Геометрические и топологические аспекты интерполяционных пространств К-метода Петре

Оглавление
0 Введение 7
1 Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости 40
1 Интерполяция свойств Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости. 41
1.1 Предварительные сведения........................... 42
1.1.1 Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости. Необходимые условия .... 42
1.1.2 0 сходимости последовательностей вогнутых и
киазивогиутых функций........................ 47
1.2 Свойства банаховой пары, связанные со свойствами
(LUE) и {КК)....................................... 50
1.3 Интерполяция локальной равномерной выпуклости и
свойства Кадеца-Кли................................ 65
1.4 Случай К-интерполяционных функционалов Фр,г и 73
1.5 О свойствах (DGL) и Dj в конкретных парах, теорема
Дэвиса- Госсоба-JI и нден штраусса................. 78
2 Теоремы о перенормировках, порождающих свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости 82
2.1 История вопроса.................................... 82
2
2.2 Перенормировки интерполяционных пространств, порождающие свойства Кадеца-Кли или локальной равномерной выпуклости................................... 84
3 Слабая компактность в пространствах Лоренца и те
орема Фремлина 95
3.1 Введение и постановка задачи......................... 95
3.2 Слабая компактность в пространствах Лоренца ... 96
3.3 Критерий компактности в симметричных пространствах и теорема Фремлина................................ 104
4 О свойствах типа Кадеца-Кли в пространствах измеримых функций 107
4.1 Постановка проблемы и предварительные результаты 107
4.1.1 Введение..................................... 107
4.1.2 Предварительные сведения..................... 109
4.2 Строго К’-монотонные симметричные нормы............. 115
4.3 Тины представимости в пространствах Орлича и
свойство Кадеца-Кли относительно сходимости по мере 126
4.3.1 Введиепие и педварительные результаты ... 126
4.3.2 Условия и типы представимости 1°° в Ьм . . . 133
4.3.3 Свойство Кадеца-Кли относительно сходимости
по мере для Ьм................................. 136
II Обобщенные пределы и сингулярные симметричные функционалы 141
5 Сингулярные симметричные функционалы и обобщенные пределы с дополнительными свойствами инвариантности 142
5.1 Понятие сингулярного симметричного функционала (ССФ) 142
5.2 Необходимые условия существования ССФ......... 144
3
5.3 Связь с обобщенными пределами
146
6 Обобщенные пределы на пространствах ограниченных функций 154
6.1 Аддитивные и мультипликативные пределы Банаха . 154
6.2 Некоторые подмножества обобщенных пределов и обобщенные пределы с дополнительными свойствами инвариантности ......................................... 160
6.3 Аппроксимация пределов Банаха элементами пространства £I............................................... 165
7 Сингулярные симметричные функционалы на пространствах Марцинкевича 176
7.1 Секвенциальный подход к постоению ССФ на пространствах Марцинкевича.................................... 176
7.2 Функциональный подход к построению ССФ на пространствах Марцинкевича............................... 183
7.3 Полунормы, определяемые сингулярными симметричными функционалами.................................... 191
7.4 Новые классы симметричных пространств, допускающие существование сингулярных симметричных функционалов ............................................. 196
8 Измеримость по Л. Коыну в пространствах Марцинкевича 203
8.1 Определения и формулировка результатов............204
8.2 Технические результаты............................208
8.3 Сводка результатов и примеры..................... 211
9 Обобщенные функционалы Конна-Диксмье и свойство чезаровского предела 215
9.1 Функционалы Коина-Диксмье на пространствах Марцинкевича ............................................ 215
4
9.2 Свойство чезаровского предела и результаты, вытекающие из него............................................ 217
9.3 Свойство чезаровского предела и функционалы Конна-Диксмье..................................................220
10 Сингулярные симметричные функционалы и стабилизирующие подпространства пространства Марцин-кевича 222
10.1 Постановка задачи и формулировка результатов . . . 222
10.2 Пространство Уи(ф) и его свойства................227
10.2.1 Необходимое условие «^-стабилизации
и пространство Уи{'Ф) ..........................227
10.3 Измеримые элементы пространства Уг(ф)............233
10.4 Продолжение ССФ с Уи(ф) на все М(ф)..............235
10.5 Измеримость и стабильность для подмножеств множества ССФ Диксмье, заданных на Уи.................237
11 Аналог формулы Лидского для сингулярных симметричных функционалов 246
11.1 Аналог формулы Лидского на пространствах Марцин-кевича.......................................... 249
11.1.1 Формула Лидского для произвольного следа Диксмъе254
12 Теорема Й. Караматы и асимптотика полугруппы распространения тепла 256
12.1 Постановка задачи и формулировка результатов . . . 256
12.2 Доказательство теоремы 12.1.2........................ 262
12.3 Функции ДДи), <£*(£) и
доказательство теорем 12.1.3 и 12.1.5............264
12.4 Доказательство теорем 12.1.4,12.1.6 и формулы (12.1.11)267
13 Задание сингулярных симметричных функционалов на основе асимптотики ^-фз'нкции элемента простран-
5
ства 270
13.1 Альтернативное описание пространства Диксмье Ь\у00 270
13.2 Пространство 2Р, р> 1................................ 274
13.3 Асимптотика С-функции в окрестности нуля... 275
б
Глава О Введение
Диссертация посвящена рассмотрению геометрических и топологических свойств в пространствах, норма которых обладает свойством монотонности относительно частичного порядка, порожденного К- функционалом Я. Петре. Такие пространства являются интерполяционными для некоторой банаховой пары (Ео, Е{).
Говорят, что банаховы пространства Ео, Е\ образуют банахову пару Е = (Ео,Е\), если они непрерывно вложены в некоторое отделимое линейное топологическое пространство 8.
Положим || • ||,- = || * \\еп г = 0,1. Так как Ео, Е\ являются подмножествами линейного пространства 8, то в этом случае естественным образом определены сумма 5(Е) = Ео + Е\ и пересечение /(Е) = Ео П Е\. Снабженные обычными нормами
|М1$(Е) = 1пЯ||ж°||о + \\х1\и : ж = ж° + ж1, ж0 € Ео, ж1 € Ег},
И*1|/(В) = тах{||ж||0, Иа^},
эти пространства являются банаховыми.
Определим для х Е 5(Е) и £ > О К-функционал К(Ь,х\Е) Я. Петре следующей формулой:
К(Ъ,х-,Е) = К(Ъ,х]Е0,Е1) = М{\\х°\\() + Щх1\\1: х = х°+х1у х'еЕ{).
Как правило, вместо К(Ь,х; Е) пишут К(1,х), если это не может привести к недоразумению. Ясно, что К(Ь, х) есть вогнутая, неубывающая, неотрицательная функция от £ > 0, /6(0,#) = 0 при каждом х Е Ец + Е\. В свою очередь, при каждом фиксированном £ > 0 функционал •) есть норма на 5(Е), эквивалентная исходной.
7
Пусть Р = (Ео,Е\), вообще говоря, другая банахова пара. Линейный оператор А, действующий из £(Е) в 3(Е), называется допустимым оператором (для этих пар), если, будучи суженным па Е{, он непрерывно действует из Е{ в Е{ с нормой ||А||,-, і = 0,1, не превосходящей
Множество всех допустимых операторов этих пар обозначим через С = С(Е,Р). Легко видеть, что для любого Л Є С справедливо неравенство
Пара банаховых пространств Е,Е : ЕцПЕ\ С Е С Е$ + Е\ и Ео ПЕ\ С
Е С Ро + Рь называется С- Интерпол я цинпой парой (для банаховых пар Е, Р), если для каждого допустимого оператора А € С(Е,¥) его сужение на Е действует из Е в Е с нормой, не превосходящей С. Если Е—Р, а Е = Е, то пространство Е называется интерполяционным пространством пары Е (с интерполяционной константой С).
Введем на Ео + Е\ отношение частичного порядка: х -< у тогда и только тогда, когда К(Ь,х) < К{Ь9у) при всех t > 0.
Норма пространства Е С Ео + Е1 называется /^-монотонной, если из х -< у всегда следует ||з:||д < \\у\\Е.
Из неравенства (0.0.1) немедленно вытекает, что всякое нормированное пространство с К-монотонной нормой является 1-интерполяционным. Такие пространства называются /^-Интерполяциоными пространствами Я. Петре.
Пара Е называется /Г-мопотонной, если все 1-интерполяционные пространства этой пары являются /^-интерполяционными.
Согласно теореме Кальдерона-Митягина [62], /^-монотонной парой, в частности, является банахова пара пространств Ь1,Ьос>, определенная на любом измеримом пространстве (П,Е,/х) с вполне сг-конечной мерой /I.
В этом случае соответствующий /Г-функционал имеет вид:
Здесь и ниже х* (5), в > 0, есть невозрастающая неотрицательная функция на положительной полуоси Е+ с обычной мерой Лебега т, равпоиз-меримая с модулем |х(а/)|:
1.
(0.0.1)
К(і,х) = К(і,х, Ь\, Ьоо) = £•*($) с/б*, £ > 0.
р{\х(и)\ > т} = га{ж*($) > г} при всех т > 0.
8
Если О = R.f и /х = m, то все 1-интерполяциоиные пространства пары (Li, L«,) являются К-интерполяционными и называются (вполне) сим-метричными пространствами |62].
Остановимся на симметричных (перестановочно-инвариантных) пространствах более подробно. Пусть 0 < a < оо, и пусть m означает меру Лебега на числовой оси. Банахово пространство (Е, || • ||я.) вещественных измеримых функций на интервале [0,«) называется симметричным пространством, если:
(i) Е есть идеальное пространство (то есть для любой измеримой на [0, о) функции ж, из у € Е, и 0 < |ж| < \у\ следует, что х Е Е и \\х\\Е < ||2/||д);
(ii) Е является перестановочно инвариантным: для любой измеримой на [0, а) функции ж, из у Е Е и ж* — у* следует, что х 6 Е и ||ж||Е = IML* Здесь ж*, как и выше, означает неубывающую, непрерывную справа перестановку функции ж, определяемую формулой
x*(t) = inf{ s > 0 : m({| ж |> s}) < t }, t > 0.
Всякое вполне симметричное пространство является симметричным. Обратное не верно. В основном мы будем иметь дело с вполне симметричными пространствами и, ради краткости, если это не может привести к недоразумению, будем называть их просто симметричными.
Основные свойства симметричных, вполне симметричных пространств и перестановок можно найти в монографиях [62, 36]. Мы пишем Ь\ = Li([0,a),m), Lqo = Loo([0,Qf),m), и рассматриваем пространства = Aoo([0,a),m) = Li П L«*, и Ai = Ai([0,a:),m) = L\ + L^, снабженные обычными банаховыми нормами. Тогда для любого симметричного пространства Е справедливы непрерывные вложения
Аоо С Е С Аь
Дуальное к Е пространство будет обозначаться через Е'. Пространство Е' состоит из всех измеримых функций у, для которых
/»ОО
IMU := sup{ / x{t)y(t)dt : х 6 Е, ||*||в < 1} < оо.
J о
Если Е* — сопряженное банахово пространство к Е1 то Е' С Е* и Е’ = Е* тогда и только тогда, когда || • ||Е имеет' иорядково непрерывную норму: из {хп} С E,xn 0, следует, что ||жп||к —> 0. Отметим, что норма симметричного пространства иорядково непрерывна тогда и только
тогда, когда Е сепарабельно. В этом случае я*(оо) = Нт*_юо х*{€) = О для всех X £ В.
Дальнейшие сведения о методе построения К-интерполяционных пространств и о симметричных пространствах измеримых функций мы будем напоминать по мере необходимости прямо в тексте.
Здесь же мы сформулируем постановку задач и дадим общее представление об основных полученных результатах.
Часть 1. Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости.
Глава 1 посвящена решению проблемы ,'ннтерполяп,ии,,своиств Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости. Она состоит из 5 разделов. В первом разделе приводятся определения ряда свойств, в терминах которых будет дано решение поставленной проблемы.
Банахово пространство (/£, || • |[) называется локально равномерно выпуклым (обладающим свойством (ЬиП.)), если для любых хи,х £ Е>п = 1,2,..., из ||жп|| \\х\\ и \\хп + ж|| 2||а;|| следует, что хп ->Е х (по
норме).
Пусть Г — отделимая топология линейного пространства Е, болсс слабая, чем ТОПОЛОГИЯ СХОДИМОСТИ ПО норме || *||я. Обозначим через Хп —>-7~ X сходимость последовательности {жп} С Е к х £ Е в топологии Т.
Нормированное пространство Е обладает свойством Кадеца-Кли на Ь С Е относительно топологии Т (коротко Е £ (ККт)\Ь), если для любых х,хп £ Ь из хп ->г я и ||яп||я ||ж||я следует, ЧТО Хп ->Е X.
Если Т есть слабая топология а(Е,Е*), то свойство {КК)р\Е принято обозначать просто (КК).
Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости относятся к многочисленному семейству геометрических свойств нормированных пространств, характеризующих округлость и гладкость его единичной сферы. На протяжении своей почти вековой истории они и близкие к ним свойства неизменно привлекали и привлекают к себе внимание многих исследователей. Так, в серии работ конца 50-х и середины 60-х гг. 20 века М. И. Кадед доказал ряд классических теорем об эквивалентных перенормировках сепарабельных банаховых пространств, порождающих свойства (КК) и (ЬПЯ). С помощью этих результатов ему удалось положительно решить проблему С. Банаха о гомеоморфизме всех сепарабельных банаховых пространств и получить изящное доказательство суще-
10
ст bob а ни я среднего значения абстрактных почти периодических функций.
В этапной работе Davis W.J., Ghoussoub N., Lindenstrauss J. A lattice renorming theorem and applications to vector-valued processes, Trans. Amer. Math. Soc. 263 (1981) для банаховой решетки с абсолютно непрерывной нормой была построена эквивалентная решеточная норма, обладающая свойством (LUR). Там же было дано применение этого результата для исследования векторнозначных случайных процессов.
В работах автора [20, 3, 8, 9] было показано, что предыдущие результаты и сама теорема Кадеца являются следствием более общего подхода, основанного на применении интерполяционного АГ-метода Я. Петре.
В работах Д. ван Дулста и Б. Симса, а затем Н. Каротеса, С. Дилворта, С. Лепнарда, Д. Траутмана и других авторов было показано, что банаховы пространства, обладающие в некоторой топологии более сильным — равномерным свойством (КК), обладают и важным для приложений свойством неподвижной ТОЧКИ (FP).
Говоря об актуальности первой части диссертации, нельзя не отметить особый вклад, внесенный в эту область польскими математиками X. Худ-зиком, А. Каминской и их соавторами. Ими получен широкий спектр первоклассных результатов о свойствах типа (UA), (LUR), (КК), а также ° других связанных с ними свойствах (например, о свойствах строгой и равномерно строгой монотонности) в банаховых решетках, в пространствах Орлича, Мусолака-Орлича, Лоренца и Кальдерона-Лозановского.
Отметим, наконец, важное для приложений современного функционального апализа направление, представляемое П. Доддсом, Ф. Сукочевым и В. Чилиным. Ими и их учениками получен целый ряд теорем о свойствах типа Кадсца-Кли и локальной равномерной выпуклости в некоммутативны х (операторных) симметричных пространствах. Именно в соавторстве с этими математиками были опубликованы результаты автора, относящиеся к проблеме интерполяции свойств (КК) и (LUR), а также о слабой компактности в интерполяционных пространствах [3, 21, 8, 9].
Нормированное пространство Е обладает свойством (Ст) полунепрерыв-ности (снизу) нормы Е па L С Е относительно топологии Т (коротко Е £ (СУ)|£), если для любых x,xn £ L из х„ —Ут х следует, что \\х\\Е < lim inf [I хп К к. Заметим, что (Ст)\Ь просто означает замкнутость в L единичного шара Е относительно секвенциальной сходимости в ro-
ll
пологи и Т.
Пусть F — банахова решетка. Говорят, что F обладает:
свойством (Л) — абсолютной непрерывности нормы (относительно порядка), если Vzn Е F, хп | 0 влечет )|тп|]/л —» 0;
свойством (С) — порядковой полу непрерывности нормы F, если из хп —> х по порядку следует, что \\x\\f < liminf ||z„||f;
свойством (LUSM) — локальной строгой монотонности нормы, если для всех 0 < Хп < X Е F ИЗ условия ||яп||.Г —> \\x\\f следует, ЧТО \\хп — x\\f —» 0;
Связь перечисленных выше свойств со свойствами Кадеца-Кли и (LUR) отражена в следующей теореме, суммирующей основные результаты первого раздела главы 1.
Теорема A i) Если нормированное пространство Е Е (КК'г)\Ь, то
Ее(Ст)\Ь.
ii) Если нормированное пространство Е Е (LUR)\L и Е Е (Cj-)\L. то Е Е (KKT)\L.
iii) Пусггь F — банахова решетка, тогда:
а) если F Е (LUR), то F обладает свойствами (А), (С) и (LUSM)\
б) если F Е (KKj), где Т — топология слабой или *-слабой сходимости, то F обладает свойствами (А) и (С).
iv) Пусть F есть банахово идеальное пространство на (Т, X). /г), тогда
в) если F Е (LUR), то кроме свойств из a) F обладает (С^), (С//х) и (KKifi), где и Ifi — топологии сходимости по мере и локально по мере.
В разделе 2 главы 1 исследуются свойства банаховой пары Е = (#0, #л), которые отвечают за наличие свойств (LUR) и (КК) в интерполяционных пространствах этой пары, полученных с помощью /Г-функционала Я. Петре.
Обозначим через Q конус неотрицательных вогнутых неубывающих функций f(t), t > 0,/(0) = 0 вместе с отношением естественного порядка, и пусть конус <Эо С Q состоит из непрерывных в нуле функций. Для каждого х Е £(Е) функция К(*,х) принадлежит Q, и для каждого t > 0 функционал A(t, •) является нормой на S(Е), эквивалентной исходной. Если при каждом t > 0 inf в формуле K(t,x) достигается на некоторых х^ Е Е^ х = Zo + Xi, то пара Е называется точной.
12
Далее 'Т будет обозначать отделимую линейную топологию на б'(Б), более слабую, чем топология, порожденная нормой.
Пусть Е — линейное подпространство £>(Е) и пусть 0 / Т С (0, со). Говорят, что банахова пара Е имеет свойство (Ср) па линейном подпространстве Е (обозначается Е 6 (Ср\Е)) относительно Т, если для любых хп,т Е Е, хп -Лр х* справедливо неравенство К(р,х) < 1ш1пЕГ(£,жП) для всех £ Е 'Г’.
Говорят, что банахова пара Е имеет свойство Ир па подпространстве Е, записывается Е € (Г>7 \Е), относительно Т, если из условий хи,х Е Е, хп —>р х и Е(£,хп) —У Е(£,о;) для всех £ Е Т следует, что хп —>■${&) х.
Теорема 1.2.1. Пусть Е = (Ео, Е\) — банахова пара, единичные шары пространств Еа^Е{ Т-замкнуты и хотя бы один из них Т-комиактен. Тогда пара Е точная, Е Е (Ср/Е) и справедливы следующие утверждения.
(1) Если Ео, Е\ имеют свойство (ККр), то Е Е (Еу^^Е)) относительно любого непустого подмножества Т С (0, оо).
(й) Если Ео имеет1 свойство (КЕр), то Е Е (Ор\Ец), относительно любого непустого подмножества Т С (0,оо), имеющего оо в качестве предельной точки.
(ш) Если Е\ имеет свойство (КК) относительно Т, то Е Е (Ер\Е{), относительно любого непустого подмножества Т С (0, оо), имеющего 0 в качестве предельной точки. (Здесь Е,- есть замыкание Е; в норме 5(Е)).
Определение 1.2.3. Пусть Е — линейное подпространство 5(Е) и 0 Т С (0, оо). Говоря!1, что банахова пара Е имеет свойство (ПСЬ) на подпространстве Е, обозначается Е Е (Е(5Х|Е), относительно Т тогда и только тогда, когда из условий х,хп Е Е,п = 1,2,...,
К(Ь,хп) —>п К(^х), К(^х + хп) —2К{Ь,х)
для всех £ Е Ту следует, что хп —>■ х в 5(Е).
Если (12, Р) — вероятностное пространство, то в упомянутой выше работе Девиса, Госсоба и Линднштраусса, предложение 1.1, неявно было доказано, что бапахова пара (1/1(12, Р), Еоо(12, Р)) обладает свойством (Е(7Е|£/1(12, Р)) относительно (0,1), что и послужило причиной такого названия введенного выше свойства.
Теорема .1.2.2. Если банахова пара Е = (Ео, Е\) является точной, то справедливы следующие утверждения.
13
(i) Если En, Ei локально равномерно выпуклые, то Е Є (jDGL|S(E)) относительно (0, оо).
(ii) Если Ец локально равномерно выпукло, то Е € (DGL\Eq) относительно любого множества вида (а.оо), где а > 0.
(iii) Если Ei локально равномерно выпукло, то Е Є (DGL\E\) относительно любого множества вида (0,а), где а > 0.
Предыдущая теорема показывает, что если одно или оба пространства банаховой пары обладают свойством (LUR), то сама банахова пара автоматически обладает определенным свойством (DGL). Однако, существуют точные банаховы пары, обладающие свойством (DGL), в то время, когда ни одно из пространств пары не имеет свойства (LUR). Например, ни одно из пространств Eq = L\\0,1), Е\ = LqJO, 1) не является локально равномерно выпуклым, но, как было сказано выше, эта точная пара имеет свойство (DGL) на Eq относительно (0,1). Ниже будет показано, что пары пространств Лоренца также обладают этим свойством.
Свойство (DGL) банаховой нары Е является ключевым в вопросе построения эквивалентных локально равномерно выпуклых норм. Так следующее предложение обобщает результат Дэвиса, Госсоба и Линденштра-усса, полученный ими для лебеговой пары L[0,1).
Предложение 1.2.4. Пусть L С S(E) — линейное подпространство, 0 ф Т С (0, оо) и Е Є (DGL\L) относительно Т. Тогда на L существует локально равномерно выпуклая норма, эквивалентная норме суммы 5(Е).
Пусть С — пространство непрерывных на [0,1] функций, а W.) С С пространство Соболева. Тогда, рассмотрев пару (С, W2l), получаем
Следствие 1.2.1. (Теорема Кадеца) Каждое сепарабельное банахово пространство допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.
В разделе 3 главы 1 мы развиваем общий метод интерполяции свойств локальной равномерной выпуклости и Кадеца-Кли. Пусть Qo,Q — конусы вогнутых функций, определенные выше, и пусть Q означает один из них или более широкий конус функций, заданных на [0, оо), и снабженный естественным частичным порядком.
Пусть Ф : Q —> [0,+оо] — функционал такой, что (а) Ф полуаддитивен и положительно однороден на Q; (Ь) Ф является монотонным на Q, то есть Ф(д) < Ф(/) для любых g,f Є Q таких, что g(t) < f(t) при всех
14
t > 0; (с) Ф не тривиален: 0 < Ф(Л) < оо, где Л(t) = min(l,£),£ > 0.
Каждый такой функционал Ф будет называться К- интерполяционным функционалом на Q. Обычно Ф есть норма идеального пространства, определенного на функциях из Q.
Пусть Е = (Ец,Еі) — банахова пара.
ЕФ = {х Є S(E) : Ф{К{-,х)) < оо}.
Снабженное нормой ||х||ф = Ф(ІІГ(*,х)), х Є Еф, пространство Еф
является интерполяционным пространством пары Е с интерполяционной константой 1.
К - Интерпол я цион ны й функционал Ф называется:
(a) порядковонепрсрывпым па Q, обозначается Ф Є (Л), если
f,U є Q, fn{t) -> о, для neex t > 0, Ф(/) < оо =і- Ф(тіп(/, /„)) -> 0;
(b) полунепрерывным снизу па Q, обозначается Ф Є (С), если
fn,f Є Q,fn(t) -> f(t) ДЛЯ всех t > 0, Ф(/) < ОО =» Ф(/) < Щпг1Ф(/п);
(c) старого монотонным на непустом множестве T Ç ÎR+, обозначается Ф Є (SM\T), если
f,9 Є Q, f <9 и / ^ g на T, Ф(з) < оо => Ф(/) < Ф(g).
Говорят, что функционал Ф имеет свойство (Но) на Q, обозначается Ф 6 (Но), тогда и только тогда, когда
/п,/ Є Q, fn(t) -> /(і), для всех t > 0, Ф(/) < оо,
ф(/п) ->п Ф(/) =► Ф(|/„ - /Г) 0,
где hA обозначает наименьшую вогнутую мажоранту h.
Если область определения функционала Ф содержит все функции вида I/—д\, где f,g Є 2, то говорят, что Ф имеет свойство (Hi), обозначается Ф Є (Ні), тогда и только тогда, когда
Л», / Є Q, fu(t) -> f(t), для всех t > 0, Ф(/) < оо,
Ф(/п) Ф(/) => Ф(|/п - /I) 0.
15
Теорема 1.3.1. Пусть Б = (Бо, БД — банахова пара, Т — отделимая векторная топология па *7(Е), более слабая чем нормированная топология, и пусть Ф — ^-интерполяционный функционал на конусе Я Я Если $ фТ С (0,оо) и
(i) Б Є (£?7-|Еф) относительно Т, Ее (СУ|Еф) относительно (0, оо):
(ii) Ф є (А), (С) и (ЗМ|Т);
(iii) Ф Є (#о) ИЛИ ф Є №)>
то Еф обладает свойством Кадеца-Кли относительно Т.
Следствие 1.3.1. Пусть Ф — Б-интерноляционный функционал на конусе 2 2 5 обладающий свойствами (і),(іі),(ііі) из теоремы 1.3.1.
Допустим, что единичные тары Бо, Б] секвенциально Т-замкнуты в 5(Е) и хотя бы один из них секвенциально Т-компактон. Если оба пространства Бо, Е\ имеют свойства Кадеца-Кли относительно 7~, то то же верно для интерполяционного пространства (Еф, || * ||ф).
Перейдем теперь к рассмотрению свойства (Ы1Я) локальной равномерной выпуклости. Говорят, что Б-интерполяционный функционал Ф на
конусе 2 обладает свойством (ЬиЩ) относительно непустого множе-
ства Т С (0, оо), обозначается Ф Є (Б£/Бо|Т), если для любых /«,/ Є 2 из условий
Ф(/п) ->п Ф(/), Ф(/„ + /) ->п 2Ф(/) < оо,
следует, что Ф(|/„ - /|л) ->п О, и /„(£) -> /(£) для всех £ Є Т.
Если область определения функционала Ф содержит все функции вида |/ — д|, где },д Є 2, то говорят, что Ф имеет (ЫЛ1\) относительно непустого множества Т С (0,оо), обозначается Ф Є (БС/і?,і|Т), если для любых /и, / Є 2 из условий
Щп) Ф(Л, Ф(/п + /) 2Ф(Я < ОО,
следует, что Ф(|/п - /|) О, и /п(£) -> /(£) для всех £ Є Г.
Теорема 1.3.2. Пусть Е = (Бо, Б]) — банахова пара, и пусть Ф — К-интерполяционный функционал на конусе 2 Я Ф* Если 0 ф Т С (0, оо) и
(i) Е Є (БСХ|Еф) относительно !Г,
(ii) Ф Є (Л) и Ф Є (6ТМ|Т),
16
(ш) ф е (ьив.0\т) или Ф <Е
то Бф локально равномерно выпукло.
В разделе 4 главы 1 рассмотрены два основных способа определения ДГ-интсрполяционных функционалов, встречающиеся в приложениях, и уточнены формулировки основных теорем об интерполяции свойств (КК) и (Ы1В), доказанные в предыдущем разделе.
I. Пусть сначала Р = (В, |( •((/?) — банахово идеальное пространство на пространстве с мерой (Т,р) и р — строго положительный вес на Т, где Т С представляет собой либо интервал (0, а) с 0 < а < оо и ц — мера Лебега ш, либо Т — счетное множество {£У1}пек С и
Возьмем в качестве б конус, порожденный всеми функциями вида к = \/ — д\ч где /,д£С^1\ определим на О функционал Фр,г5 полагая
где Хп ~ характеристическая функция множества В.
Пусть А = тш(£,1). Если 0 < ||А р ХтИ-р < сю, то есть К-интерполяционный функционал на б, порождающий /^-интерполяционное пространство Ел/?, состоящее из всех х Е Р(Е), для которых ||ж||ф :=
Г'
ФРчР(К{-9х)) < оо, где Б — произвольная банахова пара.
Известно, что в этом случае ЕЙ1р — банахово пространство. В частности, таковыми являются важные интерполяционные пространства Е0>р, 0 <
0 < 1, 1 < р < оо, состоящие из х £ £(Е), для которых конечен функционал
Здесь Т = [0,оо), Р = /^([О, оо)) и весовая функция р(£) = t 0 1^р для всех t > 0.
II. Рассмотрим второй метод построения интерполяционных функционалов Ф. Пусть О — определенное выше вполне симметричное пространство измеримых функций (Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука. 1978) на интервале I = [0, а), а < оо, снабженном обычной мерой Лебега. По определению таковым является идеальное, нормированное пространство С
/*(*„) = 1, п = 1,2
»**(/) = \\f pxAF, /еб,
17
вещественных у измеримых на I функций, норма которого на всех равноизмеримых функциях одинакова.
Такое пространство (7 обладает свойством мажорантпости Харди-Литтлвуда: для любых х,у из условия
которое коротко обозначается х -< у, следует, что ||ж|| < ||?/||. Как обычно, х* — невозрастающая перестановка функции |х|.
Вполне симметричное пространство 1-интерполяционно для пары (Li(/),L00(/)). Если и3x4 2/, У Ф * всегда следует, что ||ж||с < |M|g, то G называется строго ff-монотонным.
Пусть G — вполне симметричное пространство на [0,а), 0 < а < оо. Определим функционал Фа равенством Ф<?(/) = ||/;||со Для 1Jcex f Є Q-Легко видеть, что Фе есть К-иптсрноляциопный функционал. Стоит отметить, что любой К-интерполяционный функционал Ф на конусе Qo совпадает с Фа для некоторого вполне симметричного пространства G на М~ь. Действительно, в качестве G надо взять пространство G = Ьф, где L = (Li, Leo) на [0, оо).
В дальнейшем, ради краткости, будем обозначать пространство Ефс через Е<7, а его норму через || * \\eg-
В случае /{"-интерполяционных функционалов ФРіГі ®G-) следующая теорема показывает, что разнообразные условия, наложенные на Ф в основных интерполяционных теоремах предыдущего раздела, немедленно следуют из соответствующих свойств самих пространств Е, G.
Теорема 1.4.1.
(i) Пусть (F, || • ||/.*) — банахово идеальное пространство на измеримом пространстве (Т, /х), и пусть р —* строго положительный вес на Т.
(a) Если F имеет порядково непрерывную норму, то Фр$р G (А).
(b) Если норма F порядково полунепрерывна, то ФАр Є (С).
(c) Если норма F строго монотонна, то ФPtp Є (SM\T).
(d) Если F имеет свойство Кадеца-Кли для локальной сходимости по мере, то Фp%F Є (Hi).
(e) Если F локально равномерно выпукло, то Фр,г Є (LURi\T).
(ii) Пусть G — волне симметричное банахово функциональное простран-
ны)
18
ство на Т = (0, а), 0 < о: < оо с мерой Лебега т.
(a) Если норма (7 порядково полунепрерывна, то Фа Є (С).
(b) Если норма (7 строго К-монотонна, то Фа Є (ЭМ\Т).
(c) Если <7 и мест свойство Кадеца-Кли относительно локальной сходимости по мере, то Фа € (#о).
(с!) Если G локально равномерно выпукло, то Фа Є (Ьи Яо\Т).
Если (7 — симметричное функциональное пространство с порядково непрерывной нормой, то, в отличие от утверждения (і)(а) предыдущей теоремы, отсюда пе следует, что Фа Є (А). Однако, имеет место следующая
Теорема 1.4.2. Пусть (7 вполне симметричное банахово функциональное пространство на [0, а), 0 < а < оо с порядково непрерывной пормой.
(i) Если а < оо, то Ф^. Є (А).
(ii) Если а — оо и Є £ £і[0, оо), то Ф0 € (А).
Эти результаты позволяют легко переформулировать доказанные в предыдущем разделе теоремы для случая пространств вида и Е^. Для примера приведем здесь зри коротких утверждения.
Теорема 1.4.5. Пусть (Я, ]] • ](/,’) — банахово идеальное пространство на (Т, р) и р — строго положительный вес на Т. Если Я — локально равномерно выпукло и Е Є (2Х?Ь|Ер>/7) относительно Т, то пространство ЕАр локально равномерно выпукло.
Следствие 1.4.7. Каждое локально равномерно выпуклое пространство Банаха с безусловным базисом изометрически и дополняемо вкладывается в локально равномерно выпуклое пространство с 1-симмет-ричным базисом.
Следствие 1.4.9. Пусть С — вполне симметричное функциональное банахово пространство на [0, оо). Предположим, что С локально равномерно выпукло и что банахова пара Е является точной. Если Е[ локально равномерно выпуклы, и, если (і) С % или (іі) Е\ С Ео, или
(iii) Е Є (-О00), то Ес локально равномерно выпукло.
Здесь (Е°°) означает свойство Кадеца-Кли пространства Ео 4- ооЕ\ с нормой К(оо,х) относительно ТОПОЛОГИИ сходимости по норме К(19х). Если Ео = Ео+ооЕъ то говорят, что пространство Ео полно по Гальярдо относительно пары Е = (Ео, Е\).
В разделе 5 главы 1 показано, как применяется развитая теория для конкретных нар банаховых пространств, встречающихся на практике.
19
Такими являются пространство типа C.J1. Соболева и лебеговы пространства с весом. Показано, что для большинства из них ключевые свойства (DGL) и Dj легко проверяются. Показано, что для пар (LlWo, L\0l) и свойства (DGL) и Dr пе выполнены, а их интерполяционные пространства Еф не обладают свойствами (LUR) и К К. Это означает, что введенные нами свойства (DGL) и Dr, отвечающие за наличие свойств (LUR) и КК, не могут быть ослаблены.
Здесь же формулируется один из главных результатов, доказанных в работе |9].
Пусть Qo - множество всех вогнутых непрерывных неубывающих функций <р на [0,/), / < оо, для которых <р(0) = 0. Для каждого <р Є Qo рассмотрим симметричное пространство Лоренца:
= (х е Li + Loc : ||x||av = J x*(s)<p'(s)ds < oo Дуальным к пространством является пространство Марцинкевича:
Очевидно, что ipf Є Мер. Пространства А^ и Мг являются интерполяционными для пары (Li,Loo) с интерполяционной константой единица.
Теорема 1.5.1. Пусть <po(s) и <рj (5) — неубывающие вогнутые функции, чье отношение <fio(s)/<pi(.s), строго возрастая, принимает все значения от 0 до оо. Пусть Lo — множество функций на (0,оо), стремящихся к нулю на бесконечности. Тогда пространства А(^,), г = 0,1, являются полными по Гальярдо относительно пары пространств Лоренца (А(<^0), A(<^i)) на [0,оо), а сама эта пара обладает’ свойством (DGL) на Lo относительно множества Т = (0, оо) и свойством D°°.
Теорема справедлива также для операторных аналогов — некоммутативных пространств Лоренца. Эта теорема является широким обобщением результатов, полученных Дэвисом, Госсобом и Линдонштрауссом. а также Чилиным, Крыгиным и Сукочевым.
Глава 2 посвящена доказательству теорем об эквивалентаых перенормировках интерполяционных пространств, которые порождают свойства (LUR) и (КК) и при этом не нарушают 1-интерполяциониость.
АГ-интерполяционные функционалы Ф, Ф называются эквивалентными, если существуют константы 0 < с\ < с2 < оо такие, что СіФ(/) < Ф(/) < с2Ф(/) для всех / € Q.
20
Теорема 2.2.1 Пусть Б — банхова пара и пусть Ф есть /^-интерполяционный функционал, определенный на (?. Если 0 ^ Т С (0, оо) и (і) Б Є (2Хг£|Бф) относительно 71, (іі) Ф является порядково непрерывным и порядково полунепрерывным снизу на Сто существует интерполяционный функционал Ф, эквивалентный Ф и такой, что Еф локально равномерно выпукло.
Следует подчеркнуть, что теорема 2.2.1 не дает положительный результат для случая интерполяционного функционала вида Ф<?, где <2 — сепарабельное вполне симметричное пространство на [0, оо). Как было отмечено выше, такой функционал, вообще говоря, не является порядково непрерывным. Проблема доказательства существования эквивалентной [Ы111)-нормы для сепарабельных симметричных пространств на полуоси оказалась достаточно трудной. Тем не менее, эта проблема полностью положительно решена. В качестве первого шага в этом направлении мы отметим следующее утверждение.
Предложение 2.2.1. Пусть Е — банахова пара такая, что Б Є и Б Є {ЕОЦЕ0) относительно Т, где 0 ф Т С (0, оо). Если Ео является полным по Гальярдо относительно Е, то есть Ец = Ео + ооЕ] (с точностью до эквивалентных норм), то Ео допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.
Отсюда удается вывести следующий окончательный результат и важное следствие.
Теорема 2.2.3. Симметричное банахово пространство <7 на [0, а), а < оо допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму в том и только том случае, если это пространство сепарабельно. То есть в том и только том случае, если норма Є порядково непрерывна.
Отсюда и следствия 1.4.9 вытекает
Следствие 2.2.3. Пусть О — сепарабельное симметричное банахово пространство на [0,от), 0 < а < оо и пусть Б — банахова пара, Е € {БОЬ|ЕС) относительно Т = (0,а). Тогда, если выполнено одно из следующих условий
(і) а < оо, или, если а = оо, то Є % Ьр,
(И) а = со и Е\ С Ео;
(ііі) а = оо и Е € (£>°°),
то интерполяционное пространство Е6. имеет эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.
21
Глава 3 посвящена критерию слабой компактности в пространствах Лоренца и теореме Д. Фремлииа. М. Кадец заметил, что теоремы о наличии свойства Кадсца-Кли обычно оказываются связаны с некоторым признаком компактности. Поэтому в диссертацию включен критерий слабой компактности в пространствах Лоренца, обобщающий критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса для Ь\ и критерии слабой компактности в общих симметричных пространствах [21], аналогичные теореме Д. Фремлина. Сюда же относится критерий компактности множества допустимых операторов, действующих в парах банаховых пространств в слабой операторной топологии [1]. В качестве приложения этих результатов решена проблема отличия друг от друга свойств Кадеца-Кли относительно слабой и ослабленной топологии в сепарабельных симметричных пространствах (см. главу 4 ниже).
Последовательность множеств Qn 6 £, Qn+1 С Qm n = 1,2,... называ-
оо
ется стягивающейся, если PlQn = 0.
п=1
Теорема 3.2.1. Пусть (р 6 Ф и Е - замкнутый симметричный идеал в М^, содержащий у?'. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Если I < оо или 1 = ооп <р(оо) < оо, то множество Я С Лр относительно сг(Л^,Я) - компактно тогда и только тогда, когда ||®XQr>IU*
О равномерно по х Е Я для любой последовательности {Qn} С £, т(ф„) -> 0.
у?(^)
2. Если / = оо и lim —-— > 0, то множество Я С относительно
t—>оо £ ^
(т(А<р,Е) - компактно тогда и только тогда, когда ||^Хд„||л^ —> 0 равномерно по х Е Я для любой последовательности стягивающихся множест в Qn Е Е.
3. Если I < оо или / = оо и <р(оо) = оо и lim — 0, то множество
4 7 t-»oo £
Я С Ар относительно сг(Ар,Е) - компактно тогда и только тогда, когда Нж*Хс?„||лу, —> 0 равномерно по х Е Я для любой последовательности стягивающихся множеств Qn € Е.
Замечание 3.2.1. Свойство 1. равносильно тому, что для любого е > 0 найдется такое S > 0, что ||я*Х[о,$)||л*, < £ для всех х Е Я.
Замечание 3.2.2. Если I = оо, lim > 0 и Н = {X[n,n+i)}» то для Я
С ) оо ^
выполнено свойство 3., но не выполнено 2. при Qn = [п, оо),п = 1,2,....
22
Из сделанных замечаний и теоремы 3.2.1 непосредственно вытекает Следствие 3.2.1. В условиях теоремы 1 во всех случаях, кроме I =
ос, lim ^" > 0 множество Н С Ау> относительно а(Л^, Я) компактно t—>оо t
тогда и только тогда, когда таковым является множество Н* — {а:*, х Е #}. В случае I = оо, lim > 0, это условие является необходимым,
I—>оо t
но не достаточным.
Первые разделы главы 4 посвящены выяснению необходимых и достаточных условий существования свойств Кадеца-Кли относительно различных топологий в симметричных пространствах измеримых функций на [0,<т), a < оо. В частности, из ее результатов следует, что условия, наложенные на К- интерполяционный функционал Ф в интерполяционных теоремах первой главы, нельзя ослабить. Здесь упомянем следующие результаты.
Следствие 4.1.1. Для любого ip £ Ф, пространство Лоренца А^ обладает (равномерным) свойством Кадеца-Кли относительно сходимости по мере.
В качестве применения следствия 4.1.1 дана следующая характеризация сходимости но норме в произвольном пространстве Лоренца.
Следствие 4.1.2. Пусть А^, произвольное пространство Лоренца на [О, от) и пусть х £ ЛL , {х„} С Av, Тогда следующие утверждения эквивалентны.
(О- IK - -»о-
(ü). {ж„} сходится к х по мере и в слабой топологии <т(Л^, Л'^).
Пусть Лоо = Li П Loo.
Сформулируем основной результат этого раздела.
Теорема 4.2.1. Если (Е, || * J|fc.) — сепарабельное симметричное пространство на ([0, а),т), то следующие утверждения эквивалентны.
(i). (Е, || • 11^) обладав!' свойством Кадеца-Кли относительно Л^.
(ii). Норма || • И* на Е строго АГ-мопотопна и (Е, |[ • ||/;) обладает свойством Кадеца-Кли относительно сходимости но мере.
(iii). Норма || • И* на Е строго АГ-мопотонна и (Е, )| • Ц^) обладает сой-ст'вом Кадеца-Кли относительно сходимости локально но мере.
(iv). Норма || * ||я на Е является локально равномерно строго К-монотопной.
23
Теперь мы готовы охарактеризовать свойство Кадеца-Кли (относительно слабой сходимости) в сепарабельном пространстве Лоренца, снабженном эквивалентной симметричной нормой.
Теорема 4.2.3. Пусть — сепарабельное пространство Лоренца на [О, а). Если ||'|| есть некоторая симметричная норма на А^ эквивалентная исходной норме || • ||л^, то следующие свойства эквивалентны.
(i). Норма || • || на А^ строго К'-монотониа.
(ii). (Л^, || • ||) имеет свойство Кадеца-Кли.
Легко построить пример эквивалентной строго ^"-монотонной нормы в пространстве Лоренца, которая не обладает свойством (КК) относительно сходимости по мере и, значит, не обладает свойством (КК) относительно А«,. Но, согласно предыдущей теореме, в таком пространстве выполнено свойсгво [КК). Таким образом свойство Кадеца-Кли не совпадает со свойством Кадеца-Кли относительно Ас» даже в классе сепарабельных симметричных пространств со строго К-монотонной нормой.
Последний раздел главы 4 посвящен тинам представимости в пространствах Орлича на произвольном пространстве с мерой и свойству Кадеца-Кли относительно сходимости по мере.
Функцией Орлича называется любая четная неотрицательная выпуклая функция М(и) ф 0 на числовой оси І?,, непрерывная слева на ІЇ+ и равная нулю в нуле.
Пусть ам = зир{гц М(и) — 0}, Ъм — іпЦ-и > 0, М(и) = сю}.
Определение 4.4.1. Функция Орлича удовлетворяет Д2-условию, если ам = 0, Ъм = оои существует К < оо такое, что для всех и, 0 < и < сю,
М(2и) < КМ(и). (*)
Функция Орлича удовлетворяет Д2(оо)-условию, если Ъм =оо и суще-стуег по < оо такое, что неравенство (*) выполнено для всех и > щ.
Функция Орлича удовлетворяет Д2(0)-условию, если аЛ! = 0 и существует щ > 0 такое, что неравенство (*) выполнено для всех 0 < и < щ.
Мы будем различать три л ипа пространств с мерой.
I. Мера р конечна. При этом, если мера чисто атомная, то число атомов предполагается бесконечным и, следовательно, среди них найдутся атомы со сколь угодно малой мерой.
24
II. Мера fi чисто атомная и бесконечная, меры атомов отделены от нуля.
III. Мера fL бесконечна, и либо содержит непрерывную компоненту Тс £ Е, либо среди атомов можно найти последовательность С S та-
00
кую, что Х>(£я) < ОО.
1
Определение 4.4.2. Последовательность {2„}ї° элементов банахова идеального пространства (Е, ]| -Ц#) назовем /^-последовательностью, если ее элементы попарно дизъюнктны, нормы отделены от 0 и 2 = sup 2,і
п
принадлежит Е.
Легко видеть, что всякая /^-последовательность сходится к нулю слабо и локально по мере. Кроме того ясно, что в этом случае порядково полное идеальное подпространство, порожденное {ztl} в Е, порядково изоморфно /°° и, следовательно, Е не обладает свойством (Л).
В первой части главы проведена полная классификация условий и типов представимости /50 в пространствах Орлича, учитывающая особенности пространства с мерой, функции Орлича и характер самой /°°- последовательности. Ввиду громоздкости ответа и ради экономии места эта классификация здесь не приводится.
С ее помощью в конце этой главы дается полное исследование свойства Кадеца- Кли относительно сходимости по мере в пространствах Орлича, снабженных нормой Орлича или нормой Люксембурга.
Теорема 4.4.6. Пусть Ьм снабжено нормой Люксембург или Орлича.
Если мера (і 1-го типа, то Ьм обладает свойством (КК/Х) тогда и только тогда, когда М удовлетворяет Д‘2(оо).
Если мера [L П-го типа, то Ьм обладает свойством (К Ктогда и только тогда, когда М удовлетворяет Дг(0), или когда ам > 0.
Если мера /х Ш-го типа, то в норме Люксембурга Ьм обладает свойством [ККfI) тогда и только тогда, когда М удовлетворяет Д2, а в норме Орлича тогда и только тогда, когда М удовлетворяет Д2, или когда ам > 0 и М удовлетворяет Д2(оо).
Последний результат дает положительный ответ' на вопрос, поставленный в статье Т. Doiniuguez, Н. Hudzick, G. Lopez, В. Sims, "Characterization of Kadec-Klee properties in Orlicz space, 2005, препринт.
Часть II. Обобщенные пределы и сингулярные симметричные функционалы. Предмет исследования второй части диссертации воз-
25