Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических групп

Содержание
Основные обозначения 3
Введение 4
Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ БЭРОВСКИХ ФУНКЦИЙ НА ОТРЕЗКАХ ОРДИНАЛОВ 18
§1. Классификация Бэра................................... 19
§2. Достаточные условия линейной гомеоморфности ......... 24
§3. Необходимые условия линейной гомеоморфности.......... 33
Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ КОНЕЧНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОБОДНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП ОТРЕЗКОВ ОРДИНАЛОВ 44
§4. Свободные п-периодические топологические группы ..... 45
§5. Метод разложения свободных п-периодических топологических групп .............................................. 54
§6. Классификация пространств непрерывных кояечиозначных функций и свободных тг-периодических топологических групп . . 56
§7. Явное описание 'гомологии свободных булевых топологических
групп ............................................... 63
Литература 71
2
/
Основные обозначения
\Л\ мощность множества Л
ф{Хг : 5 Є 5} сумма топологических пространств {Ха : 5 Є 5}
П№ : 5 Є 5} произведение топологических пространств {Х3 : 5 Є 5}
: 5 Є 5} 2_ІІР°извеДение ТВП {Х$ : в € 5} с центром в нуле
С включение (не обязательно строгое)
Ъп циклическая группа порядка п
= топологический изоморфизм топологических групп
~ линейный гомеоморфизм ТВП
Во всех вопросах, касающихся порядковых и кардинальных чисел (в частности, их арифметики) мы следуем книгам |2], [12] и [28|.
3
Введение
Актуальность темы. Проблема классификации математических объектов является одной из центральных в математике. Так как многие объекты, возникающие в математике, обладают несколькими естественными структурами, то и классификация соответствующих объектов может быть различной. Так, например, множество СР(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций, определенных на тихоновском пространстве X, снабженное топологией поточечной сходимости, является одновременно топологическим векторным пространством, равномерным пространством, топологическим кольцом, топологической группой и просто топологическим пространством.
В 1951 г. А. А. Милютин в своей диссертации доказал, что если X и Y — несчетные метризуемые компакты, то банаховы пространства С(Х) и С(У) линейно гомеоморфны, решив тем самым известную проблему Банаха (этот результат стал широко известен лишь в 1966 г. с выходом статьи |14J). В 1960 г. Ч. Бессага и А. Пелчинский [22| дали полную классификацию банаховых пространств С(Х) для счетных (метризуемых) компактов X относительно линейных гомеоморфизмов. Таким образом, теоремы Милютина и Бсссаги-Пелчинского дают полную линейную гомеоморфную класификацию банаховых пространств С(Х) для метризуемых компактов X. В 1960 г. 3. Семадени [26] доказал, что при различных натуральных пит банаховы пространства C[l,Vi • п] и С[ 1, cc?i • т] не являются линейно гомеоморфными, продолжив тем самым классификацию Бессаги-Пелчинского на все отрезки ординалов [1,а] при а < ад • щ. В 1975 г. С.П. Гулько и A.B. Оськин ([9]) и С.В. Кисляков ([11]) независимо друг от друга дали полную линейную гомеоморфную классификацию банаховых пространств 67(1, а] для произвольных ординалов а.
Ситуация с пространствами вида СР(Х) более сложная. Так, из теоре-
4
мы о замкнутом графике следует, что если X и У — компакты и пространства СР(Х) и СР(У) линейно гомеоморфны, то и банаховы пространства С(Х) и С (У) линейно гомеоморфны. Обратное верно не всегда: например, известно, что размерность тихоновских пространств сохраняется при линейных ([16]) и даже равномерных ([7]) гомеоморфизмах пространств функций, снабженных топологией поточечной сходимости. В частности, пространства непрерывных функций на канторовом множестве, на отрезке [0,1] и на квадрате [О, I]2 попарно не линейно гомеоморфны. Значит, аналога теоремы Милютина для пространств вида СР(Х) не существует. В тоже время, линейная гомеоморфная классификация пространств Ср\ 1, а] для произвольных ординалов а, как показал С. П. Гулько в [8], полностью совпадает с данной ранее ([9], [11]) классификацией банаховых пространств С[1,а]. В этой же статье параллельно была дана классификация (относительно топологических изоморфизмов) свободных топологических групп ^[1,а] и свободных абелевых топологических групп А[1,а] отрезков ординалов, причем эта классификация, выраженная в терминах некоторых неравенств на а, фактически совпала с классификацией соответствующих пространств непрерывных функций Ср[1,а].
В настоящей диссертации пас будет интересовать линейная гомеоморф-пая классификация пространств Ср([1,а],У) всех непрерывных функций /: [1,а] —¥ У и пространств Вр([1,а],У) бэровских функций /: [1,от] -> У, определенных на отрезках ординалов со значениями в У. При этом данные пространства снабжаются топологией поточечной сходимости, а в качестве У рассматриваются либо конечные дискретные пространства (для непрерывных функций) либо вещественная прямая и двухточечное дискретное пространство (для бэровских функций). В том случае, когда У является конечным пространством мощности п, сложение функций происходит «по модулю п» и У отождествляется с циклической группой Хп порядка п.
5
Уточним понятие пространства Ср([ 1,ог],Йп). Если п — простое число, то Ъп является полем и Ср(\1,а\,%п) — линейное пространство (над полем Хп). Если же п — число составное, то Ъп полем не является (оставаясь при атом абелевой группой) и следовательно, множество Ср([1,а],2п) есть абелева группа. Но везде в этой работе будет использоваться «линейная» терминология для произвольного п: будем употреблять термин «линейное пространство» для множеств Ср([1,а],гп) и термин «линейное отображение» для отображений таких множеств. Ни к каким противоречиям и некорректностям такая терминология не приведет.
Цель работы:
• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех бэ-ровских функций, определенных на отрезках ординалов [I, а] с топологией поточечной сходимости.
• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех непрерывных п-значных функций, определенных на отрезках ординалов [1,а'] с топологией поточечной сходимости.
• дать топологическую изоморфную классификацию свободных п-пери-одических топологических групп и свободных абелевых
п-периодических топологических групп А^(Х).
Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.
• Даны необходимые и достаточные условия того, что произвольная функция /: [1, от] —> У, где У = К или У = является бэровской (теорема 1.2).
• Установлено, что пространства бэровских функций на отрезках ординалов вида [1,а • /3] разлагаются в ^-произведение более простых
6