Нелокальная корректность смешанных задач для уравнения Кавахары

Оглавление
Введение 2
1. Постановка задачи........................................... 2
2. Обозначения. Формулировка основных результатов.............. 4
1 Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары 11
1.1 Задача Коши для линеаризованного уравнения Кавахары . ... 11
1.2 Граничные потенциалы........................................17
2 Линейная задача 28
2.1 Разрешимость линейной задачи................................28
2.2 Априорные оценки............................................47
3 Нелинейная задача 53
3.1 Локальная корректность......................................53
3.2 Глобальные априорные оценки.................................65
Введение
1. Постановка задачи
В настоящей работе изучаются вопросы нелокальной корректности смешанной задачи для уравнения Кавахары
7ІІ Иххххх "Г Ьиххх 1 "Т 'иЛЬх — ,/"(^> *0 (0.0.1)
(а и Ь некоторые действительные константы) в двух областях (Т > 0 - произвольно): в полуполосе 1Ъ£ = (О, Т) х К+ (К.ь = (0, -Ьоо)) и в ограниченном прямоугольнике <3Т = (0,Т) х (0,1).
Для первой из этих задач (в Пу) установим начальное и граничные условия:
гх(0,х) = «о(#)> я Є П£+, (0.0.2)
и(£,0) = иі(г)} их(Ь, 0) = и2^)} і Є [0, Т] (0.0.3)
Для второй задачи (в С2т)-
и(0,ж) = щ{х), х € [0,1], (0.0.4)
«(г,о) = щ(г), = и2(0,
(0.0.5)
и(і,у 1) = г*3(*), их(Ь, 1) = д4(0> ихх(Ьу 1) = щ(1), £ Є [О,Г).
Различное число условий на правой и левой границе для задачи в ограниченном прямоугольнике обусловлено нечетным порядком уравнения.
Глобальная корректность (существование, единственность и непрерывная зависимость решений задачи от начальных, граничных условии и правой части уравнения в соответствующих нормах) устанавливается для задачи (О.ОЛ)-(О.О.З) и задачи (0.0.1), (0.0.4), (0.0.5).
2
Впервые уравнение (0.0.1) было получено Кавахарой в 1972 году в работе [1| для описания длинных нелинейных волн в средах со слабой дисперсией (см. также [2|, |3|). В литературе уравнение Кавахары также называют уравнением Кортевега- де Фриза (КдФ) 5-го порядка или сингулярно возмущенным уравнением КдФ ([4], [5])
ZLt 4“ U%xx 4” 0/И% “Ь UUx — f (i, Д/).
Для уравнения Кавахары наиболее изучена задача Коши ([6-11]). В частности в серии работ ([9-11]) установлена глобальная корректноегь задачи (0.0.1), (0.0.2) для начальной функции и0 из пространства ЯДЕ), при
5 > -1/2.
Если область распространения волн рассматривается как ограниченная (с одного или обоих концов), вместо задачи Коши естественным образом возникают смешанные задачи. Изучение таких задач для уравнения Кавахары началось сравнительно недавно. В работе [12] доказана глобальная корректность смешанной задачи для уравнения (0.0.1) в полу полосе = (0, Т) х Е+ в классах функций, бесконечно гладких и экспоненциально быстро убывающих при х —> +оо. Аналогичный результат при нулевых краевых данных в классе менее гладких (Я5 по пространственной переменной) и также экспоненциально быстро убывающих функций приведен в 113]. В работе [14] исследованы вопросы существования и единственности слабых решений смешанной задачи для обобщенного уравнения Кавахары в П^, если начальная функция (возможно, с некоторым степенным весом на +оо) принадлежит пространствам L2 или Я2.
Смешанная задача для уравнения Кавахары в Qt была изучена в работах [15], [16] - при нулевых краевых функциях, нулевой правой части уравнения и начальной функции из Я5 была доказана глобальная корректность. В [17] была рассмотрена краевая задача на ограниченном интервале для стационарного уравнения Кавахары. В работе [13] был так же сформулирован результат глобальной коректности смешанной задачи в ограниченном прямоугольнике при условиях упомянутых выше.
Заметим, что в отличие от уравнения (0.0.1) смешанные задачи для уравнения КдФ изучены более полно (см., например, работы [18], [19] и приведен-
ную в них библиографию). Поэтому методы исследования уравнения КдФ могут найти применение в изучении уравнения Кавахары.
Основным результатом настоящей работы является глобальная корректность задач (0.0.1)—(0.0.3) и (0.0.1), (0.0.4). (0.0.5) при «о £ Нк(1) (/ = Е+ или / = (0,1)), иищ 6 Я^+2)/5(0,Т), и2,и, € Я<*+1>'5(0,Т), 7/5 6 ЯА’/5(0,Т), где к > 2 для задачи в Пу и к > 0 для задачи в От, к -целое.
Подобные условия гладкости граничных данных являются естественными, поскольку индуцированы свойствами оператора — й®, в следующем смысле. Рассмотрим задачу Коши для линеаризованного однородного уравнения Кавахары при а = 6 = 0
VI - Уххххх = о, и(0, х) = г>о(.т).
Тогда если ъ'ц £ Я*(К) для некоторого $ > 0, то можно показать (по аналогии с [20]), что существует единственное решение этой задачи у{Ь,х) £ Н3(Ш)) и для любого х £ Е выполняются соотношения
\\В?5у(‘>х)\\н’'*(№) = 11А1^*(,1ж)11я*/»(Ш) —
= №**(•, ж)11я*/5(К‘) ~ |М1яце)- (0.0.6)
Доказательство этого утверждения будет приведено в Главе 1.
Диалогичные результаты глобальной корректности смешанной задачи в полуполосах и 11^, а также в ограниченном прямоугольнике С^т для уравнения КдФ (в этом случае остается только первое из краевых условий (0.0.3) для задачи в П£ или первое из краевых условий (0.0.5) для задачи в С)т, а также третье и четвертое из краевых условий (0.0.5) для задачи в и С}т) также при естественных условиях на граничные данные получены, в частности, в [18) и [19).
2. Обозначения. Формулировка основных результатов
Пусть г}(х) - некоторая функция, такая, что т? £ С°°(М), /?(х) > 0, г}'(х) > 0 Ух, 7](х) = 0 для х < 0, т](х) = 1 для х > 1, г)(х) 4- г/( 1 — х) = 1, г)'(х) > 0
4
для 0 < х < 1. Положим
Р{дх) = б£ » Mg - адх.
Далее, если не оговорено противное, будем считать, что 1 - некоторый интервал на R (ограниченный или неограниченный), к, /, га, п, j - целые неотрицательные числа, р € [1, -Нос], s € М. Символом [.s] будем обозначать целую часть числа s > 0. Через Ст£(/) обозначим пространство функций е непрерывными н ограниченными в / производными до порядка к включительно. Положим Сь(1) = C$(I). Если интервал 1 ограничен, индекс Ь будем опускать.
/s f
Символы / = T[f] и T~'\f] используются соответственно для обозначения прямого и обратного преобразований Фурье, понимаемых как операции в Ь2{Щ. В частности, для / 6 <S(M) (пространство Шварца быстро убывающих функций)
7(0 = / e~«xf(x) dx, -F-1 [/](:.') = ±J е**/(о dt
R R
Положим
Я’ = tf‘(R) = {/ : ^[(1 + |f|)V(f)] 6 Lj(R)}.
Через tf's(/) обозначим пространство сужений на I функций из Hs с нормой
Неопределим также
Н&(1) = {/ € Я'(К) : supp / С 7}.
Если dl обозначает конечную часть границы интервала /, то Н§(1) = Я3(1) для 6* е [0, |) , и
В частности,
Я*'5 = (/ е Нк/5{1) : /‘"Д, = о, тп < .
5
Яо = {/ е Н'{1) : /(т)|э/ = 0, m = 0,...,n), для s € ^71+^,п +