Представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и р-адических пространствах

Оглавление
Введение 5
1 Предварительные сведения 18
1.1 Нормированные поля и нормированные линейные пространства
над ними .................................................... 19
1.2 Сильно непрерывные операторные полугруппы в вещественных
банаховых пространствах и формулы Чернова и Троттера ... 25
1.3 Меры, их вариации и образы................................... 29
1.4 Специфические свойства р-адичоских полей .................... 32
1.5 Измеримые и топологические структуры координатных пространств
X = (б £ М) над нолями С? = <0>р (р £ Р)..................... 34
1.6 Меры Хаара в пространствах X = 36
1.7 Пространства функций и обобщенных функций.................... 38
1.8 Билинейные интегралы......................................... 40
1.9 Переходные меры............................,.................. 44
1.10 Дробные части р-адических чисел и характеры аддитивных групп пространств X = С?*1.............................................. 56
1.11 Версии операторов в пространствах (обобщенных)
функций и псевдодифференциальные операторы .................. 57
1.12 Определение цилиндрических функций
на пространствах над полями С} = <0>р (р £ Р)
и цилиндрических множеств в этих пространствах .............. 68
1.13 Алтобры цилиндрических множеств в векторных пространствах
над ф = (Ц)р................................................. 70
1.14 Цилиндрические меры и действия с ними........................ 77
2
1.15 Порождение сверточной полугруппой цилиндрических мер новой полугруппы мер в пространствах траекторий и выражение преобразования Фурье мер новой полугруппы через преобразования Фурье мер исходной полугруппы.............................. 99
2 Представления полугрупп, порождаемых
уравнениями типа теплопроводности относительно
функций вещественного и р-адического аргументов 105
2.1 Постановка задач Коши ......................................107
2.2 Существование и единственность решений
для задачи Коши (1) 110
2.3 Формулы Фейнмана в конфигурационном пространстве для задачи (1).........................................................115
2.4 Формулы Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве для решений задач вида (1) в терминах интеграла по счетно аддитивной мере..................................................136
2.5 Формулы Фейнмана в импульсном пространстве для представ- ^ ления решения задачи (1).........................................145
2.6 Формулы Фейнмана-Каца в импульсном пространстве для импульсного представления решения задачи (1).......................156
2.7 Формулы Фейнмана в фазовом пространстве для задачи (1) . . 162
2.8 Гамильтонов интеграл Фейнмана для задачи (1)................167
2.9 Формулы Фейнмана-Каца в фазовом пространстве со счетно аддитивной мерой интегрирования....................................168
2.10 Переменный коэффициент при операторе Владимирова...........169
3 Уравнения типа Шрсдингера с р-адической пространственной
переменной 195
3.1 Постановка задач Коши.......................................196
3.2 Формулы Фейнмана для решений задачи (3, Зо) в конфигурационном пространстве...............................................198
3
3.3 Формула Фейнмана в импульсном пространстве..................199
3.4 Формулы Фейнмана в фазовом пространстве.....................201
3.5 Формулы Фейнмана-Каца в импульсном пространстве.............204
3.6 Формулы Фейнмана-Каца в конфигурационнном пространстве. 204
4 Классическое уравнение Дирака 207
4.1 Постановка задач Коши и терминология ........................209
4.2 Интегральные представления...................................218
Добавление. 225
Д.1 Вероятностное решение задачи Неймана ........................225
Д.2 Бесконечномерные уравнения ..................................230
Литература 249
4
Введение
Тема диссертации относится к бесконечномерному анализу над локально компактными пополнениями поля рациональных чисел.
Бесконечномерный анализ ([1]-|8], [11]—[30], [33]—[36], [62]—[40], [46]—[90], [96]— [110], [120]—[127], [129]-] 140]) использует дифференцируемые и обобщенные функции и меры на бесконечномерных вещественных пространствах для постановки и решения как собственно бесконечномерных, так и конечномерных задач. Первым примером применения бесконечномерного интегрирования к конечномерным задачам стало представление решений стандартного трехмерного уравнения Шредингера фейнмановским интегралом (идея была высказана Фейнманом [120] в 1948 г. на “физическом уровне строгости”, математически реализована в простейшем случае Нельсоном [125] в 1964 г.).
Именно фейнмановский формализм функционального интегрирования, обобщенный на случай функциональных суперпространств, позволил Глэшоу, Саламу и Вайнбергу в конце 60-х гг. построить единую квантовую теорию электромагнитного и слабого ядерного взаимодействий (им за это присуждена Нобелевская премия в 1979г.). На сегодня этот формализм является общим фундаментом как для Стандартной модели электрослабого и сильного ядерного взаимодействий, так и теории суперструн (и супербран).
Хотя самые первые работы но бесконечномерному анализу (принадлежащие, в частности, Адамару1, Фреше2, Вольтерре3, Гато4) появились в начале XX века, фактически бесконечномерный анализ в том виде, как он понима-
1Л. Hadamard: Sur 1rs opérations fonctionnelles// C.R. Acad. Sci. Paris, 136 (1903), 351-354.
2M. Frechet: Sur les opérations linéaires // TYans. Amer. Math. Soc., 5:4 (1904), 493-499
3V. Volterra: Lections sur les fonctions de lignes// Paris: Gauthier-Villars. 1910.
4R. Gateaux : Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques // Comptes rendus de l’academie des sciences (Paris) 157 (1913), 325-327
5
ется сегодня, сформировался в значительной мере в работах советских математиков, начиная с пионерских работ A.II. Колмогорова 5, С.В. Фомина6 и их последователей, причем нужно отметить, в частности, что определяющий вклад в это формирование внесен классическими результатами О.Г. Смоля-нова и его учеников: В.И. Богачева, A.B. Угланова и Е.Т. Шавгулидзе.
О важности создания нелинейной теории случайных процессов — этой важнейшей области развития бесконечномерных идей — А.Н. Колмогоров говорил, в частности, в самом последнем из своих выступлений на заседании Московского математического общества. Примерно в то же время на одном из заседаний совета по присуждению ученых степеней он отдельно отметил актуальность бесконечномерного анализа.
С.В.Фомин первый высказал идею о том, что пространства обобщенных функций бесконечномерного аргумента (то есть пополнения пространств обычных функций этого аргумента, обладающих хорошими аналитическими свойствами, относительно некоторой локально выпуклой сходимости, более слабой, чем локально равномерная) естественным образом сопряжены не про- , странствам бесконечно дифференцируемых функций, но пространствам бесконечно дифференцируемых мер, причем последние пространства не обладают никакими естественными изоморфизмами на пространства функций (в силу отсутствия моры Хаара). При этом двойственным к пространству достаточно хороших функций является пространство именно обобщенных мер, а не функций. При этом естественный аналог интеграла Фурье переводит пространство мер в пространство функций. С.В. Фомину же принадлежит первое (и наиболее прямое — в терминах значений самой меры) определение производной меры но направлению.
Спустя примерно 30 лет после процитированного высказывания Колмогорова, на рубеже веков, подводя итоги развития математики в XX веке (начало которого, как уже говорилось, отмечено первыми работами по бесконечномер-
5A.N. Kolmogorov. La transformation de Laplace dans les espaces linéaires. // C.R. Acad. Sei. Paris , 200 (1935) pp. 1717-1718
GC.B. Фомин: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сооб-щений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78-79.
6
ному анализу), о важности развития бесконечномерного анализа ярко высказался известный британский математик М.Ф.Атья7. В лекции, прочитанной в Филдсовском институте г. Торонто на Мировом математическом симпозиуме 2000 года, говоря о перспективах математики в начавшемся XXI-м веке он сказал8 (цитата из опубликованного перевода9 на русский язык):
XXI-й век может стать эпохой квантовой математики, или. если угодно, бесконечномерной математики. Что бы это могло означать ? Квантовая математика означает, в широком смысле, “подлинное понимание анализа, геометрии, топологии, алгебры в различных нелинейных функциональных пространствах” ...
При этом в качестве тех открытых в XX веке перспективных областей, от которых следует ожидать развития в веке XXI-м, он выделил, в частности, анализ над локальными (по Вейлю) полями. Важными частными случаями последних являются нетривиальные нормированные пополнения поля рациональных чисел (относительно различных нормирований). Кроме того, он отметил важность (для приложений в математической и теоретической физике, особенно в теории калибровочных полей и струн) распространения преобразования Фурье на случай нелинейных бесконечномерных областей определения преобразуемых функций. Наконец, он отметил и важность исследований, связанных с некоммутативным анализом — и особо отметил, что определенно ожидает результатов в первом десятилении века.
После этих уточнений уместно вернуться к продолжению цитаты:
... а “подлинное понимание” для меня означает, что найдены вполне строгие доказательства всех тех замечательных фактов, о которых размышляли физики.
К проводимой М.Ф.Атьей аналогии между квантовой и бесконечномерной математикой стоит ещё добавить, что все современные учебники но квантовой теории поля, статистической механике и теории струн используют контину-
7являющийся также иностранным членом РАН
*Atiyah М.: MATHEMATICS IN THE 20TII CENTURY// Bulletin of the London Mathematical Society, 2002, Vol.34, No 1, p. 1-15.
°Лшъл M.: Математика в двадцатом веке// Матем. проев., серия 3, 2003, выпуск 7, с. 5—24.
7
альный интеграл как основной элемент формализма.
Таким образом, к числу областей математики, развитие которых им ожидалось, отнесены, в частности: математические модели физики, особенно квантовой теории; бесконечномерный анализ как таковой (включая бесконечномерный гармонический анализ) и как сформировавшийся аппарат современных физических теорий; анализ над различными локально компактными полями и некоммутативный анализ.
Результаты настоящей диссертации относятся ко всем этим актуальным направлениям, о которых говорили как Колмогоров при их рождении (закладывая основы значительной части их) в XX веке, так и Атья в самом конце XX века, и которые ira сегодня, с одной стороны, обрели признаки классических, а с другой стороны — набрав темп развития, пока ещё весьма далеки от завершения. Она представляет собой исследование операторных полугрупп, порожденных конечномерными (над локально компактными полями) псевдо-дифференциальными операторами (ПДО), методами бесконечномерного анализа, включающими как преобразования Фурье функций и мер. заданных на конечномерных и бесконечномерных пространствах над различными локальными полями, так и строгое доказательство формул, содержащих фун-циональные интегралы, аналогичных.классическим формулам с интегралами Фейнмана для решений уравнений Шредиигера. Упомянутые полугруппы естественным образом возникают как разрешающие для эволюционных уравнений, в которых правые части содержат псевдодиффоренциальные генераторы этих полугрупп. Таким образом, результаты о представлениях операторов этих полугрупп приводят к результатам о свойствах решений соответствующих эволюционных уравнений, в частности — к представлениям этих решений.
Следует отметить, что в только что закончившемся первом десятилетии века активно находил применения и развивался так называемый ультраметриче-ский анализ, в частности, — анализ на пространствах над полями р-адических чисел, или р-адический анализ ([31], [32], [43]). В частности, именно на базе
8
р-адического анализа построены математические модели таких физических процессов, как “спектральная диффузия” (в коллективе макромолекул протеина) и явление абсорбции угарного газа миоглобином. Исследование физических состояний белковых молекул иногда относят к мезофизике из-за типичных порядков размеров исследуемых объектов, находящихся между типичными порядками размеров макрофизики и объектов микрофизики (атомной). Важнейшим ингредиентом р-адических моделей процессов с белковыми молекулами является уравнение, аналогичное уравнению теплопроводности и понимаемое как кинетическое [9]. В этом уравнении искомая вещественнозначная функция зависит как от вещественного, так и от р-адического аргумента, а роль оператора Лапласа играет ПДО Владимирова подходящего порядка. Потенцированию ПДО, вюночающх — в качестве слагаемых — ПДО Владимирова с отрицательными и с чисто мнимыми коэффициентами, посвящены две главы, работы, 2-я и 3-я (с учетом использования в них общих конструкций, развитых в 1-й главе, — первые 3 главы из 4-х). 4-я глава посвящена исследованию аналогичными методами, развитыми автором, ПДО с некоммутирующими (матричными) коэффициентами, входящих в правую часть записанного в эволюционной форме классического уравнения Дирака для электрона и позитрона в пространственно неоднородном потенциале.
Цель работы — развитие метода функционального интегрирования для изучения эволюционных операторных полугрупп.
Основная задача работы. Исследование операторных полугрупп, генерируемых дифференциальными и псевдидифференциальиыми операторами в классах функций, определенных на векторных пространствах над полями вещественных или р-адических чисел и принимающих комплексные числовые или матричные значения.
При этом аргументы функций могут пробегать как соответствующее одномерное пространство — тогда получаются применения бесконечномерных структур для получения новой информации о прикладных конечномерных задачах, — так и бесконечномерное пространство, в случае которого сама по-
становка задачи использует структуры бесконечномерного анализа.
Задача включает, в частности, представления изучаемых полугрупп с помощью интегралов по путям в пространствах над полями вещественных и р-адических чисел, в том числе — разработку аппарата пуассоновских мер в пространствах траекторий, инвариантного относительно выбора основного ноля пространств значений траекторий и их размерности, для случая некоммутирующих (матричных) значений мер.
Основные методы. Главный метод работы — использование бесконечномерного интегрирования в широком смысле. При этом интегрирование производится как по вероятностным функциональным распределениям, аналогичным мерам Винера, так и по матрично-значным обобщениям мер Маслова-Пуассона, а также по более общим распределениям, не являющимися счетно аддитивными, примерами которых являются меры типа Фейнмана. Для определения функциональных интегралов используются- как аппроксимации их классическими конечномерными интегралами в смысле Лебега, так и бесконечномерные преобразования Фурье. Конечнократиые аппроксимации функциональных интегралов основаны на продакт-формуле Чернова для операторных полугрупп. Для построения таких функциональных интегралої}, в которых значения подынтегральной функции не обязаны коммутировать со значениями меры интегрирования, используется разработанный автором новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В работе впервые систематически развита теория интегрирования по линейным функциональным пространствам, во многом инвариантная относительно выбора локально компактного нормированного числового поля этих пространств. Для таких функциональных пространств построен новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями, позволяющий интегрировать операторнозначные функции но операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать). Полученные на этой базе основные результаті,] диссертации состоят в следующем.
10
• Получены представления решений уравнений типа теплопроводности с р-адическим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в импульсном и фазовом пространствах;
• получены представления решений уравнений типа Шредингера с р-адическим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в конфигурационном и импульсном пространствах;
• получены представления решений классического 4-мерного уравнения Дирака для релятивистского электрона в неоднородном поле электромагнитного потенциала с помощью интегралов по траекториям в импульсном пространстве.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер.
Полученные в ней результаты, в частности, являются основой математической теории (хронологического) функционального интегрирования операторнозначных функций по операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать).
Такие интегралы позволяют строить аналитические выражения, выражающие общие решения псевдодифференциальных уравнений с операторнозначными символами (например, со значениями в супералгебрах), включая оригинальное 4-мерное уравнение Дирака для электрона и позитрона в пространственно-неоднородном электромагнитном поле.
Таким образом, результаты и новые методы диссертации могут быть полезны для математической физики; в частности, с помощью новых хронологических интегралов можно строить общие решения классических уравнений типа Дирака на математическом уровне строгости, что ранее было невозможно; особое значение полученные результаты имеют для супсранализа.
Результаты диссертации служат основой для новых специальных курсов, читаемых на механико-математическом факультете МГУ.
Все основные результаты диссертации опубликованы в 18 статьях автора, 14 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
11
Результаты диссертации неоднократно докладывались, в том числе:
— на научно-исследовательских семинарах: “Бесконечномерный анализ и его приложения” механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, руководители: проф. О.Г. Смолянов, проф. Е.Т. Шавгулидзе, 1997-2010; “Семинар по многомерному комплексному анализу” механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители: проф. В.К. Бе-лошапка,чл.-корр. РАН С.Ю. Немировский, проф. А.Г. Сергеев, чл.-корр. РАН Е.М.Чирка, 2010; Семинар “Актуальные проблемы геометрии и механики” механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители проф. Д.В. Георгиевский, д.ф.-м.н. М.В. Шамолин, проф. С.А. Агафонов, 2005-2010; “Открытый семинар по теоретической физике” Московский Государственный Открытый Университет, факультет прикладной математики, кафедра физики.руководитель проф. Т.Ф.Камалов, 2007-2010; “Семинар Отдела математической физики” МИАН им. В.А. Стеклова, руководители акад. В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В. Волович, 1997-2010; Семинар лаборатории Теории нелинейных физико-математических процессов Института химической физики РАН, руководитель член-корр. РАН В.А. Аветисов, 1997-2010; па научных конференциях: Международная конференция “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2004; Третья международная конференция по р-адической математической физике: от физики планковских масштабов до сложных систем и биологии “p-ADIC MATHPHYS.2007” Москва, 2007; Международная конференция “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2007; 3rd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena, Vaxjo, Sweden, 2008; 1-я Международная Самарская конференция “Математическая физика и ее приложения”, Самара, 2008; Международная конференция “Stochastic Analysis and Random Dynamical Systems”, Львов, Украина, 2009; Международная конференция “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, Москва, 2009; Россий-
ская Школа-конференция “Математика, информатика, их приложения и роль в образовании”, Москва, РУДН, 2009; Международная научно-техническая конференция “Нанотехнологии и наноматериалы”, Москва, МГОУ, 2009; 2-я Международная Самарская конференция “Математическая физика и се приложения”, Самара, 2010.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух дополнений и списка литературы.
Во введении обсуждаются вкратце мотивировки развиваемого в работе направления.
В первой главе приведены основные конструкции, связанные с используемым далее интегрированием по бесконечномерным пространствам, в частности, изложению мультипликативного метода переходных мер, имеющих матричные значения, и построению используемых далее пуассоновских распределений в пространствах траекторий. В начале главы изложены общие используемые в диссертации конструкции, связанные с нормированными полями и нормированными пространствами над такими полями. Затем для векторных пространств над такими полями строится общая теория цилиндрических переходных мер с некоммутирующими (матричными) значениями 10.
Во второй главе формулируются постановки задач для решаемых в ней дифференциальных уравнений типа теплопроводности относительно функций р-адического аргумента и основные результаты об интегральных представлениях решений этих задач и других свойствах этих решений.
Формулой Фейнмана11 называется представление решения задачи Коши эволюционного уравнения в виде предела последовательности кратных интегралов, в которой эта кратность неограниченно растёт. Формулой Фейнмана в конфигурационном пространстве называется формула Фейнмана, в которой кратные интегралы берутся по декартовым степеням области определения
10включая построение по таким переходным мерам новых мер на пространствах траекторий. В случае коммутирующих значений по сверточной полугруппе мер строится новая полугруппа — мер на пространствах траекторий.
11 ср. О.Г. Смолянов, Н.Н.Шамаров: Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова// ДАН, 2008, том 420, № 1, с. 4-0.
13
начальной функции задачи (которая и называется конфигурационным пространством). Если конфигурационное пространство является векторным (соотв., многообразием), то соответствующим импульсным пространством называется сопряженное пространство (соотв., кокасательное к некоторой выбранной точке), и соответствующим фазовым пространством называется произведение конфигурационного пространства на двойственное к нему (соотв., кокасательное расслоение конфигурационного многообразия), и формулой Фейнмана в импульсном (фазовом) пространстве называется формула Фейнмана, в которой используются кратные интегралы по декартовым степеням этого импульсного (фазового) пространства. Формулами Фейнмана-Каца в конфигурационном (импульсном, фазовом) пространстве для той же задачи называется представление решения задачи с помощью интеграла по пространству траекторий (= отображений отрезка со значениями) в соответствующем пространстве (но счетноаддитивной мере или по псевдомере, например псевдомере Фейнмана).
Сам вид формул Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве в этой главе не отличается от известных, но теорема о них приведена для изложения нового эффективного полугруппового метода их получения.
I
Представленный метод получения этих формул Фейнмана-Каца и Фейнмана непосредственно обобщается на случай матрично-значного потенциала с некоммутирующими значениями (с векторной искомой функцией) и, с естественными ограничениями, — на случай полных нормированных алгебр; единственное отличие от коммутативного случая состоит в том, что подынтегральную экспоненту (от непрерывной справа функции) нужно будет считать хронологической (в смысле мультипликативного интеграла Римана).
Третья глава посвящена уравнениям типа Шредингера относительно функций р-адического аргумента: основными результатами являются представление решений с помощью интеграла по траекториям в конфигурационном и импульсном пространстве. Формулы Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве содержат обобщение классической (обобщенной) меры Фейнмана,
14
тогда как соответствующие формулы в импульсном пространстве содержат обобщение комплексной меры Пуассона-Маслова-Чеботарева.
В четвертой главе с помощью интеграла по траекториям в вещественном импульсном пространстве представлено решение классического уравнения Дирака.
В добавлениях приведены формулы Фейнмана-Каца в бесконечномерном р-адическом конфигурационном пространстве, функциональный интеграл для для решения задачи Неймана, а также фиксируются обозначения и собрана воедино используемая специальная терминология и вспомогательные факты из теории полугрупп.
Автор благодарен участникам всех обсуждений результатов диссертации за их стимулирующий интерес. Автор также пользуется случаем выразить особую благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук профессору Евгению Тенгизовичу Шавгулидзе, руководителю семинара по бесконечномерному анализу доктору физико-математических наук профессору Олегу Георгиевичу Смолянову и сотрудникам кафедры математического анализа за творческую атмосферу и постоянную поддержку в работе.
В исследовании каждой полугруппы, заданной явным (дифференциальным или псевдодифференциальным) её генератором, можно вычленить следующие главные этапы. Первый этап — концептуальный; он представляет собой нахождение явных выражений удобных аппроксимаций для операторов полугруппы. Более точно, па этом этапе угадываются явные выражения для операторнозиачных функций, в некотором смысле касательных к полугруппе. Второй этан технический — доказательство применимости к этим аппроксимациям теорем об операторных продакт-формулах типа Чернова (в частности, о формулах типа Далсцкого-Троттера-Ли). Как правило, перемножаемые в этих формулах операторы являются интегральными, причем интегрирование в них производится иногда в собственном смысле (в смысле интеграла Лебега, но не обязательно но мере Лебега даже в случае конечномерного вещественного пространства интегрирования), а иногда в необственном (ре-
гуляризованном). Число операторов-сомножителей в этих продакт-формулах неограниченно возрастает. Получаемые представления операторов полугрупп с помощью пределов повторных или кратных интегралов, в которых кратность интегрирования стремится к бесконечности, принято называть формулами Фейнмана для представления операторов полугрупп, или, что равносильно, — для представления решений соответствующих уравнений. Третий этап снова идейный: он состоит в придании полученным формулам Фейнмана, в которых кратность интегрирования стремится к бесконечности, смысла аппроксимаций для некоторого одного интеграла — но берущегося сразу по бесконечномерному пространству. Это бесконечномерное интегрирование-иногда проводится по мерам ограниченной вариации, но не всегда. Именно, в классических формулах Фейнмана-Каца или Маслова-Чеботарева, как и доказываемых в диссертации аналогах этих формул, интегрирование производится по конечным счетно аддитивным мерам (являющимся распределениями процессов винеровского и пуассоиовского типа соответственно) — соответственно, обладающих ограниченной вариацией. Наряду с этим, комплексные квазимеры типа гауссовских, называемые мерами Фейнмана и участвующие как в формализациях классических континуальных интегралов Фейнмана по траекториям в конфигурационном и в фазовом, пространствах, так и в результатах диссертации, обладают бесконечной вариацией на каждом цилиндрическом множестве ненулевой меры.
Приводимые в основном тексте определения, особенно выходящие за рамки станда.ртного университетского курса математики, для удобства также собраны в логической последовательности в Дополнении.
Отметим ещё, что далее из соображений удобства изложения выбрана та традиционная терминрлогия, согласно которой, если для некоторого множества X в контексте рассуждения фиксирована дополнительная структура (топологическая, измеримая, векторная и т.д.) или несколько структур, то оно само называется пространством соответствующего класса, а не упорядоченные пары (X, т) и т.п. Если же контекст рассуждения содержит более одной
16
структуры одного класса на одном и том же множестве, тогда используем и скобки вида (X, т*) как грамматический способ выделения подразумеваемой в данный момент структуры.
Формулы, которые упоминаются в других разделах (“глобального использования”), имеют двойную нумерацию: например, формула (1.2). Те формулы, которые упоминаются только в том разделе, где они приведены (“локального использования”), обозначаются в скобках произвольным образом, отличным от приведенного выше: например, формула (*5).
Список литературы содержит более ста наименований.
Результаты из совместных статей, включенные в диссертацию, получены её автором.
Для элемента р в множестве Р , определяющего далее р-адическое нормирование ноля <0>, выбран готической шрифт для отличия от традиционного обозначения р для общей точки импульсного пространства в аналитической механике, некоторой терминологией из которой удобно будет далее пользоваться — например, при использовании одного из традиционных определений псевдодифференциальиых операторов с заданным символом Я(д,р) . Окрестностью точки в топологическом пространстве называем любое его подмножество, для которого эта точка внутренняя.
17
Глава 1
Предварительные сведения
В этой главе формулируются определения локально компактных нолей (2 вида (} = (®р , (р = 2,3,5, ...,оо — простое натуральное или бесконечность) и некоторых псевдодифференциальных операторов (ПДО), действующих в пространствах Ьч , образованных вектор-функциями, определенными на конечномерных пространствах 0^ (с! 6 N = {1, 2,3,...} — натуральное число) и принимающими значения в поле С комплексных чисел либо в конечномерных пространствах над нолем С . В частных случаях при р = оо эти определения приводят к операторам Лапласа, Шредингера и Дирака в комплексных ^пространствах (вектор-) функций. В другом частном случае — при простых натуральных р — к операторам В.С.Владимирова в пространствах функций р-адических аргументов.
Кроме того, развивается техника векторно-значных переходных цилиндрических мер в пространствах над описанными выше полями С} инвариантная как относительно выбора такого поля, так и относительно мощности алгеб-раическо базиса (размерности) пространства над <2, включая любые бесконечные мощности. Эта техника применяется в следующих главах для построения функциональных интегралов, представляющих полугруппы, порождаемые упомянутыми операторами.
Отметим, что принятый в данной работе подход к построению континуальных интегралов с помощью операторных аппроксимаций восходит к оригинальным работам Ричарда Фейнмана.
18
1.1 Нормированные поля и нормированные линейные пространства над ними
В этом разделе для полноты изложения приводятся определения понятий, вынесенных в заголовок, и фиксируются связанные с ними обозначения, аналогичные стандартным, используемым в случае поля R вещественных чисел. При этом так называемые р-адические поля определяются с помощью пополнений поля рациональных чисел относительно некоторых норм таким же образом, как можно определить и поле 1R .
Приведем общее определение понятия нормы на алгебраическом поле. Пусть К — произвольное поле в смысле алгебраической структуры (К, +, О, *, 1), 1 ф 0 . Тогда нормой (или нормированием) на этом поле называется всякая вещественно-значная1 функция2 N с неотрицательными значениями, определенная на поле К и такая, что для произвольной упорядоченной пары (х,у) Є К х К выполнены следующие соотношения ljv)~3n) :
1/v) Лг(т) = 0 <=>■ х = 0 ,
2n) N(x + у) ^ N(x) + N(y) ,
Здг) N(x • у) = N(x) • N(y) ; при этом значение N(x) нормы N на элементе х называется iV-нормой этого элемента, или, если N подразумевается, — его нормой. Если при этом выполняется также свойство
2дг) N(x + y) ^ тах(ІУ(ж), N(y)) , то норма N называется ультранормой.
Поле, рассматриваемое вместе с некоторой нормой на нем, называется нормированным полем; если при этом норма является ультранормой, то и поле называют ультранормированным. Если К — нормированное поле, норма эле-
1 Для связных подмножеств вещественного поля используем стандартные обозначения: [0; +оо) = {г : г € К, г ^ 0} и т.п.
2Если / — функция (^отображение), в каждой точке некоторого множества X определенная и принимающая значения в множестве У , пишем f : X -* Y н говорим, что / является Y-значной функцией, заданной на множестве X , или, кратко, К-знач ной функцией на X . При этом не предполагается, что образ J(X) = {/(х) : х Є X} отображения / совпадает с Y . Множество всех Y-значных функций на X обозначаем P(X,Y) или кратко Vх , если это не вызывает разночтений.
мента к Є К будет обозначается записью вида \к\к • В частности, запись вида jz|c означает модуль комплексного числа 2 , причем индекс С для обозначения модуля опускать не будем, чтобы не входить в противоречие с обозначением вариации меры; результат комплексного сопряжения числа -гг по причине редкого использования будет обозначаться записью 2е (так что \z\c = Vz • 2е) , тогда как простая черта над буквами будет часто использоваться в других целях.
Легко проверяется, что функция рк : К х К Э (х,у) \у — х\к является метрикой на нормированном поле К , и, говоря о нём как о метрическом пространстве, будем подразумевать именно эту метрику. Изоморфизмом нормированных полей называется всякий изоморфизм их как полей, являющийся изометрией их же как метрических пространств.
Из указанных свойств 1дг), З/у) легко выводятся равенства 4дг) :
4W) N( 1) = N(-1) = 1 ,
и для тех же х и у , что и выше, свойства 5д/)-6дг) :
5дг) У ф 0 => N(x/y) < N(x)/N(y) и
6*0 Vn Є N (= {1, 2, 3, ...}) N(xn) = (.N(x))n .
В случае, когда К = Q — поле рациональных вещественных чисел, благодаря свойствам 5дг)—бдг) норма полностью определяется значениями на простых натуральных числах р , больших единицы, множество которых {2,3, ...} обозначим символом F . Полагаем далее Р = Р U {оо} , и элементы множества Р называем конечными элементами множества Р . Далее всегда р Є Р , так что р 6 Р <=> р < оо .
Определим простейшие нормы на поле Q , которые приводят к полям р-адических чисел.
Для каждого р Є Р положим Агр(р) = р“1 и при этом для каждого q Є (Р\ {р}) положим Np(q) = 1 . Положим ещё Noo(p) = Р Для всех р Є Р. Эти соотношения для каждого р Є Р определяют нормирования Np на Q , причем в случае р Є Р норма является Агр является ультранормой, тогда как в случае р = оо выполнены равенства Аг00(х) = \х\с для всех х Є Q (с С) .
20
Далее будет удобно следовать той традиции, в которой каноническое вложение метрического пространства в его пополнение является тождественным, то есть оставляющим точки пополняемого пространства неподвижными3. Результат пополнения нормированного поля относительно его метрики снова является нормированным полем (если бинарные операции ноля и метрику продолжить с сохранением непрерывности по совокупности аргументов, и новую норму определить как расстояние до нуля), называемым также пополнением исходного поля относительно его нормы.
Для каждого р Є ІР выбираем произвольным образом одно из (попарно изоморфных) нормированных нолей, являющихся пополнениями поля (0> относительно нормы Ар , и обозначаем выбранное пополнение знакосочетанием Ор ; значение |ж|др нормы на элементе х Є (0>р часто кратко обозначается \х\р . Поскольку при этом поле Ооо изоморфно нолю вещественных чисел, то считаем, что в качестве (0оо выбрано именно поле М (в частности, \x\qq = \х\& ).
Далее в рассуждениях, в которых значение переменной р Є Р фиксированно, поле 0)р обозначаем для краткости буквой С] .
При р < оо поле «2Р называется полем р-адических чисел, или р-адическим нолем; элементы р-адического поля называются, соответственно, р-адическими числами, а векторные пространства над р-адическим полем — р-адическими пространствами. Все формулируемые ниже без доказательств свойства р-адических полей можно найти в книге [32].
Если сі Є N и К — алгебраическое поле, назовем с1-мерным координатным пространством над полем К множество всех отображений начального отрезка 3 = ([1; сі] ПМ) натурального ряда длины с! в поле К , снабженное обычными поточечными операциями сложения функций и умножения их на элементы из К) и обозначим это пространство записью (= К6) . Для векторах Є КА и числам Є 3 вместо х(^) часто пишем х? . Если натуральное число <3 задано, для каждого у Є 3 запись Oj означает стандартный “координатно-базисный” вектор с кронеккеровскими координатами: е;- = 1 при А; = ^ , и е^ = 0 при
Зпри этом формулировки утверждений о продолжении функций на пополнение выглядят более есте-
ственным образом, нежели в ситуации с нетождественным вложением в пополнение
21
к е а\о*}.
Для заданных с! Е N и р Е Р (1-мернос координатное пространство (За над полем = <^р наз1»шаем р-адическим с!-мерным координатным пространством; вместо С}({ пишем часто X.
Пусть теперь снова N — норма на алгебраическом поле К , и пусть ещё V — векторное пространство над нолем К . Тогда Л^-нормой (или просто нормой, если N подразумевается) на пространстве V называется всякая вещественнозначная функция N с неотрицательными значениями, определенная на V и такая, что для произвольной пары (х, у) € V х V и произвольного элемента к Е К выполнены следующие обычные соотношения 1^)—Зг^) :
1м) 1Х(х) = 0 х = 0 ,
2^К(х + у)а(х) + ^у),
Зм) МГ(А: • х) = Щк) • Г*(х) ;
при этом значение ГДх) нормы N на элементе х называется ^нормой этого
%
элемента, или, если N подразумевается, — его нормой. Если при этом выполняется свойство (называемое усиленным неравенством треугольника для нормы К)
2^) для всех (х, у) Е N х N Г^(х 4- у) ^ тах(]Ч(х), ЗМ(у)) , то норма N называется также ультранормой.
Векторное пространство, рассматриваемое вместе с некоторой нормой на нем, называется нормированным пространством; если же норма является ультранормой — то и нормированное пространство называется ультранормиро-ванным. Если V — нормированное пространство, норма элемента х Е V будет обозначается записью вида ||х||у или просто ||х|| , когда V подразумевается. Подмножество нормированного пространства называется ограниченным, если сужение нормы на это подмножество является ограниченной функцией.
В частности, само нормированное иоле К является нормированным пространством над собой с нормой N = Аг (и прежними операциями сложения и умножения).
Для р-адического (р Е Р) координатного пространства <3с1 подразумева-
22
ется заданной его каноническая норма Эх4 шах |х;|р , которая также называется р-адической (на (2е1); она также является ультранормой.
В случае р = оо вещественное координатное пространство (2а = К** предполагается наделенным его стандартной евклидовой нормой
К'эхи (]С(Мс)2)1/2
><Ег1
Снова, рассматривая норму разности векторов в качестве расстояния между ними, превращаем нормированное векторное пространство в метрическое, и можем говорить о его полноте.. Полное нормированное пространство над полным нормированным полем называется банаховым пространством над этим полем. Конечномерные нормированные векторные пространства над полным полем <2 банаховы. Критерием (двусторонним) компактности подмножества в них является конъюнкция свойств замкнутости и ограниченности-. Линейные над (2 операторы между такими пространствами, непрерывны (так как ограничены на компактных шарах). Если некоторое множество является линейным подпространством некоторого определенного банахова пространства, это подмножество рассматривается как нормированное подпространство, а если является подмножеством в том же пространстве, но не является линейным подпространством — то рассматривается как метрическое подпространство.
Метрика, описанным выше образом порождаемая нормой некоторого нормированного поля или нормированного пространства V, называется нормируемой или нормированной; если же порождающая метрику р норма является ультранормой, то выполнено следующее свойство, называемое усиленным неравенством треугольника для метрики р :
для всех троек (гг, у,г) € V х V х V выполнено неравенство
р(х,г) ^ тах(р(х,у), р(у, г)) ,
и такую метрику называют ультраметрикой.
При 6=1 отображение (21 Э х »-»■ х1 £ (2 осуществляет изоморфизм (линейную изометрическую биекцию) одномерных нормированных пространств.
23
Нормированное пространство или поле превращаем в топологическое пространство, порождая топологию открытыми шарами соответствующей нормированной метрики; такая топология также называется нормируемой. Обычным образом, аналогично вещественному случаю, проверяется, что для всякого р-адического конечномерного векторного пространства существует ровно одна нормируемая топология, и что единственность нормируемой топологии является критерием конечномерности р-адического пространства.
В метрическом пространстве X с метрикой р так называемый “открытый шар” {у € X : р(у, гс0) < г} (вещественного радиуса г > 0 и с центром хо 6 X) обозначим записью Вг(хо) , а замкнутый шар {у € X : р(у,хо) ^ г} для тех же г и То — записью Вг[хо) . Если надо указать, в каком метрическом пространстве X рассматривается шар, пишем Вх(хо) или Вх[хо) соответственно, а если на одном множестве заданы разные метрики и надо указать ту метрику р, по которой строится шар — пишем В£(хо) или В£{хъ) соответственно.
В векторном пространстве V под сдвигом подмножества А С V на вектор х € V понимается образ (А) = {х+а : а € А} множества А при биективном отображении : V Э V м- (х у) € V (при этом верхний индекс V будем опускать в случаях, когда пространство V определено контекстом); этот образ обозначается А + х или х + А . Вместо А 4- (—х) пишем А — х .
Далее, если X — множество и V — векторное пространство, то множество Vх всех V-значных функций на множестве X считаем наделенным структурой векторного пространства относительно обычных поточечных операций и в таком качестве называем его и его векторные подпространства пространствами функций, чтобы выделить их по сравнению с пространствами типа Ьг , которые определим, как обычно, как фактор-пространства, элементами которых являются не индивидуальные функции, а классы эквивалентности (такие фактор-пространства называем далее пространствами классов функций).
24