ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................3
ГЛАВА 1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНО- И АФФИННОИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ ................................................19
§1. Предварительные сведения..............................19
§2. Оценки модуля производной Шварца для гармонических отображений ......................................................32
§3. Оценка радиуса звездности однолистных гармонических отображений ..................................................46
§4. Оценки кривизны образа окружности при гармонических отображениях .....................................................52
§5. Аналог уравнения Лёвнера для подчиненных гармонических отображений ....................................................57
ГЛАВА 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СЕМЕЙСТВАХ ЛОКАЛЬНОКВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.................................64
§6. Общие свойства квазиконформных и локально- квазиконформных отображений ......................................... :.64
§7. Оценка искажения модуля двусвязных областей...........71
§8. Оценка искажения приведенного модуля..................81
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................87
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................89
2
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. Историческая справка. Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются экстремальные свойства гармонических и локально-квазиконформных отображений в плоскости комплексного переменного.
Основы теории гармонических отображений были заложены в начале XX века в работах Т. Радо [68], X. Кнезера [57| (1926 г.) и Г. Шоке [40] (1945 г.). Повышение интереса к классам однолистных гармонических функций произошло после известной работы Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла [43] (1984 г.), и обусловлено, во-первых, родством задач теории гармонических отображений с классической проблематикой конформных отображений, а. во-вторых, существенными отличиями и своеобразием свойств гармонических функций и используемых для их анализа методов. Отдельным фактором, стимулиру-. ющим развитие теории гармонических отображений, следует считать успешное доказательство Л. де Бранжем [38] в 1984 г. известной гипотезы Л. Бибер-баха об оценке коэффициентов нормированных однолистных конформных отображений. В дальнейшем проблематике однолистных гармонических отображений был посвящен ряд работ Т. Шсйл-Смолла |72], Дж. Вшути [39], У. Хенгартнера [53], П. Дюрена [45], Ю. Йоста [54, 55], Э. Шауброк [71], М. Дорфа, а также российских математиков, таких как Б.В. Старков [73, 74], В.Г. Шеретов [33], Д.В. Прохоров, С.10. Граф [10 - 14]. Следует от-
3
метить, что ряд классических проблем теории гармонических отображений (таких как оценка коэффициентов, теорема существования и единственности гармонического отображения с заданной дилатацией) на сегодняшний день остаются нерешенными.
В настоящее время гармонические отображения превратились в важный инструмент для решения широкого спектра задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, комплексно-аналитической и теоретической физики. Теория гармонических отображений также применяется в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. По сей день развитие теории гармонических отображений активно продолжается, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, возникающие в этой области [45].
В настоящей диссертационной работе сделана попытка обобщить некоторые классические результаты геометрической теории функций на классы однолистных и локально-однолистных гармонических и локально-квазиконформных отображений. При этом многие результаты представляют собой продолжение исследований С.Ю. Графа [11, 14] в теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений.
Цель рггботы:
(а) развитие теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств локально-однолистных гармонических отображений единичного круга, включающее в себя получение оценок радиусов кругов однолистности, звездообраз-ности гармонических отображений, доказательство оценок кривизны образов окружностей при гармонических отображениях;
(б) развитие и адаптация методов модулей и экстремальных длин к классам локально-квазиконформных и гармонических отображений.
Методика исследования. При получении основных результатов данной диссертационной работы использовались вариационные методы (в частности, методы теории линейно- и аффинно-инвариантных'семейств локальнооднолистных аналитических и гармонических функций), метод параметрических продолжений, а также методы экстремальных длин и модулей.
Многие доказательства опираются на результаты П. Дюрена [45, 46], Дж. Клуни [43], Т. Шейл-Смолла [72] и С.Ю. Графа. •
Научная новизна и достоверность. Все представленные в диссертации результаты являются новыми, за исключением материалов §1 и §6, носящих обзорный характер, и некоторых вспомогательных фактов, авторство которых отражено в ссылках. Все научные результаты, включенные в состав диссертации, сопровождены убедительными доказательствами и являются достоверными.
Работа носит теоретический характер.
Основными в ней являются следующие результаты:
- оценка модуля производной Шварца аналитической составляющей гармонического отображения, принадлежащею произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству;
- оценка модуля производной Шварца гармонического отображения специального вида, принадлежащего произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству;
- оценка радиуса звездности однолистного гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аффиино-инвариантпому семейству;
- оценка кривизны образа окружности при локально-однолистном гармоническом отображении, принадлежащем произвольному линейно- п аффин-но-инвариантному семейству;
- уточнение и специализация оценок искажения модулей и приведенных модулей многосвязных областей при локально-квазиконформных отображениях.
Результаты диссертации представляют интерес для развития теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений и тесно связаны с некоторыми классическими проблемами и гипотезами теории гармонических отображений, такими как проблема коэффициентов, проблема круга однолистности, проблема оценки Гауссовой кривизны минимальных поверхностей. Результаты диссертации применены в исследованиях но геометрической теории функций и квазиконформным отображениям.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 14-ой международной Саратовской зимней школе, посвященной памяти академика П.Л. Ульянова (февраль 2008 г., Саратов), на девятой международной Казанской летней школе-конференции по теории функций (июль 2009 г., Казань), на 5-ой Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу (шоль 2010 г., Петрозаводск) и на семинарах кафедры математического анализа Тверского государственного университета.
Публикации. Результаты диссертационных исследований опубликованы н с достаточной полнотой отражены в 8 статьях, список которых приведен в конце диссертации, из них 3 опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, влкачающих 8 параграфов, заключения и изложена па 100 страницах. Нумерация параграфов сквозная, то есть не зависит от номеров глав. Список литературы включает 76 наименований.
6
Краткое содержание работы
Переходя к положению основных результатов диссертации, отметим, что нумерация всех утверждений в автореферате соответствует принятой в тексте диссертации.
Во введении характеризуются научное направление, круг решаемых про-- блем, их актуальность и применяемые методы.
Первая глава посвящена экстремальным задачам в линейно- и аффинно-инвариантных семействах локально однолистных гармонических отображений.
Теория линейно- и аффинно-иивариантных семейств гармонических отображений естественным образом продолжает теорию липсйно-иивариантных семейств голоморфных функций. Свойство линейной инвариантности эффективно использовалось для классов конформных отображений еще в ра-, ботах Л. Бибербаха в начале XX в. Впоследствии К. Поммерепке [66] было дано строгое определение линейной инвариантности и введен сам термин линейно-инвариантного семейства.
В 90-е годы XX в. Т. Шейл-Смолл [72] обобщил понятие линейной инвариантности на классы гармонических в единичном круге функций и ввел термин аффинной инвариантности. Впоследствии линейно- и аффинно-инвариантные семейства гармонических отображений рассматривались в работах Л. Шауброк [71], В.В. Старкова [74], С.Ю. Графа [11 - 14] и ряда других математиков.
*
В параграфе 1 вводятся основные понятия и свойства гармонических отображений области комплексной плоскости, приводится определение линейно- и аффиыио-инвариатного семейства С гармонических отображений, его порядка а и уточненного порядка п?о, а также некоторые ключевые ре-
7
зультаты, полученные в данном направлении.
Рассмотрим произвольное линейно- и аффинно-инвариантное семейство С, сохраняющих ориентацию локально однолистных гармонических отображений / единичного круга Д = {г : \г\ < 1}, удовлетворяющих условиям /(0) = О, /ДО) = 1.
Линейная инвариантность семейства С локально однолистных гармонических отображений заключается в том, что наряду с каждым отображением / этому семейству принадлежит также функция
ф ш ы и о Ф(о) • Ф'(0) ~
при любом конформном автоморфизме Ф(~) = — >гг0)/(1 — Щг) единич-
ного круга, где го € Д. (р € К.
Аффинная инвариантность семейства С локально однолистных гармонических отображений означает, что вместе с каждым / этому семейству принадлежат отображения вида
л.ИМ.Міі&І 1- + £/*(0)
при любом є Є Д.
Порядком семейства С называется число а = sup |/-г(0)/2|, где супремум берется по всему семейству С.
Известно, что для любого непустого семейства С порядок о- > 1. Всюду в дальнейшем будем рассматривать семейства £ конечного порядка а.
Подкласс £° класса £, выделяемый наложением дополнительного условия h = /7(0) = 0, уже не является линейно- или аффинно-инвариантным семейством. Однако при этом С0 является компактным в топологии локально равномерной сходимости в круге Д.
Примерами семейств С и £° являются известные классы нормированных однолистных гармонических отображений 5#, соотнести енно [43, 45, 72].
- Київ+380960830922