Оглавление
2
Стр.
Введение ............................................................. 3
Глава 1. Восстановление матричного оператора ІНтурма-Лиувилля по спектральным данным 10
1.1. Спектральные данные. Постановка обратной задачи...................И
1.2. Свойства спектральных данных.....................................25
1.3. Основное уравнение обратной задачи...............................38
1.4. Решение обратной задачи..........................................52
Глава 2. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи 60
2.1. Основная теорема. Необходимость..................................60
2.2. Однозначная разрешимость основного уравнения ....................65
2.3. Вспомогательные утверждения......................................70
2.4. Доказательство достаточности.....................................78
Глава 3. Устойчивость решения обратной задачи 95
3.1. Устойчивость восстановления потенциала в 1,2-норме. Локальная разрешимость обратной задачи.....................................95
3.2. Устойчивость восстановления потенциала в равномерной норме . . 107
Литература...........................................................109
Введение
3
В данной работе изучается обратная задача спектрального анализа для матричного дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Обратные спектральные задачи состоят в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют важную роль в математике и имеют приложения в различных областях естествознания и техники, в частности, в квантовой механике, геофизике, электронике, метеорологии. Обратные спектральные задачи также играют существенную роль при интегрировании эволюционных уравнений математической физики. В 1967 г. Г. Гарднер, Ж. Грин, М. Краскал и Р. Миура [77] обнаружили глубокую связь между нелинейным уравнением Кортевега-дс Фриза и спектральной теорией операторов Штурма-Лиувилля. Созданный ими метод обратной задачи породил новое направление в математической физике и вызвал очередной всплеск интереса к обратным задачам спектрального анализа. В настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается в связи с возникновением новых приложений. Однако стоит отметить, что обратные задачи являются достаточно трудными для изучения, что связано прежде всего с их нелинейностью, и в теории обратных задач до сих пор остается много нерешенных вопросов.
Значительный вклад в развитие теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов внесли В.А. Амбарцумян, Р. Билс, Г. Борг, М.Г. Гасымов, М.Г. Крейн, Н. Левинсон, Б.М. Левитан,
З.Л. Лейбензон, В.А. Марченко, Л.А. Сахнович, А.Н. Тихонов, Л.Д. Фаддеев, И.Г. Хачатрян, В. А. Юрко и другие математики [3, 4, 14,15, 17-22, 24, 25, 32-35, 43, 47, 49, 54, 74, 80, 81, 84|.
Первый результат в теории обратных спектральных задач был получен В.А. Амбарцумяном |47| для уравнения Штурма-Лиувилля
-у" + д(х)у = Ху. (0.1)
4
Амбарцумян показал, что если краевая задача для уравнения (0.1) с условиями 2/'(0) = у'(7г) = 0 имеет собственные значения Ап = п2} п ^ 0, то (] = 0. Однако в общем случае одного спектра недостаточно для восстановления потенциала </. Впоследствии Г. Борг [54] доказал, что потенциал ^ однозначно восстанавливается по двум спектрам операторов Штурма-Лиувилля с различными краевыми условиями. Позднее результат Борга также был получен
Н. Левинсоном [74] при помощи другого метода.
Важные результаты в теории обратных спектральных задач принадлежат В.А. Марченко, который исследовал задачу восстановления дифференциального оператора по спектральной функции [24, 25]. В случае оператора Штурма-Лиувилля на конечном интервале эта задача эквивалентна обратной задаче в следующей классической постановке [19, §2.10], [43, §1.2). Рассмотрим краевую задачу для уравнения (0.1) на интервале (0,тг) с условиями
Пусть <р(х, Л) — решение уравнения (0.1). удовлетворяющее начальным условиям <^(0, Л) = 1, <р'(0, Л) = /г. В качестве спектральных данных введем величины {Лп,ап}п^о5 где Лп — собственные значения краевой задачи (0.1)-(0.2), а ап — так называемые весовые числа, определяемые соотношением
Обратная задача состоит в восстановлении потенциала q и коэффициентов краевых условий к и Н по спектральных данным {Ап,ап}п^о-
При решении этой обратной задачи важную роль сыграл метод оператора преобразования [24, 25], которым была доказана однозначная разрешимость обратной задачи, а также получена конструктивная процедура решения и необходимые и достаточные условия на спектральные данные [15]. Были также решены обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля на полуоси и оси [24, 25, 33, 34].
у'{0) - %(0) = 0, у'(7Г) + Ну(ж) = 0.
(0.2)
(0.3)
5
Однако метод оператора преобразования оказался недостаточно эффективным в применении к обратным задачам для операторов высших порядков
п—2
уН + У^рк(х)у^к\ п > 2,
*=о
систем дифференциальных уравнений и некоторых других важных классов операторов. Постепенно был создан другой, более универсальный метод, основанный на применении аппарата теории аналитических функций и на развитии идей метода контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. Впервые метод контурного интегрирования к исследованию обратных задач применил Левинсон [74]. Идеи Левинсона получили дальнейшее развитие в работах
З.Л. Лейбензона [21, 22]. Впоследствии с использованием этих идей в работах В.А. Юрко был создан метод спектральных отображений [43, 84], который дал возможность решения обратных задач для дифференциальных операторов высших порядков [36-40], систем дифференциальных уравнений [41, 42] вида
<2о У\х) 4- Я{х)У{х) = рУ(х)
и других классов дифференциальных операторов. Отдельно стоит отметить динамично развивающуюся в настоящее время спектральную теорию па геометрических графах, в которой метод спектральных отображений также нашел свое применение. Прямым задачам для дифференциальных операторов на графах посвящены работы [16, 29] и др., обратные задачи изучались в [44-46, 51, 56, 67, 85].
В данной работе исследуется обратная спектральная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля
-У" 4- <2(х)У = АУ (0.4)
на конечном интервале. Здесь У— вектор размерности га. а потенциал Я(х) является т х га матрицей. Уравнение (0.4) представляет собой обобщение
б
классического уравнения (0.1). В диссертации исследуется матричный оператор, задаваемый уравнением (0.4) с краевыми условиями при произвольном значении т. Получена конструктивная процедура восстановления матричного оператора по спектральным данным, а также необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи, исследуются ее локальная разрешимость и устойчивость решения.
Обратные задачи для уравнения (0.4) и других дифференциальных уравнений с матричными коэффициентами возникают в приложениях (см. [50, 55, 59, 72] и литературу в них). Однако их исследование представляет значительные трудности по сравнению со скалярным случаем (т = 1).
Отдельные частные результаты в обратных задачах для матричных дифференциальных операторов получены в [50, 55, 60, 61, 79, 88-90). Наиболее полно изученным вопросом для матричных операторов Штурма-Лиувилля является обратная задача рассеяния на полуоси (см. [2, 5, 27, 71, 72]).
Обратные задачи для уравнения (0.4) на конечном интервале изучены в гораздо меньшей степени. При их исследовании возникают значительные трудности, связанные с кратностью спектра. В отличие от скалярного случая, спектр матричного оператора может иметь бесконечное количество групп кратных собственных значений, что делает нетривиальным исследование свойств спектральных данных и особенно обратных спектральных задач. Для обобщения основных результатов, известных для скалярного случая, требуются новые подходы, позволяющие учесть произвольное поведение спектра.
В связи с этими трудностями в теории обратных задач для уравнения (0.4) на конечном интервале без априорных ограничений на спектр ранее были получены только теоремы единственности {58, 59, 75, 86]. В.А. Юрко [87] был предложен конструктивный алгоритм решения обратной задачи для уравнения (0.4), основанный на методе спектральных отображений. Однако данный алгоритм получен при априорном предположении простоты спектра.
7
Д. Челкаком и Е. Коротяевым |62, 63) были получены необходимые и достаточные условия для случая с другим существенным ограничением. Ими был рассмотрен случай асимптотически простого спектра, когда в асимптотике собственных значений
у/Кч = п + — + —, {хт}пЪй € к, Ч = 1 ,т,
7Г71 Tt
все числа Dq различны. Кроме того, авторы [62, 63) использовали метод [80|, не дающий конструктивного алгоритма решения. Отметим также работу [78], в которой исследовались операторы Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами из пространства Соболева Wf1 на конечном интервале. Другим аспектам прямых и обратных задач для матричных дифференциальных операторов посвящены работы (1, 12. 23, 30, 48, 53, 57, 64-66, 68-70, 73, 76, 82, 83].
В данной работе изучается обратная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля (0.4) на конечном интервале с самосопряженным потенциалом при произвольном поведении спектра. Преодолены трудности, связанные с возможной кратностью собственных значений и их асимптотической близостью. Постановка исследуемой задачи была дана в работах [86, 87]. Она представляет собой аналог задачи восстановления оператора по спектральным данным {Au,an}n^0) описанной выше для скалярного случая. В матричном случае в качестве спектральных данных рассматриваются собственные значения Ащ и так называемые весовые матрицы а1Щ, являющиеся обобщением весовых чисел. В отличие от скалярного случая, когда весовые числа вводятся но формуле (0.3), в матричном случае оказывается более удобным определить весовые матрицы как вычеты матрицы Вейля М(Х) относительно ее полюсов. Матрица Вейля представляет собой обобщение функции Вейля для скалярного уравнения Штурма-Лиувилля (см. [19, 43]) и в данном случае оказывается естественной и удобной спектральной характеристикой.
Для исследования задачи проводится развитие идей метода спектральных отображений [43, 84], хорошо зарекомендовавшего себя в работе с различны-
8
ми классами дифференциальных операторов. Основными результатами диссертации являются:
1) конструктивная процедура восстановления оператора по спектральным данным;
2) необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи;
3) устойчивость решения обратной задачи.
Полученные результаты представляют собой обобщения известных результатов для классического уравнения (0.1) (см. [43, §1.4|).
Диссертация состоит из трех глав. Глава 1 посвящена конструктивному построению решения обратной задачи. В параграфах 1.1 и 1.2 вводится краевая задача L для уравнения (0.4) и се спектральные характеристики, исследуются их свойства, дана постановка обратной задачи. В параграфе 1.3 получено основное уравнение обратной задачи
■ф(х) = i>{x)(I + R(x)),
которое при каждом фиксированном х является линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве относительно ^(х). Величины ,ф(х) и Н(х) строятся по заранее выбранной модельной задаче L и заданным спектральным характеристикам задачи L. Таким образом, нелинейная обратная задача сведена к решению линейного уравнения. В параграфе 1.4 доказана однозначная разрешимость основного уравнения. Решение данного уравнения использз?'ется для восстановления дифференциального оператора по спектральным данным. В итоге получен алгоритм решения обратной задачи, представляющий собой обобщение алгоритма, изложенного в [87], и учитывающий возможность кратных собственных значений.
Глава 2 посвящена наиболее трудному вопросу: необходимым и достаточным условиям разрешимости обратной задачи, т. е. характеристическим свойствам спектральных данных матричного оператора Штурма-Лиувилля. К стандартным асимптотическим свойствам и самосопряженности спектраль-
9
ных характеристик добавляется дополнительное условие, не имеющее аналога в скалярном случае. Отметим, что подобные условия, требуемые для разрешимости основного уравнения, возникали при исследовании различных матричных операторов в работах [2, 63, 78]. Для получения необходимых и достаточных условий используется модификация метода спектральных отображений, а также свойства спектральных данных и алгоритм решения обратной задачи, приведенные в главе 1.
В главе 3 доказана локальная разрешимость исследуемой обратной задачи, опираясь на которую была установлена устойчивость восстановления потенциала и коэффициентов краевых условий по спектральным данным в норме пространства 1/2 и в равномерной норме.
Результаты диссертации опубликованы в работах [6-11, 52].
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Вячеславу Анатольевичу Юрко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
- Київ+380960830922