Содержание
Введение 4
Глава 1. Полиномиальная аппроксимация целых функций экспоненциального типа 19
1.1 Теоремы сравнения................................... 19
1.1.1. Обозначения и основные результаты ........... 19
1.1.2. Доказательство теоремы 1.................. 23
1.1.3. Доказательство теоремы 2.................. 29
1.2 Теорема о расщеплении.............................. 37
1.2.1. Основная лемма.............................. 37
1.2.2. Доказательство теоремы о расщеплении ... 42
1.3 Аппроксимационпая теорема.......................... 46
1.3.1. Формулировка теоремы........................ 46
1.3.2. Промежуточные результаты.................... 49
1.3.3. Доказательство аппроксимационной теоремы 55
Глава 2. Интерпретация результата в терминах задачи спектрального синтеза 62
2.1 Схема двойственного перехода....................... 62
2.1.1. Оператор тг(£>)............................. 62
2.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза . . 63
2.1.3. Постановка задачи локального описания ... 63
2.1.4. Двойственность.............................. 66
2.2 Спектральный синтез и индуктивное описание ... 69
2.2.1. Индуктивное описание ....................... 69
2.2.2. Пространство М\ ............................ 69
2.2.3. Спектральные вопросы........................ 70
2.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание 73
2.3 От локального описания к проективному описанию 74
з
2.3.1. Проективное описание........................- 74
2.3.2. Пространство Л^л............................... 75
2.3.3. Локальные вопросы.............................. 76
2.3.4. Локальное и проективное описания............... 79
2.4 Теорема двойственности................................. 83
2.4.1. Принцип двойственности......................... 83
2.4.2. Схема двойственности........................... 83
2.4.3. Теорема двойственности......................... 84
2.5 Главные С[7г]-подмодули в Р............................ 89
2.5.3. Обильность главных С[7г]-лодмодулей в Р . . 89
2.5.4. Связь с задачей спектрального синтеза .... 91
Список литературы
94
Введение
4
1. Пусть £7 — односвязная область в С; Н = Я(Г2) — пространство функций, аналитических в £7, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; Я — оператор дифференцирования действующий в Я. Подпространство 1УСЯ называется инвариантным (относительно оператора Я), если ЯЖ С Ж. Корневым подпространством оператора Я, отвечающим собственному
значению Л Є С, называется непустое подпространство
00
У{/ЄЯ:(Д-Л)П/-0}СЯ.
п=1
Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора Я. Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство Ж С Я допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора Я, лежащих в Ж, совпадает с Ж. Задача спектрального синтеза для оператора Я состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство Ж С Я допускает спектральный синтез.
Инвариантные подпространства Ж С Я возникают естественным образом 15 той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейны-
• У
ми комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора Я в комплексной области представляет собой перенос па аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [72]. Впервые задача спектрального синтеза для оператора Я была рассмотрена в 1947 г. Л. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [78].
5
Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования инициированы в 1971 г. И.Ф. Кра-сичковым-Терновским в статьях [16] - [18]. К этим работам примыкают работы В.А. Ткаченко [47|, С.Г. Мерзлякова [36],
В.Н. Хабибуллина [53], P.C. Юлмухаметова [71], С.И. Калинина [9], A.И. Абузяровой [1] и др.
Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования — задача аппроксимации для однородного уравнения свертки (ядра оператора свертки): можно ли каждое решение такого уравнения аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений (линейными комбинациями корневых элементов оператора D). Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Ритт [77], Полна [76], Валирон [79], А.Ф. Леонтьев [28] - [30], А.О. Гельфонд [4], Л. Эреипрайс [74], [75], Д. Диксон [73], Ю.Ф. Коробейник [10] - [14], И.Ф. Красичков-Терновский [16] - [18], О.В. Епифанов [5] - [8], В.В. Моржаков [37], [38], С.Н. Мелихов [32], [33] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.
Пусть S — произвольный линейный непрерывный функционал на Я, / Є Я, 5 * / — свертка функционала S и функции /. Для любого компакта К С П при достаточно малом |Д| ряд 5DS=o СХ°ДИТСЯ равномерно на К к сдвигу f(z + /г). По-
этому
(S * /) (h) = (S, f(z + h)) = J2 {S' D"f) hn.
rx U-n=0
Отсюда вытекает, что ядро оператора свертки / —» S*/ совпадает
б
с подпространством W$ С Я. определяемым следующим образом:
Ws ■- {/ € Н : (S, Dkf) = 0, к = 0,1,.. .}■
Оператор дифференцирования Я : Я —► Я является линейным и непрерывным. Значит, для любого fc G N функционал действующий па элементы из Я по правилу (5^,/) := {S,Dkf), является линейным и непрерывным функционалом на Я. Его ядро является замкнутым подпространством в Я. Отсюда вытекает, что определенное выше подпространство Ws является замкнутым подпространством в Я. Если f € то для любого к (Е Z+ выполняются равенства
(S, Dk+1f) = {S, Dk о Df)) = 0.
Это означает, что Df Е Следовательно, подпространство Ws является замкнутым и инвариантным относительно оператора D. Допускает ли это подпространство спектральный синтез? Аналитический ключ к решению этой задачи представляет собой следующую аппроксимационную теорему: пусть h(0) — ограниченная тригонометрически выпуклая функция, р, Ф — целые (функции экспоненциального типа с индикаторами h^O), /i<t>(0) < h(9). Если существует целая (функция /, для которой ftp =г Ф, то найдется последовательность многочленов р^, схо-дящаяся к / равномерно па компактах, для которой выполняется равномерная по к оценка
\pk{z)p(z)\ < constexp{h(0)\z\}.
Справедливость этого аналитического факта вытекает из теоремы 4.4, доказанной И.Ф. Красичковым-Терновским [16]. Б статье [19, теорема 1] этот результат распространяется на случай, если р, Ф — векторные функции.
7
Одно из направлений развития задачи спектрального синтеза связано с переходом к произвольным дифференциальным операторам: оператору кратного дифференцирования
D4 : Я -> H\f -*
(34]. (35], |60], [62], [20|; дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами
тг(D) = Dq + aiD4"1 + ... + aqD°
[21] - [24]; дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами
ОС
^)=Есда
/г—О
где
*(0 = Y2с^к
к=О
— целая функция минимального типа при порядке р = 1 [56] - [58]. При этом формулировка аналитического факта несколько меняет свою форму: функция / и многочлены pk заменяются композициями /о7г и /д-отг соответственно. Первый шаг в этом направлении сделан в работе А.Б. Шишкина [61, теорема 1]. В этой работе показано, что аналитический факт остается справедливым, если 7Г
— одночлен zn. В работе [23, предложение 3.1] этот результат распространен на случай тг — многочлен.
Естественная постановка задачи спектрального синтеза в условиях многих комплексных переменных предполагает замену одного оператора n(Di, ...,£?„) системой операторов
TC\{D\, . . . , Dn), ..., 7Tq(Di, . . . , Dn).
Отметим, что в условиях многих переменных к настоящему моменту получены относительно законченные результаты лишь по
8
задаче спектрального синтеза для системы операторов частного дифференцирования D\,..., Dn (см., например, [25], [26], [63], [67] и [66]).
Другое направление развития задачи спектрального синтеза связано с переходом к более общим операторам 7г*, сопряженным умножению на функцию 7Г. Формулировка аналитического факта продолжает свою трансформацию: р, Ф — уже целые функции конечного порядка. Это направление инициировано исследованием случая 7г(2) = z в работе В.А. Ткаченко [47]. Ситуация n(z) — zn исследована в работе А.Б. Шишкина [62, теорема 6.5]. Распространение этого результата на случай тт — многочлен осуществлено в [23, предложение 3.3] в векторной ситуации.
В диссертации рассматривается случай, частично исследованный ранее А.Н. Чернышевым: тг — целая функция минимального типа при порядке р = 1. При этом рассмотрена векторная ситуация. Показано, что если функция 7г имеет вполне регулярный рост' и всюду положительный индикатор при некотором порядке < 1, то аналитический факт (точнее его векторный аналог) остается справедливым. В частности, подпространство
Ws := {/ е Я : (S, n(D)kf) = 0, к = 0,1,...}
для любого линейного непрерывного функционала S на Я допускает спектральный синтез.
2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терповского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.
Пусть Qi,..., Пи — выпуклые области в С; Ни = Н(0,и) — про-
- Київ+380960830922