Спектр резонансов одномерного оператора Шредингера

Содержание
Введение 2
Обзор исследований, связанных с диссертационной темой.............. 4
Описание результатов диссертации.................................11
1 Оператор Шредингера с финитным потенциалом 20
1.1 Фундаментальная система решений уравнения Шредингера . . 20
1.2 Характеристический определитель...............................22
1.3 Асимптотика интегралов типа Лапласа...........................23
1.4 Асимптотика решения
одного интегрального уравнения................................27
1.5 Локализация спектра задачи....................................33
2 Оператор Шредингера с супер-экспо!генциально убывающим потенциалом 37
2Л Матрица рассеяния и ее борновское приближение.................37
2.2 Зоны свободные от резонансов..................................40
2.3 Случай гауссовского потенциала У{х) = е~х ^...................46
2.4 Общая схема...................................................53
2.5 Случай У{х) = е"*2"*/2™, т > 2 ...............................55
2.6 Класс многочленов 6...........................................66
2.7 Точки перевала фазовой функции................................71
2.8 Перевальный контур для фазовой функции........................75
2.9 Асимптотика преобразования Фурье быстро убывающих функций 81
2.10 Распределение резонансов в борновском приближении.............91
Литература 08
Список работ автора по теме диссертации 102
О-
1
Введение
Метод перевала является эффективным средством исследования асимптотического поведения при Л —► эо интегралов вида
где 7 — контур в комплексной плоскости Такие интегралы возникают в различных областях математики и се приложениях. Предметом настоящей диссертации является развитие метода перевала и его применение в задаче о локализации и асимптотическом распределении резонансов одномерного оператора Шредингера
Способы получения асимптотических оценок интегралов вида (*) восходят к Эйлеру и Лапласу, заложившим основы подхода, впоследствии названного методом перевала Дальнейшее развитие он получил в работах Стокса, Кельвина, Дебая и многих других авторов. Данный метод состоит из двух этапов: выбора подходящего пути интегрирования (перевального контура) и вычисления асимптотики интеграла по этому пути. Перевальный контур строится таким образом, чтобы он проходил через критические точки (точки перевала) фазовой функции Б (г), дающие основной вклад в асимптотику интеграла. Этот этап на практике представляет собой трудную задачу, поскольку неизвестен общий простой алгоритм построения такого контура.
Развитию и применению указанных идей посвящено большое количество работ (см. [1]-[5] и цитируемую там литературу). Особый интерес, как в теоретическом, так и в прикладном отношении, представляет случай зависимости подынтегральной функции /(г) от комплексного параметра Л, когда изучение вопроса об асимптотическом поведении интегралов тина (*) является сложной проблемой. Именно к такой постановке сводится задача исследования спектра резонансов одномерного оператора Шредингера с быстроубывающим потенциалом V.
Под резонансами оператора Шредингера, согласно принятому определению, подразумеваются полюса аналитического продолжение в С_ его матрицы рассеяния (МР). Наряду с волновыми операторами МР является одним из центральных объектов математической теории рассеяния. Она связывает
(*)
2
поведение решения эволюционного уравнения при t —» — оо и при £ +00.
Изучению различных свойств МР посвящено огромное количество литературы (см., например, [6] - [13]). Структура распределения се полюсов содержит в себе информацию о рассеявателе - потенциале оператора Шредингера, а также о поведении решения эволюционного уравнения при больших временах. В этой связи важным направлением математической теории рассеяния является изучение распределения и локализации полюсов МР.
Наибольшее число результатов в данной области касается верхних и нижних оценок числа резонансов в шаре произвольного радиуса. Обширную библиографию по вопросу можно найти в 115, 16]. С другой стороны на сегодняшний день имеется не так много работ, раскрывающих структуру распределения резонансов.
В случае вещественного потенциала полюса МР являются нулями ее определителя, который при условии достаточного быстрого убывания потенциала на бесконечности является целой функцией. Данное обстоятельство позволяет использовать результаты комплексного анализа для исследования резонансов соответствующего оператора Шредингера, если для него удается выписать определитель МР.
Для многомерного оператора Шредингера МР матрицей не является, а' представляет из себя оператор умножения на оператор-значную функцию. Явное ее описание довольно сложно, что делает затруднительным исследование ее полюсов. Одним из выходов в этой ситуации является подход основанный на связи (впервые установленной Бирманом и Крейном в [17]) детерминанта МР и так называемого определителя возмущения, который выражается через свободную резольвенту и потенциал оператора Шредингера. Данный определитель при услозии достаточного быстрого убывания потенциала является целой функцией. Его нули совпадают с нулями детерминанта МР соответствующего оператора, что позволяет исследовать распределение резонансов не вычисляя матрицу рассеяния, а анализируя поведение в комплексной плоскости определителя возмущения.
Для одномерного ОШ матрица рассеяния выписывается явно. Ее элементы — так называемые коэффициенты отражения и прохождения — представляют собой интегралы вида (*). Разработанная в диссертации техника оценок таких интегралов позволяет установить, что распределение полюсов матрицы рассеяния определяется ее борцовским приближением, получающимся линеаризацией относительно потенциала V. Применительно к рассматриваемому классу потенциалов, включающего гауссовский, обоснование данного факта сводится к асимптотической оценке с помощью метода перевала интегралов типа (*) с комплексным параметром Л в показателе экспоненты и нодынте-
3
гральной функцией f(z) также зависящей от этого параметра.
Обзор исследований, связанных с диссертационной темой
Первые результаты, касающиеся информации о распределении и локализации резонансов, восходят к Т. Редже. В своей работе [18] он исследовал данный вопрос для одномерного оператора Шредингера Ly — —SjdxL + К(а;),
заданного на полуоси R+ условием у(0) = 0. В предположении финитности потенциала V(х) с нулем конечного порядка Л > 0 на правом конце носителя Редже установил, что множество полюсов МР оператора Ly состоит из двух серий
71-п .А+ 2
к±п ~ ± г——Inn, п —► -Ьоо.
а 2а
При исследовании спектра резонансов Редже использовал результаты комплексного анализа — теоремы о связи различных характеристик целой функции с распределением ее нулей. В рассматриваемом случае полюса МР совпадают с нулями целой функции f(k) := f{x,k), где f(x,k) — решение Поста уравнения Шредингера, равное егкх при х ^ а := sup(supp V). Последнее, как известно, удовлетворяет интегральному уравнению Грина
fix, к) = ёкх - jfsmfc(* ~f) V{t)f{t, k)dt
и может быть разложено в итерационный ряд. Оценив по индукции члены этого ряда, Редже пришел к выводу, что f(k) является (в некотором смысле) малым возмущением относительно первого члена своего разложения. Данный факт совместно с теоремами Йенсена и Карлемана позволил ему извлечь требуемую информацию о распределении резонансов.
Известно, что резонансы оператора Ly совпадают с собственными значениями задачи Редже:
-у"(х) + V(x)y(x) = к2у(х),
2/(0) = у'(а) - iky (а) = 0.
Спектр этой задачи (в контексте вопроса о двукратном разложении в ряд по ее собственным функциям) был исследован А. Кравицким в работе [19]. В предположениях бесконечной дифференцируемости потенциала V на отрезке [0, а] и наличия у него нуля в точке х = а целого порядка А им было получено асимптотическое разложение спектра задачи
/ j.'71-72 1 1
к±п = ± тг1п
а 2 а
(27гт)А+2"
dx
оо
_ Р,(1пп)
+ п^+0°-j=1
>
где Pj(lrm) - полином степени j от Inn с коэффициентом при старшем члене 71- /д 4. 2V+1
— ( ■ . ] , a d\ = -К^(а)аЛ+2. В случае, когда функция И(я) имеет
ja \ 1та )
лишь А 4- I производных на отрезке (0, а], бесконечную сумму в указанном разложении следует заменить ее первыми I слагаемыми с остатком о(1/к1).
Способ исследования спектра, используемый Кравицким, существенно отличается от методов ранее примененных Редже и основывается на разложении функции Йоста в асимптотический ряд
ос
. а
~ У
f(x,k) = е
-ikx
eikx{2a-x)
V\a)
• 1 to*
J=l
7=1 - J (—2г/с)Л+2
Коэффициенты о, (я) и (х) находятся после подстановки данного ряда в уравнение Шредингера и приравнивании членов одного порядка по степени Ус. С учетом этого разложения уравнение /(к) = 0 преобразуется к виду
1 • V4 а7(°)
(-2 а-)Л+2 £1 *
7=1
пригодному для вычисления корней с нужной точностью. С способы приближенного вычисления корней, в частности, такого вида уравнений можно найти в [4].
Для потенциалов
V(х) = (а - x)xq(x), q S <7°°[0, а], q{a) ф О,
с нулем произвольного (не обязательно целого) порядка Л > — 1 асимптотика собственных значений задачи Редже с точностью 0(1п?г/п) была вычислена в [23] М. Федор ЕС ком:
к±п = ±— — -Inn — [(Л-Ь 2) 1и(~27гг) — (Л 4-2) lna-
cl 2а 2а L
- 1п(-д(а)Г(Л -f 1))] 4- 0(1пп/п), п —> 4-оо.
Основу подхода, примененного им для вычисления требуемой асимптотики, составляет метод Лапласа.
Искомые точки спектра суть нули так называемого характеристического определителя краевой задачи Редже. Построенный по фундаментальной системе решений у\$(х) уравнения Шредингера, где у\(0) = 2/2(0) = 1 и 2/1(0) = — 2/2(0) = Не, данный определитель имеет вид
А (к) = 2/2(0) (2/1 (о) - 1кух(а)) 4- 2 гк.
5
Применение метода Лапласа позволяет вычислить асимптотики при \к\ —* оо решений yi,2(x,k) а, значит, и асимптотику А (к). С использованием последней, уравнение А (к) = 0 в окрестности бесконечно удаленной точки решается с требуемой точностью.
В случае произвольных потенциалов из L2(0,a) задача Редже исследовалась в работах авторов [24] и [25].
В [24] Г. Губреевым и В. Пивоварчиком установлено необходимое и достаточное условие того, что множество комплексных чисел А является спектром данной задачи с некоторым потенциалом V £ L2(0,a). Для этого необходимо и достаточно, чтобы множество А совпадало с множеством корней функции определенного вида
где последовательности чисел
V1 < /1\ < г/2 < ^2 < • • • при некоторых {а„}, {Д,} G /2 и с > 0 допускают представления
7Г2 7Г2
Vu = -^(n-1/2)2 -с + Дп Ibi = “2n2-c + an.
cz а
А. Шкаликов (см. [25]) в контексте задачи о двукратной полноте собственных и присоединенных функций задачи Редже с вещественным потенциалом установил, что область комплексной плоскости, лежащая выше некоторых логарифмических кривых, является асимптотически свободной от точек спектра исследуемой задачи. Все собственные значения из верхней полуплоскости лежат на мнимой оси. Кроме того, при условии знакоопределенности функции V{x) в окрестности точки х = а на —iR+ может находиться лишь конечное число точек спектра.
М. Зворский в статье [20] рассмотрел оператор Ly = —dP/dx2 + V, заданный на всей вещественной оси. В предположениях финитности потенциала V £ Сд [а, 6] с нулями натуральных порядков т}1 < N на концах носителя он установил, что (как и в случае оператора на полуоси) большие но модулю резонансы к±п расположены вблизи логарифмик. Параметры этих логариф-мик зависят от порядков нулей уже на обоих концах носителя:
7 _1_ 71 .ТП + 1 + 4тг 7Г ( . . .V
± + W^â){l + s,sn (с)) "
.т + 1 + 4. .т + 1-{-4. тг 1п |С7|
- г-— г\пп - г-—-.-------------- ln h г— г -1- еп.
2 (6 — а) 2(6 — а) 6 — а 2(6 — а)
6
Здесь С - константа, зависящая только от потенциала, а еп —» 0 при п —> оо. В случае суммируемого на отрезке [а, 6] потенциала Зворским была получена асимптотика количества резонансов в круге {\г\ < г} достаточно большого радиуса
. ч 2(6 - а) , ч п(г) = г Ч- о(г).
7Г
Кроме того, был приведен пример потенциала У € Сц° такого, что матрица рассеяния соответствующего оператора Шредингера имеет бесконечно много полюсов на мнимой полуоси .
При исследовании асимптотического распределения полюсов матрицы рассеяния Зворский опирался на специальное (полученное в [41) Мелипом) представление этой матрицы
ЗД =
. Х(к) Х{к)]
в котором ее элементы выражаются через преобразование Фурье обобщенных функций
Х{у) = <5'(у) - <%)^ [ У(х)сЬ - \ С У(х)ґ1у(х,х-У)(1х,
* У а * J-2^b-a)
И
У{у) = У(у/2) + 11 У(х)Ну(х,х-у)<Ь.
4 і 7-2(Ь—а)
Здесь 8{х — у) -Ь Лу(х,у) — ядро оператора преобразования для пары Ьу и Ьо. Из этого представления МР вытекает, что ее полюса являются корнями уравнения
[ ( [ У(х)Яу(х,х — у) УаА е1ку (1у = С — ік.
J-2(Ь-а) \Уа /
Подынтегральная функция д{у) = / У(х)Лу(х,х — у) сіх в рассматриваемом случае достаточно гладкая и имеет в точке —2(6 — а) нуль порядка тп + 1 + 2. С помощью т+1+2 кратного интегрирования по частям последнее у равней не приводится к виду пригодному для вычисления корней с нужной точностью.
7