (теорема 3.7.9). Также получены усиления и обобщения некоторых других известных фактов.
В параграфе 3.8 доказано, что каждая порядково ограниченная последовательность г-компактных операторов обладает подпоследовательностью, средние арифметические которой сходятся по мере т (теорема
3.8.3). Доказан некоммутативный аналог леммы Пратта для пространства Ь\(М>т) (теорема 3.8.21). Результаты являются новыми даже для алгебры М — В(?{) линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Ц,, снабженной каноническим следом т = И. Получено приложение основного результата к пространствам Ьр(М,т), О < р < 1. Приведены примеры, показывающие необходимость перехода к средним арифметическим и существенность т-компактности мажорирующего оператора в теореме 3.8.3.
Основные результаты по перечисленным темам опубликованы в статьях автора [Ь1, Ь2, Ь4, Ь5, Ь9, Ы1, Ь15, Ь20, Ь22-Ь26, Ь28, Ь31, Ь34] и в совместной с Л. Л. Сабировой статье [Ы8].
0.3 Основные результаты, полученные в диссертации
Научная новизна. Все основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту, являются новыми. Перечислим эти результаты.
1. Получены представления элементов широкого класса С*-алгебр в виде конечных сумм произведений проекторов из алгебры. Доказано, что если алгебра фон Неймана М имеет правильный тип (соответственно собственно бесконечна), то каждый оператор X е М представляется в виде конечной суммы X = ^2кХк, где каждое Хк есть
18
произведение не более, чем трех (двух) проекторов из М. Показано, что каждый эрмитов (соответственно косоэрмитов) элемент собственно бесконечной алгебры фон Неймана представляется в виде конечной суммы йордановых произведений (коммутаторов) ее проекторов. Получены приложения к аппроксимативно конечномерным алгебрам.
2. Найдены новые необходимые и достаточные условия коммутирования проекторов в терминах операторных неравенств. Эти неравенства и неравенства Гёльдера, Коши-Буняковского- Шварца, Голдена-Томпсона применены для характеризации следа на алгебрах фон Неймана в классе всех положительных нормальных функционалов. Получена характеризация следа на алгебрах фон Неймана в терминах коммутирования произведений проекторов под знаком веса. Доказано, что каждое из неравенств Пайерлса-Боголюбова и Араки-Либа-Тирринга характеризует следы в классе всех положительных функционалов на С*-алгебре. Получено положительное решение проблемы У. Хаагерупа (1975) о нормальных субаддитивных весах для случая абелевых И/#-алгебр.
3. Установлены новые алгебраические, топологические и порядковые свойства некоммутативных /^-пространств и топологии сходимости по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана. Исследованы свойства топологий локальной и слабо локальной сходимости по мере. Получены характеризации конечных, счетноразложимых, непрерывных, атомических и конечномерных алгебр в классе всех полуконечных алгебр фон Неймана в терминах указанных топологий.
Методы исследования. Применены общие методы функционального анализа, теории операторных алгебр, спектральной теории для самосопряженных операторов и стандартные методы из теории топологических и метрических пространств. Использованы структурная теория алгебр фон Неймана, методы теории следов и весов на алгебрах фон Неймана и С’-алгебрах, теории некоммутативного интегрирования.
19
Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что:
- применяются проверенные, точные и строго обоснованные методы исследования:
- часть результатов диссертации являются обобщением полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях;
- некоторые утверждения имеют но два разных доказательства;
- все основные результаты диссертации доказаны и опубликованы.
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований в рамках теории операторных алгебр, изучении неравенств для операторов и следовых неравенств в теории некоммутативного интегрирования.
0.4 Апробация работы
Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались
- на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 1990-2011 г.г.;
- на Воронежских зимних математических школах в 1990. 2002 и 2007 г.г.; на XV конференции молодых ученых Московского государственного
университета в апреле 1993 г.;
- на международной конференции “Алгебра и анализ”, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева, Казань, 5-11 июня 1994 г.;
- на 2-й - 7-й и 9-й - 10-й международных Казанских летних научных школах-конференциях 15-22 июня 1995 г., 16-22 июня 1997 г., 13-18 сентября 1999 г., 27 июня - 4 июля 2001 г., 27 июня - 4 июля 2003 г., 27 июня - 4 июля 2005 г., 1-7 июля 2009 г., 1-7 июля 2011 г;
на международной конференции “XVII Seminar on Stability Problems of Stochastic Models”, Казань, КГУ, 19-26 июня 1995 г.;
20
- на международной конференции “Quantum Structures’96”, Technische Universität Berlin, Германия, Берлин, 29 июля - 3 августа 1996 г.;
- на 9-й Всероссийской межвузовской конференции, Самара, Самарский государственный технический университет, 25-27 мая 1999 г.;
- на международной научной конференции “Актуальные проблемы математики и механики” в НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева (Казань, 1-3 октября 2000 г.);
- па международной конференции “Quantum Structures V”, Int. Quantum Structures Association, Fifth Conference, Cesena-Cesenatico, Италия, 31 марта - 5 апреля 2001 г;
- на международной конференции “Kolmogorov and contemprorary ma-thematics”, посвященной 100-летию академика А. Н. Колмогорова, Москва, МГУ, 16-21 июня 2003 г.;
- на международной конференции “Linear operators and foundations of quantum mechanics”, посвященной 100-летию Джона фон Неймана, Венгрия, Будапешт, 15-20 октября 2003 г.;
- на международных конференциях “Operator Theory’20”, “Operator Theory’21”, “Operator Theory’23”, Румыния, Тимишоара, West University, 30 июня - 5 июля 2004 г., 28 июня - 4 июля 2006 г., 29 июня - 4 июля 2010 г.;
- на международной конференции “Актуальные проблемы математики и механики”, посвященной 200-летию Казанского государственного университета, Казань, 26 сентября - 1 октября 2004 г.;
- на международной конференции “Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ”, посвященной 100-летию академика С. М. Никольского, Москва, МИ РАН им. В. А. Стеклова, 23-29 мая 2005 г.;
- на международной конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященной памяти И. Г. Петровского, Москва, МГУ, 21-26 мая 2007 г.;
21
- на международной конференции “16th St.Petersburg summer meeting in Mathematical Analysis”, г. Санкт-Петербург, международный математический институт Эйлера, 25-30 июня 2007 г.;
- на международной школе-конференции “Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании”, посвященной 100-летию Башкирского государственного университета, г. Уфа, БашГУ, 1-6 октября 2009 г.;
- на международной конференции “Актуальные проблемы математики и механики”, посвященной 75-летию НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета, Казань, 10-16 октября 2009 г.;
- на международной научной конференции “Современные проблемы анализа и преподавания математики”, посвященной 105-летию академика С. М. Никольского, Москва, МГУ, 17-19 мая 2010 г.;
- на международной конференции “Banach spaces geometry”, г. Санкт-Петербург, международный математический институт Эйлера, 5-11 сентября 2010 г.;
- на Восемнадцатой Всероссийской Школе-Коллоквиуме по стохастическим методам, Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 1-8 мая 2011 г.;
на научных семинарах:
- Казанского математического общества (руководитель: профессор A.B. Сульдин) в октябре 1992 г.;
- Московского государственного университета (руководители: профес-соры А. Г. Костюченко, А. М. Степин и А. А. Шкаликов) в 1995 г.;
- Московского государственного университета (руководитель: профессор А. А. Шкаликов) в 1995, 2003 (24 октября) и 2005 г.г.;
- Московского государственного университета (руководитель: профессор А. Я. Хелемский) в 2005 г.;
- Московского государственного университета “Бесконечномерный ана-
22
лиз и математическая физика” (руководители: профессоры О. Г. Смоля-нов, Е.Т. Шавгулидзе), 21 февраля 2011 г.;
- Казанского государственного университета “Алгебры операторов и их приложения” (руководитель: профессор А. Н. Шерстнев), регулярно в 1990-2010 г.г..
Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 работы ([Ы]— [Ь34]), из которых 21 - в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов докторских диссертаций ([Ы]-[Ь21]).
Вклад автора в совместных работах. В [Ъ6] постановка (близкой) задачи об исчерпывании проекторпо-выпуклыми комбинациями алгебры В(Н), dim Н = сю, восходит к А. Н. Шерстневу. Ему же принадлежит определение 1.5.1 класса (UF). Результаты параграфа 2.4 получены совместно с О. Е. Тихоновым (|Ь10), [Ь32]); лемма 3.8/2, теорема
3.8.3, следствие 3.8.7, пример 3.8.13 а), лемма 3.8.14, теоремы 3.8.15 и 3.8.21 - совместно с А. А. Сабировой [Ь18]. Остальные результаты принадлежат автору.
Автор) выражает глубокую признательность своему научному консультанту Анатолию Николаевичу Шерстневу за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.
23