СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................4
Глава I. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ ЗАДАЧ..............................17
§ 1. Постановки задач...........................................17
1.1. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой 18
1.2. Псевдовнутрснняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой.....................................................21
1.3. Наилучшес равномерное приближение сегментной функции полиномиальной полосой......................................23
§ 2. Наилучшее приближение сегментной функции полиномиальной полосой фиксированной ширины..........................................24
§ 3. Связь задач о внешней и внутренней оценке с задачей приближения полиномиальной полосой фиксированной ширины...................27
§ 4. Связь задачи о наилучшем приближении с задачей приближения полиномиальной полосой фиксированной ширины...................44
§ 5. Сравнение задачи о внешней оценке с задачей Б. Сендова.....49
Глава 2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ..............................................52
§ 6. Существование решений задач................................52
§ 7. Критерии решения задач о внешней и псевдовнутренней оценках 57
§ 8. Критерий решения задачи о наилучшем приближении полиномиальной полосой фиксированной ширины..................................70
§ 9. Необходимые и достаточные условия решения задачи наилучшего
приближения.....................................................76
2
Глава 3. УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ..........................91
§ 10. Условия единственности решения задачи о внешней оценке...91
§11. Условия единственности решения задачи приближения полосой фиксированной ширины........................................105
§ 12. Условия единственности решения задачи о наилучшем приближении 109
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................119
Приложение А. Вспомогательные сведения из выпуклого анализа...123
з
ВВЕДЕНИЕ
1. Задачи по оценке и приближению сложных многозначных отображений многозначными отображениями простои структуры находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике, и представляют один из разделов негладкого анализа.
Локальными аппроксимациями многозначных отображении занимались многие отечественные и зарубежные математики (Пшеничный Б.Н. ([16] — [17]), Демьянов В.Ф. ([4] - [7]), Рубинов А.М. ([19] - [20]), Половинкин Е.С. ([14] - [15]), Минченко Л.И. ([11]), Обен Ж.П. ([13]), Гороховик В.В. ([1]) и др.)
К задачам, имеющим нелокальный характер, относятся, в частности, внешнее и внутреннее эллипсоидальное оценивание многозначных отображений. Многие известные математики занимались эллипсоидальными оценками множеств достижимости динамических систем (см., например, Черноусько Ф.Л. ([22]), Куржанский А.Б. ([23])).
Относительно немного известно работ по равномерному приближению многозначных отображений на заданном множестве. Так в работе Никольского М.С. ([12]) рассматривается задача о равномерном приближении непрерывного многозначного отображения, заданного на отрезке, постоянным выпуклозначным отображением.
Простейшим примером многозначного отображения является сегментная функция. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач по оценке и приближению сегментной функции таким объектом как полиномиальная полоса. Сформулируем эти задачи.
Будем считать, что сегментная функция Тг(/) = [/1(/),/2(0] задана на отрезке \с,с1\ двумя непрерывными функциями У] (/) И /2(/), Причём /(0< /2(0
при всех /е[с,*/]. Обозначим через Рп(А^) = а$ +а|/ + ... + аи/л полином фиксированной степени п с вектором коэффициентов Л = ) € 5£"+1.
Задачу
будем называть задачей о внешней оценке сегментной функции /^(/) полиномиальной полосой. Её геометрический смысл состоит в построении полиномиальной полосы наименьшей (по ординате) ширины, содержащей в себе график данной сегментной функции Р((). Под полиномиальной полосой с осью, задаваемой полиномом Рп{А,1), и шириной (по ординате) 2г мы понимаем график сегментной функции \\п(Л9гА) = [Рп(А^)~г,Рп(А^) + г].
Задача, отличающаяся от (0.1) перестановкой функций /](/) и /2(0,
называется в диссертации задачей о псевдовнутрен ней оценке сегментной функции F{t) полиномиальной полосой. Если минимальное значение целевой функции п(Л) меньше нуля, то её геометрический смысл заключается в построении полиномиальной полосы наибольшей ширины, которая содержится в графике сегментной функции F{t).
Следующая рассматриваемая задача
называется задачей наилучшего равномерного хаусдорфова приближении сегментной функции /?(/) полиномиальной полосой.
Последнюю задачу
которая отличается от (0.3) тем, что минимизация осуществляется только по
(0.2)
<p(A,r) —> min ,
ЛеК"*1
(0.4)
А е К”11 при фиксированном значении г, будем называть задачей наилучшего
равномерного приближения сегментной функции /?(7) полиномиальной полосой фиксированной ширины 2г.
Цель диссертации состоит в следующем
- установить взаимосвязь задач (0.1) - (0.4),
- получить необходимые и достаточные условия их решения,
- получить достаточные условия единственности их решения.
Целевые функции всех экстремальных задач (0.1) - (0.4) являются выпуклыми конечными функциями. При исследовании в основном применялись методы выпуклого анализа, использовались также некоторые факты из теории приближений и многозначного анализа.
2. Приведём сравнение с; некоторыми известными задачами.
Нетрудно убедиться, что при У] (/) = /;>(0 Для *е[с>^] все задачи становятся эквивалентными задаче П.Л.Чебышёва о равномерном приближении непрерывной функции полиномом заданной степени
п^ах И,(Л,/) —/(/)| -» пип . (0:5)
&[с4) ДеКл+|
Задача (0.1) даёт также повод для гипотезы: не является ли она эквивалентной задаче (0.5) для /(/) = (/](/) + Уг(0)/2. Однако простые примеры говорят, что это не так.
В монографии Б. Сендова [21] рассматривалась задача о приближении графика сегментной функции графиком полинома в метрике Хаусдорфа двумерного пространства. Эта задача (в условиях специфики выбранной метрики Хаусдорфа ([21, с.37]), как следует из примера, приведённого самим автором ([21, с. 117 - 118]), не является задачей выпуклого программирования в отличие от задач (0.1) - (0.5).
Уместно также вспомнить задачу об ужах (см. [8, с. 34]), в которой требуется найти полиномы заданной степени п (верхний и нижний ужи), которые п +1 раз своим графиком касаются поочерёдно графиков заданных непрерывных функций £](/) и £2М на отрезке При УСЛОВИИ, ЧТО g\(f)<g2(t) на всём
отрезке, и при этом графики полиномов содержатся в графике сегментной функции Ф(0 = [&1(0>#2(0]- Нами будет показано, что при определённых условиях решение задачи (0.1) будет давать решение задачи об ужах, но для такого ужа обязательно имеет место '‘избыточный” альтернанс, в том смысле, что этот уж, по крайней мере, п + 2 раза поочерёдно касается графиков некоторых функций g,(0 и g2(t).
Наконец, отметим, что в дискретной постановке задача (0.1) рассматривалась И.Ю. Выгодчиковой ([2] - [3]), то есть когда в (0.1) отрезок \c,d\ заменяется конечным набором точек.
Более подробно с примерами эти сравнения делаются по мере изложения текста диссертации.
Диссертация состоит из трёх глав, содержащих 12 параграфов. Приведём основные результаты исследований.
3. Главная цель, поставленная в первой главе, — установить взаимосвязь рассматриваемых задач.
В методическом плане проводимое здесь исследование опирается на работу' С.И. Дудова [9], где выявлена взаимосвязь некоторых задач по оценке и приближению выпуклого компакта шаром некоторой нормы. Задачи (0.1) - (0.4) можно рассматривать как некоторые аналоги рассматриваемых в [9j задач.
В §§ 1-2 даются постановки задач (0.1) - (0.3), обсуждается их сравнение с известными задачами, вводятся обозначения для оптимальных значений целевых функций и множества решений:
Р* = min p(Ä), П =Arg min p(Ä),
я* = min лг(Л), Q-= Arg min п(А).
AeRnil V } Ag R”*1 V '
<p = min (p(A,r\ ={/4 elR"*1:3r>0,<р(Л,г) = #>*},
/4eR"+1,
0
7
&*(/) = Arg min p(A,r).
* AeZn+l
Отметим, что из-за некоторых соображений, связанных с удобством изложения, существование решений задач (0.1) - (0.4), то есть негтустота множеств Qp,
и О^(г), а также их выпуклость и компактность, доказаны позже в § 6 главы 2.
Кроме того, в § 2 фиксируется важная связь целевых функций поставленных задач.
М-4- 1
Теорема 2.1« При любых А е Е и г > 0 справедливо равенство
<р(А,г) = max {p(A)-r,jr(A) + r}.
Главные результаты главы получены в § 3. Здесь устанавливается параметрическая связь задачи (0.4) с задачами (0.1) и (0.2).
Для этого вводятся обозначения
р+ = max р(А), р~ = min р(А), л+ - шах л(А), л~ = min ж(А),
АеС1л АеОя АеПр ЛеС1р
* *+ + * *
+ р -71 - р -п + р -Л _ Р -Л
гр ~ 2 * гр “ 2 ’ ~ 2 ’ Г* ~ 2
Tp(r) = dp п [л е Кл+1: р - г > л{А) + г},
TS(г) = П, П {л е R" и : Р(А) -г £ л + г}.
Показывается (леммы 3.1 — 3.2), что справедливы соотношения
0<г~ <г+<г~ <г+<+сс,
ГР=ГП <=> С1рС[С1„Ф0.
Конкретную связь решений задач (0.1) и (0.2) с решениями задачи (0.4) выражает
8
Теорема 3.1 \) Справедлива формула
Q р, єсли г є ^0, Гр J,
Тр(г), еслигє[г“,г+], т£(г), если г є [г",І-;], если гє[г+,+со).
2) Если Q , ПQ-x Ф<2>, mo rp - r~ = (р* -к)!2 и при этом
Р ~*L\-
гл
3) Если Qр П = 0, то
пож.
п„(/-)П{прип^}=0, vr6(r;,r-).
то есть на интервале (гр,г~) среди решений задачи (0.4) нет решений задач (0.1) и (0.2).
Также в § 3 доказано, что Ci^Cr) как многозначное отображение
•пЯ+1 Г _ , П
Q^(-):IR+ —>2 на отрезке гр->гр непрерывно по Какутани и строго монотонно убывает по включению (теорема 3.2), а на отрезке ] оно также не-
прерывно по Какутани, но сірого монотонно возрастает по включению (теорема 3.3).
В § 4 для функции /(r)= min (р(Ауг) показано (теорема 4.1), что она является выпуклой и конечной при г > 0, причём
т=
*
р -г, если г є
*
Л + г, если г є
[V.-*0)-
Принимая обозначение
\ rl,r*~\= Argmm f(r),
L -I r>0
устанавливается связь задачи (0.3) с задачей (0.4).
Теорема 4.2. Для того, чтобы пара (А*,г*) доставляла минимальное значение функции <р(А,г) в задаче (0.3) необходимо и достаточно, чтобы
/■*б[г*,г+] и а' еЦ,(г*):
Эту связь можно выразить в виде
Устанавливаются также важные свойства решения задачи (0.4) на интер-
В § 5 показывается, как заменив метрику, используемую Б. Сендовым в [21, с. 37], и наложив некоторые дополнительные условия, можно говорить об эквивалентности задачи о внешней оценке (0.1) и задачи, рассматриваемой в
4. Главная цель главы 2 — характеризация решений, рассматриваемых задач в форме, сравнимой с чебышевским альтернансом.
В § 6 показано, что решения всех задач (0.1) - (0.4) существуют и ограничены. Поэтому из выпуклости и конечности (а следовательно, и непрерывности (см. [6, с. 43])) целевых функций в целом получаем, что множества 0.р,
Ор и О^(г) являются выпуклыми компактами.
вале
Теорема 4.3, Если Сїр Г)= 0, то справедливы соотношения
[21].
ю
- Київ+380960830922