Оглавление
1 Введение 4
2 Формулы Фейнмана для уравнений типа теплопроводности с оператором Владимирова 18
2.1 Предварительные сведения и обозначения............. 19
2.2 Уравнения теплопроводности с оператором Владимирова .................................................. 23
2.3 Формулы Троттера и Чернова как источники формул Фейнмана............................................... 28
2.4 Полугруппа, порождаемая оператором Владимирова 31
2.5 Формулы Фейнмана 34
3 Формулы Фейнмана-Каца для уравнений типа теплопроводности с оператором Владимирова 39
3.1 Построение меры типа винеровских.................. 39
3.2 Стохастическая непрерывность ..................... 42
3.3 Формулы Фсйнмапа-Каца 44
4 Формулы Фейнмана для уравнения теплопроводности в пространстве последовательностей над полем р-адических чисел 46
4.1 Предварительные сведенная и обозначения........... 46
2
4.2 Построение с четно-аддитивной меры
на конфигурационном пространстве..................... 48
4.3 Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности .................................... 51
4.4 Существование и единственность решения.............. 53
4.5 Формулы Фейнмана.................................... 58
3
Глава 1 Введение
Диссертация посвящена представлению решений некоторых эволю-цпошшых уравнений над полем р-адических чисел с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца.
Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного дифференциального или псевдодиффе-ренциальиого уравнения в виде предела интегралов по декартовым произведениям некоторого пространства при стремлении числа сомножителей к бесконечности.
Формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той же задачи с помощью интеграла но траекториям в том же пространстве. При этом кратные интегралы в формуле Фейнмана совпадают с интегралами, являющимися конечнократными аппроксимациями интегралов по траекториям.
Связь между эволюционными уравнениями и интегрированием по пространству траекторий впервые явно была описана Р. Фейнманом. В его статье, опубл икона ной в 1948 году решение уравнения Шредипгера представлено в виде функционального интеграла, определяемого как предел последовательности эффективно вычисляемых интегралов по конечному произведению конфигурационных пространств. Несмотря на то, что рассуждения Фейнмана
4
носили эвристический характер, оказалось, что им можно придать точный математический смысл. Э. Нельсон заметил, что доказательство формулы Фейнмана для представления решения уравнения Шродингера с потенциалом можно провести путем применения теоремы Троттера (доказанной независимо Ю.Л. Далецким). Таким образом было положено начало эффективному методу получения представления решений эволюционных уравнений функциональными интегралами. В работах О.Г. Смоляиова, X. ф. Вайцзеккера и их соавторов было предложено вместо теоремы Троттера использовать значительно ее обобщающую теорему Чернова, что позволило существенно расширить область применения предложенного подхода. Другие методы получения представлений решений уравнений тина Шредмнгера функциональными интегралами обсуждались в работах С.Альбеверио, Ф.А.Березина, Ю.Л.Далсцкого, В.П.Маслова, Э.Нельсона, О.Г.Смоляпова, А.Трумена. Е.Т.Шавгулидзе и другими.
Оказалось, что формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца позволяют получить представления решений широкого класса эволюционных уравнений, с псевдодифференциальным оператором в правой части. В частности, представления решений могут быть получены для эволюционных уравнений относительно функций действительного аргумента, принимающих значения в пространстве комплексных функций ;>-адического аргумента.
Важность исследования последнего случая связана в первую очередь с тем, что в последнее десятилетие найдены существенные применения р-адического анализа в области биохимии и теории сплошных сред. С помощью р-адического анализа построена модель так называемой спектральной диффузии в пространстве состояний мак-
ромолекул белка, а также явления абсорбции угарного газа мио-глобином. р-адическая модель процессов с белковыми молекулами включает в себя уравнение, аналогичное уравнению теплопроводности. понимаемое в данном контексте как кинетическое. Кроме того, 7>адический анализ нашел применение при описании процессов так называемых спиновых стекол.
Отметим, что впервые возможность применения р-адического анализа в математической физике была отмечена в работах B.C. Владимирова и И.В. Воловича. В этих работах речь шла о его применении для описания физических процессов масштабов нлапковской длины.
Исследованиям дифференциальных и псевдодифференциальиых операторов относительно функций р-адических аргументов, и, в частности, представлениям решений уравнений с этими операторами в виде интегралов по путям в пространствах р-адических чисел, по-священ ряд работ О.Г.Смолянова и Н.Н.Шамарова. Результаты первых двух глав диссертации распространяют полученные О.Г. Смо-ляиовым и Н.Н.Шамаровым на n-мерный случай.
Эти результаты имеют также ряд точек соприкосновения с задачами. исследованными Р.С.Исмагиловмм и B.C. Варадаражаном, использовавшими, однако, другие методы.
Всем сказанным и определяется актуальность темы диссертации.
Цель работы
Исследование применимости техники функционального ин тегрирования для представления решений некоторых эволюционных уравнений относительно функций, определенных над р-адическими пространствами.
Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них
б
- Київ+380960830922