Оглавление
Введение 3
Глава 1 Асимптотика диагональной последовательности коэффициентов Лорана мероморфиой функции 16
1.1 Амебы комплексных алгебраических гиперповерхностей . 18
1.2 Амебы произвольных комплексных гиперповерхностей . 20
1.3 Контур амебы и логарифмическое отображение Гаусса . 23
1.4 Основная теорема об асимптотике.................... 27
Глава 2 Производящие функции диагональных последовательностей 35
2.1 Метод разделяющих циклов........................... 37
2.2 Одномерные диагонали и интегральные представления
для них............................................ 39
2.3 Диагонали рациональных функций двух переменных . . 42
2.4 Диагонали размерности п — 1........................ 52
Глава 3 Применение в статистической физике 56
3.1 Метод наиболее вероятного распределения.............. 59
3.2 Среднее значение для чисел заполнения и коэффициент
Лорана............................................. 61
3.3 Условия простоты контура........................... 64
3.4 Асимптотика средних для чисел заполнения........... 67
Заключение 7.1
Ху
Введение
Г1о всей видимости, впервые диагональная последовательность коэффициентов смененного ряда нескольких переменных была рассмотрена Пуанкаре в [9| при исследовании аномалий движения планет.
Поскольку не существует универсального опреде юшш асимптотического ряда, зависящего от нескольких переменных достаточно мотивированным является вопрос об описании асимптотик диагональных последовательностей коэффициентов ряда. Коэффициенты ряда Тейлора часто имеют комбинаторный смысл, поэтому такая задача является весьма важной в перечислительной комбинаторике (см. |34|). Метод Дарвина-Фаулера [18. 19| в статистической физике, с помощью которого находится основное состояние термодинамического ансамбля, своди 1 ся к задаче об отыскании асимптотики диагональной последовательное гп коэффициентов ряда Лорана некоторой мероморфной функции дв\ \ переменных.
В работе Цнха [15] была решена проблема устойчивости двумерного цифрового фильтра на основании описания асимптотики диагональной последовательности для ряда Тейлора мероморфной функции двух переменных. Подходы, намеченные в эх ой статье, а именно представление с помощью методов теории вычечов диагонального коэффициента
3
в виде осциллирующего интеграла и последующее изучение такого’интеграла с помощью метода стационарной фазы, в случае многих переменных используются Неманглом п Вильсоном [34].
В известной монографии |27] Гельфаида, Зелевниского, Капранова было дано определение амебы алгебраической гиперповерхности. В работе [б| ЛсГшартаса. Пассарс. Цпха было показано, что перспективно описывать асимптотику диагональной последовательности ряда Лорана рациональной фукиции в терминах амебы полярной гиперповерхности и понятия логарифмического отображения Гаусса этой гиперповерхности. В ходе работы над диссертацией выяснилось, что при обобщении метода Дарвина-Фаулера на случай ансамбля, системы которого характеризуются п-мерными параметрами, необходимо рассматривать амебы произвольных комплексных гиперповерхностей.
При исследовании степенного ряда (но положительным степеням) весьма важным является вопрос иринадюжности суммы этого ряда какому-либо классу функций рациональных, алгебраических, Э-конечных (Фурштенберг [26]. Сафонов |11|. Дсисф-Липиищ [20, 29)). Некоторые признаки принадлежности могут быть получены в терминах диагональных последовательностей. Например, еще Полна в [35] заметил, что сумма ряда является алгебрам чна, если он является производящей функцией диагональной последовательности коэффициентов ряда Тейлора двух переменных, а Сафоновым в [12] доказано обращение этого факта.
Таким образом, вопрос об описании асимптотик диагональных последовательностей и их производящих функции привлекал внимание многих исследователей на протяжении последних ста .мот. Он остается актуальным и в настоящее время, причем не только для рациональных, но и для мероморфпых функций.
Цель диссертации состоит в построении конструктивных формул для асимптотик диагональных последовательностей коэффициентов
4
Лорана мсроморфных функций многих церемонных, а также в иссле-довани задачи об алгебраичпоети производящих функций таких последовательностей в случае коэффициентов рациональной функции. В качестве приложений - исследовать миогопараметрнческую модель квантовой термодинамики.
В работе используются методы многомерной теории вычетов и интегральных представлений. Большую роль играет понятие амебы комплексно!'] гиперповерхности полюсов мероморфпой функции. С помощью этого понятия кодируется ряд Лорана мероморфпой функции и его область сходимости. В совокупности с теорией вычетов и интегральных представлений методом стационарной фазы исследуется асимптотика коэффициентов Лорана вдоль заданных направлений. В задаче об алгебраичпоети производящей функции используются методы алгебраической топологии, а именно, свойства гомологических циклов, разделяющих наборы гиперповерхностей в комплексном многообразии.
Основные результаты диссертации являются новыми, перейдем к их краткому изложен и к>.
В первой главе изучаются асимптотики кратной последовательности коэффициентов ряда Лорана мероморфной функции.
Пусть F - мероморфная функция п переменных, и
F(Z) ш £ Caf (1.1)
aeZ"
некоторый се ряд Лорана с центром в нуле. Диагональной последовательностью коэффициентов ряда называют одномерную последовательность
{caw/} = Ck ,lu...4k qu • к € Ъ
полученную из {с*} сужением мультипдекса а на прямую с фиксированным направляющим вектором q € Z" = Z" \ {0}.
Важную роль при изучении асимптотики диагональной последовательности играет понятия амебы для полярной гиперповерхности ме-роморфной функции (Ы).
Введем для комплексного тора С \ {0} обозначение Т. Определение ([27], п. G.1). А небо и А\/ комплексно-алгебраической гип ерп ос ерх) гост и
V = {ze Т" : Q{z) = 0}
(или полинома Q) называется образ V при отображении
Log : Vі -> R'\
определенном формулой
Log : (zi } • • • і ~п
Обозначим, через Xq многогранник Ньютони полинома Q, те. выпуклую оболочку в М" всех показателей мономов, учавствующнх в полиноме Q. Для каждой целочисленной точки и Є Xq определим двойственный конус СУ к многограннику Xq в точке и, как множество
= {з Є R': • (б,//) = шах (s.а)}.
nÇTsa
Напомним, что конусом рецессии выпуклого множества Е С R" называется наибольший конус, который некоторым сдвигом, можно поместить в Е. Связь между комбинаторикой многогранника Ныотона Xq полинома Q и структурой дополнения Ж" \ Ау амебы описывает следующая теорема Форсберга, Пассаре, Циха из [23].
Теорема. На множестве связных компонент [Е] дополнения Ж”\ Ау существует инъективная функция порядка
и: {£}->Z”nXQ
такая, что двойственный конус С^Е) к многограннику Ньютона в точке у{Е) есть конус рецессии компоненты Е.
G
- Київ+380960830922