Содержание
Введение 3
Глава 1. Локальные £-сплайны с равномерными узлами, сохраняющие ядро линейного дифференциального оператора 20
§0. Введение.............................................. 20
§ 1. Операторы четного порядка............................. 22
§2. Операторы нечетного порядка........................... 28
§ 3. Оценка погрешности аппроксимации...................... 31
§4. Частные случаи общей схемы............................ 30
Глава 2. Локальные £-еплайны третьего порядка с произвольным расположением узлов 40
§ 0. Введение.............................................. 40
§1. Построение £-сплайна и его свойства................... 42
§2. Поточечная и равномерная оценки погрешности аппроксимации ..................................................... 49
Глава 3. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами функций по их значениям в среднем 56
§ 0. Введение.............................................. 56
§1. Построение и свойства параболического сплайна......... 57
§2. Оценки погрешности аппроксимации функций и их производных .................................................... 67
Список литературы 84
Список работ автора 87
2
Введение
Диссертация посвящена исследованию аппроксимативных свойств локальных полиномиальных и £-сплайиов, построенных по значениям аппроксимируемой функции в точках или ее значениям в среднем. Изучаемые в диссертации одномерные неинтерполяционные локальные сплайны, как правило, обладают формосохраняющими и сглаживающими свойствами. В вычислительной математике задача построения по дискретным данным кривых и поверхностей сложной формы с сохранением выделенных геометрических характеристик (таких, как положительность. монотонность, выпуклость, наличие плоских участков и т.д.) называется задачей изогеометричсской аппроксимации. В настоящее время такие трехмерные вычислительные схемы (построенные на основе одномерных конструкций) используются для моделирования самолетных поверхностей, корпусов судов, лопастей гидротурбин, при описании различных геологических, физических и биологических явлений, а также при обработке изображений, в картографии, томографии, индустрии фильмов и т.д.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе построены локальные £-сплайны с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора £г = СГ{Т>) (V - оператор дифференцирования) произвольного (фиксированного) порядка г с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Найдены поточечные оценки погрешности аппроксимации (в интегральной и равномерной метриках) построенными сплайнами на классах функций, задаваемых с помощью линейных дифференциальных операторов порядков меньших, чем г.
3
Во второй главе построен неинтерполяционный линейный метод локальной сплайн-аппроксимации £-сплайнами третьего порядка с произвольным расположением узлов, соответствующими самосопряженным линейным дифференциальным операторам вида £3 = Cs(V) = V(V2 ± ß2). Этот метод обладает сглаживающими свойствами и сохраняет локально свойство монотонности и свойство, близкое к выпуклости исходных данных (значений аппроксимируемой функции / в узлах сетки). Точно вычислена величина погрешности приближения соболевских классов [Со = ^(Р) — V2 ± ß2) такими сплайнами в равномерной метрике. Данные результаты развивают и обобщают предшествовавшие исследования в этом направлении Ю.Н. Субботина [13), В.Т.Шевалдина и К.В.Костоусова [7,19,21].
В третьей главе изучаются аппроксимативные и формосохраняющие свойства локальных параболических сплайнов вида
S(x) = S{f, х) = £ bs{J)Bt{x - jh) (h > 0),
3
где Bs(x) - нормализованный (в Д») параболический Б-сплайн (определение см., например, в [3,6)) е равномерными узлами —11 носителем supp Bs = Функционалы bj = bj(f) задаются для
произвольной функции /, определенной и интегрируемой на всей оси R, при помощи равенств
ÜJL
2
ЫЛ = £ I № + № (/11 > о. 3 6 Z).
2
На классе функций с ограниченной почти всюду на всей оси R второй производной точно вычислена величина погрешности аппроксимации функций / и их производных указанными сплайнами в равномерной метрике.
Дадим необходимые определения и сформулируем известные результаты.
4
Пусть С и Ьр, 1 ^ р ^ оо - пространства функций /, заданных на отрезке числовой прямой или на всей прямой Е с обычным определением нормы. Пусть сетка Л является разбиением отрезка [а, Ь]:
Символом 5Г или 5Г(Д) (г € 1*0 обозначается множество всех полиномиальных сплайнов на отрезке [а, Ь] порядка г (степени г — 1) минимального дефекта с узлами на сетке Д, т.е.
где через Рг-1 обозначено множество всех алгебраических многочленов степени г — 1с вещественными коэффициентами. В настоящее время имеется большое число монографий и статей, посвященных различным аспектам применения сплайнов в вычислительной математике (см., например, [1.3,4,6,10,24]). Наряду с полиномиальными сплайнами также хорошо известны и их обобщения, названные £-сплайиами ( [1,16,23]). Пусть Сг = СГ(Т>) (V - оператор дифференцирования) - произвольный линейный дифференциальный оператор г-го порядка с постоянными действительными коэффициентами (старший коэффициент обычно полагают равным 1). Символом БСг или 5£г(Д) обозначим множество всех £-сплайнов порядка г минимального дефекта на отрезке [а, 6] с узлами на сетке Д, т.е.
Ясно, что если оператор С, {Т>) является оператором взятия 7’-ой производной, т.е. СГ(Т>) = Х>г, то 5£г = Бг. Аналогичным образом определяются полиномиальные и £-сплайны на всей числовой оси Е [1,16,23,29]. Для функции / : Е —> Е обозначим через
Д : а = хо < хі < ... < я?аг = Ь.
5Г = 5Г(Д) = {5 Є <7-2М]: € Рг_ь і = О, .V - 1}
ЯД = 5£ЧД) = {5 Є (Г-2[а,Ь] : £г(Р)3(я) = 0, х €
і = О, ТУ — 1}.
(0.1)
г
- конечную разность r-го порядка с шагом h > 0. Полиномиальным 5-сплайном (см., например [3,6]) порядка г (степени г — 1) называется функция ^
= у , (0.3)
где i+ = nia.x{0yt}. Нормирующий множитель Cr(h) > 0 выбирается так, чтобы имело место равенство
J2Br{x-jh) = l (xeR).
j
Носитель supp В г 5-сплайна (базисного сплайна) расположен на отрезке [— у,^]. При нечетном г = 2к ■+- 1 Вг(х) имеет узлы в точках {jh + f 1» а ПРИ четном г = 2к - в точках Существуют и
другие эквивалентные определения базисных полиномиальных сплайнов (и нс только для равномерных сеток), но нам в диссертации будет удобно пользоваться приведенным выше определением. Свойства 5-сплайнов хорошо изучены. В частности, Вг е Ст'~2 [—^, y\ и 5г(ж) > 0 при *6 (-$,$).
В 1975 году Т.Лич и Л.Шумейкер [22] (см., также [3,5]) построили локальные полиномиальные сплайны г-го порядка вида
к
Sr{x) = Sr(f, х) = ^»/(0’ + s)h)Br(x - jh) (х Е R) (0.4)
j s=—k
для любой функции / : R —> E, где к = [-^], и действительные коэффициенты ъ выбраны из условия точности формулы 5Г(/, х) = f(x) для многочленов степени г — 1. Оказаттось, что такой выбор может быть осуществлен единственным образом. Локальные полиномиальные сплайны можно строить и на любом отрезке (например, на [0,1]), считая, что функция / задана на большем отрезке [а, 6] Э [0,1], содержащем носители сдвигов всех 5-сплайнов 5Г(х — jh), не обращающихся в нуль тождественно на отрезке [0,1].
Пусть АС = АС[а, Ь] - класс функций /, абсолютно непрерывных на
6
- Київ+380960830922