ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение................................................................3
Глава 1. Исследование свойств корневых множеств классов целых и голоморфных в полуплоскости функций...................................23
§1.1.0 нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка..........23
§1.2. Описание корневых множеств функций из класса Н(л,+оо)
и построение их факторизационного представления.......................33
§1.3. О вещественных нулях аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка.....................................44
§1.4. Об условии Бляшке в полуплоскости...............................51
§1.5. Об одной теореме Н. В. Говорова.................................67
§1.6. О росте бесконечного произведения типа Вейерштрасса в полуплоскости.........................................................77
Глава 2. Факторизационное представление и оценки в среднем классов голоморфных в круге функций, допускающих рост вблизи граничной окружности............................................................82
§2.1. О факторизации аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка.....................................................82
§2.2. О нулях аналитических в круге функций с мажорантой первого порядка...............................................................94
§2.3. Факторизациоиные представления и Ьр- оценки производных аналитических функций................................................106
Список использованной литературы....................................125
Введение
Актуальность темы. Хорошо известно, что исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений различных классов аналитических функций играют важнейшую роль в общей теории функций комплексного переменного и её приложениях. Исследование этих вопросов привлекало внимание классиков комплексного анализа ещё в начале прошлого столетия. В этой связи отметим классические работы К. Вейерштрасса, Ж. Адамара, Ф. Бореля, Е. Линделёфа, О. Пикара и др. о нулях целых функций, имеющих заданный рост вблизи бесконечно удалённой точки, а также работы Р. Неванлинна и В.Н. Смирнова о внешне-внутренней факторизации классов Харди и классов функций ограниченного вида в единичном круге. Эти вопросы остаются в центре внимания современных авторов, для этого достаточно отметить работы Б.И. Левина ([26]), М.М. Джрбашяна ([20]—[23]), Н.В. Говорова ([14]- [15]), Б.А. Тейлора ([51]), Л.А. Рубеля ([50]- [51]), A.A. Гольдберга ([19]), И.В. Островского([19]), Л.М. Седлецкого ([28]), Ф.А. Шамояна ([34]- [35]), H.A. Широкого ([55]), Б.И. Коренблюма ([46]), К. Сейпа ([52]), Б.Н. Хабибуллииа ([30]) и других математиков, посвящённые исследованиям свойств корневых множеств и построению факторизационных представлений ряда важнейших классов голоморфных функций.
Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы, для этого введём необходимые обозначения и определения.
Пусть С— комплексная плоскость, Я (С)— множество всех целых функций, Я— монотонно возрастающая, положительная функция на .
Введём в рассмотрение классы функций
Н (А,+оо) = {/ 6 Я (С): ln|/(z)|< Су л(|г|), геС} (0.1)
и Н (Я,+оо) = |/ е //(С): 1п|/(г)| < -|z|), z eCj. (0.2)
3
где Af,BfiCf - здесь и в дальнейшем будут обозначать произвольные постоянные, зависящие только от функции /. Пусть ЯеС(|)(1&+) и существует предел Л\х)-х
а* "}^~л(х)~уТ0ГДа назовём его степенным порядком функции Л. Нетрудно заметить, что если ал <+оо, то рассматриваемые классы функций Я (Я,+оо) и
Я (Я,+со) совпадают, а если Я(х) = хр, х е i&+, то они совпадают с классом целых функций конечного порядка р и нормального типа. Однако при а, = +со это уже не так, например, в случаях когда
Я(0 = ехрехр...ехр(*'>), /еК„ или Л(/) = ехр(1п/)'\ /еК„ р> 1.
л
Если te R+, /?б!+, то класс Н (Я,-к») обозначим через Я(/э,-кх>).
В дальнейшем будем считать, что если / еЯ(С), то Zf будет обозначать мно-
J'/
жество всех нулей функции /, то есть Zf = {z <= €: /(z) = 0}.
Хорошо известно следующее свойство корней функции из класса #(р,+°о): последовательность можно представить в виде Z = Zf,
р £ N, р > 0 тогда и только тогда, когда
n(r) = {ctfraf z*: |zA | < г} < Сf • . (0.3)
Но при р е N наряду с условием (0.3) возникает еще условие Е. Линделёфа (см. [19|, |26]): существует М>0, такое что
Используя последнее условие, нетрудно построить последовательность {г*}*Г|, пРичём = Гр /еЯ(А+°°)> такую, что для любой
функции £еЯ(/?,+оо) ИЗ условия 2{,=2/, где ^/={1^*1}^,» следует, что
я(г) = 0, гбС, то есть множество не представимо в виде ни при каких
g е Н(р,-но), реИ, g (г) Ф 0. Примером такой последовательности может быть
I
/ & р
последовательность к е
Иными словами, для представления последовательности {z^t}^1=Z = Z^
важен не только рост функции п(г), но и расположение по аргументам.
Определение. Скажем, что некоторое множество X целых функций удовлетворяет условию Линделёфа, если существует функция / е X, / ФО,
Из вышеизложенного следует, что класс Н[р,-к») при рбН удовлетворяет условию Линделёфа, а при р <£ N не удовлетворяет ему. Естественно, возникает вопрос, а что происходит при остальных Я, например, при
Я(0 = ехр(;'>), /е К., ре К, или А(/) = ехрехр...ехр(;р), /еИ,, ре К. или
Я(/) = ехр(1п/)р, р> 1?
Исследованию свойств корневых множеств функций из класса #(Я,+ со)
посвящено множество работ. В работах Л.А. Рубеля и Б.А. Тейлора (см. [50]-[51]), применяя методы теории рядов Фурье, получено описание корневых
множеств функций класса Я(Я,+оо). Приведём этот результат.
_ г \ *00
Пусть 2 = последовательность, отличных от нуля комплексных
чисел, я,.-»со при у-»+со, Я- функция вышеуказанного типа. Для чисел к е N и г > 0 определим функцию
21 - такая, что из условия
что g(z) = 0 при всех геС.
следует,
п
если гг > г2, то
5
S(rlir2,k,Z) = S(rl,ktZ)-S(r2,k,Z).
Положим также n(r,Z) = {card ak :\ak\ < г} и N(r,Z)= J- \tt.
о *
Основной результат в вышеуказанных работах JI.A. Рубеля и Б.А. Тейлора формулируется следующим образом: для того чтобы последовательность
{я*}А=1 можно было представить в виде Zft / е Н (Я,+оо), f Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа А, В и С, такие, что при всех гх и г2 выполнялись оценки
, ч Л(ВгЛ Я(Вг2)
S(r„r2,k,Z)£A \ +А \ rt>r2, * = 1,2,...
7*1 7*2
•+ •
и И(г,г)<С-Х{Вг), геШ
Исследования корневых множеств классов аналитических в круге функций, имеющих конечный порядок роста вблизи единичной окружности было начато в работах В.В. Голубева (см. [16]—[17]). Эти результаты почти через десять лет были переоткрыты немецким математиком Ф. Беурманом (см. [37]).
В работах Н.В. Говорова получена полная характеризация корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в полуплоскости функций конечного порядка р. В последние десятилетия довольно интенсивно развивалось исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений классов аналитических в круге функций, принадлежащих классам С. Бергмана или имеющих степенной рост при приближении к единичной окружности. Эти результаты подытожены в монографиях [40] и [46].
В работах А.И. Хейфица (см. [33]) и И.О. Хачатряна (см. [31]) было найдено каноническое представление классов аналитических в полуплоскости
функций типа Я(Л,+со).
М.М. Джрбашяном (см. [20]—[23]) были построены формулы типа формул Пуассона-Иенсена, на этой основе исследовались корневые свойства и факто-
ризационные представления функций, мероморфных в круге, имеющих заданную Тю - характеристику.
В работах Ф.А. Шамояна (см. [34]—[35]) получено полное описание корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи единичной окружности при условии, что степенной порядок роста мажоранты строго больше единицы.
Классы субгармонических в полуплоскости функций с заданной мажорантой в окрестности бесконечно удалённой точки рассмотрены А. Гришиным и Т. Малютиной (см. [42]).
Цель работы.
1) Изучить свойства корневых множеств целых функций с мажорантой бесконечного порядка.
2) Получить полное описание корневых множеств весовых классов целых функций и построить их факторизационное представление при условии, что вес имеет бесконечный степенной порядок.
3) Охарактеризовать корневые множества классов голоморфных в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.
4) Оценить в среднем производную голоморфной в круге функции посредством средних самой функции.
Общая методика исследования. В диссертационной работе используются общие методы линейного и комплексного анализа, а также более специальные методы геометрической теории функций комплексного переменного. В диссертации важную роль сыграли теоремы типа теоремы Л.В. Альфорса и
С.Е. Варшавского об оценках конформно отображающих функций криволинейных полос на стандартные области.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1) Установлено, что корневые множества класса целых функций с мажорантой бесконечного порядка удовлетворяют условию Е. Линделёфа.
7
2) В терминах лишь одной считающей функции получено полное описание корневых множеств и построено факгоризационное представление весовых классов целых функций, когда вес имеет бесконечный степенной порядок.
3) Введена серия новых бесконечных произведений, посредством которых охарактеризованы корневые множества классов аналитических в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.
4) Построено новое факторизационное представление аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка вблизи граничной окружности.
5) Получены Ьр - оценки производной аналитической в круге функций через Ьр - средние самой функции.
Практическая и теоретическая значимость результа тов диссертации.
Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в последующем к задачам аппроксимации рациональными функциями с фиксированными полюсами, изучения классов целых функций с мажорантой бесконечного порядка, а также при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.
Личный вклад соискателя. Все выносимые на защиту результаты получены автором самостоятельно при содействии научного руководителя.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты данной работы неоднократно докладывались автором на семинарах по комплексному и функциональному анализу при кафедре математического анализа и на апрельских научных конференциях преподавателей физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского в 2005 - 2010 гг., а также на Смоленской международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005 г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2006 г., 2008 г.) и «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2009 г.), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.), на Са-
8
ратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010 г.).
Публикации результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2]-[12]. Работа [9] входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка используемой литературы в алфавитном порядке. Объем диссертации - 130 страниц. Библиография содержит 56 наименований.
Содержание диссертации.
Приведя краткий обзор известных результатов по теме диссертации, перейдём к обзору диссертации по главам.
Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию свойств корневых множеств и построению факгоризационных представлений классов целых функций с мажорантой бесконечного порядка.
В §1 главы 1 рассматриваются вопросы, связанные с нулями целых функций, имеющих мажоранту бесконечного порядка. Здесь мы рассматриваем класс целых функций (0.1). Для изложения основных результатов данного параграфа приведём следующее определение.
Определение. Монотонно возрастающую положительную функцию из класса С^(К+) назовём весовой, если ал=-ня.
Основным результатом данного параграфа является доказательство следующей теоремы.
Теорема 1.1. Пусть Я- весовая функция, причём ЯеС^(К+), функция У'(-к) = выпукла вниз на множестве К+, причём
___ = 0(1), *->+00
при некотором 0 < 3 < 1.
Тогда класс функций //(Я,-ко) обладает условием Линделёфа.
В §2 главы 1 рассматриваем класс целых функций (0.2). Исследованию
свойств корневых множеств функций из класса Н (Я,-ко) посвящено множество работ, укажем лишь работы [50],[51] и цитированную в них литературу, где, в основном, применён метод, базирующийся на методах теории рядов Фурье. Однако из этих результатов даже не следует ответ на вопрос, при каких Я можно охарактеризовать указанное множество в терминах лишь считающей функции п{г) ?
В случае — -ко нами получено описание корневых множеств функций из класса Н(Я,-ко). Это описание имеет модульный характер. Оказывается, что
это описание можно получить лишь в терминах {|г*|}*.(, то есть в терминах считающей функции п{г). Доказана следующая теорема.
Теорема 1.2. Пусть Л - весовая функция, причём ЯеС(,)(К+), функция (р (х) = 1п Я (х) выпукла вниз на множестве Е+.
Тогда следующие утверждения равносильны:
Г \ +00
1) последовательность комплексных чисел [гк \к ) можно представить в виде
для некоторой ненулевой функции / е Н (Я,+со);
2) существует такое положительное число С, для которого
*=I
Из теоремы 1.2. следует, что первое условие в теореме Л.Л. Рубеля и Б.А. Тейлора в случае в случае ах = -ко является лишним.
Установленное свойство корневых множеств класса Я (Я,-ко) позволяет построить факторизационное представление рассматриваемого класса функций.
10
Теорема 1.3. Пусть, как и прежде, X- весовая функция, причём 'К е С(1) (К+), Ф (л:) = 1п X (х), * е К+ выпукла вниз на множестве .
Тогда класс функций И (Л,-ко) совпадает с классом целых функций /, допускающих представление в виде
/(г) = гт-е*х)
+ао
г,п
/1=1
/ \ ( Рп 1 Iі с ^ Л
1-- •ехр г
1 2п) >
, 2 Є С
где т - неотрицательное целое число, последовательность комплекс-
ных чисел, таких, что гп -> со при п -» +оо и \^п\< |г>г+1[ <удовлетворяющих условию
4оо
Хехр(_'р(сК1))<+о°
П=1
1пф(сК|)
при некотором С > О, Р„ -
\п2
удовлетворяющая оценке
М^С,-<{>(с2|г|), геС при некоторых положительных С, г/ С2.
В §3 главы 1 рассматривается класс аналитических функций в правой полуплоскости С+ = [г е С: Кег > 0}
(С+ ) = {/ е Я (С ,): 1п |/(г)| 5 С{ ■ р(\г\), геС,},
где С/ - положительное число, зависящее только от функции /.
В работах Н. В. Говорова (см. [14],[15]) получено полное описание корневых множеств аналитических в полуплоскости С + функций, имеющих там конечный порядок, меньший или равный р> 0. Естественно, возникает вопрос, каким свойством указанного типа обладают вещественные корневые множества
И
- Київ+380960830922